reddevil123

Ta có : $a+b=c+d$

$\Rightarrow a=c+d-b$

Thay $ab+1=cd$

$(c+d-b)b+1=cd$

$cb+db-b^2+1=cd$

$cd+b^2-db-cb=1$

$(b^2-cb)+(cd-db)=1$

$b(b-c)+d(c-b)=1$

$b(b-c)-d(b-c)=1$

$(b-d)(b-c)=1$

$\Rightarrow b-d=b-c \Rightarrow c=d$

............................................................................................................................................................

Công thức tổng quát của $S$ đâu bạn , ý mình là như thế này :

$A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+......+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ (là công thức quy nạp ý )

Tách thế này:
$$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+............+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$
$$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+............+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
$$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

Giả sử có 1 số bằng 0, không mất tính tổng quát giả sử x=0 ta cần chứng minh:
$$\begin{aligned} & \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + 4 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \\ \Leftrightarrow& \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \end{aligned} $$
Mà điều này đúng theo BĐT AM-GM cho 3 số dương : $$ \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{y^2+z^2}{yz} . 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} . 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}}} = 6 $$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $$ \frac{y^2+z^2}{yz} =2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \Leftrightarrow y=z $$

Nếu $x,\ y,\ z>0$ thì ta có: $$ \dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{z}{x+y} = \dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{x^2}{xy+xz}+ \dfrac{z^2}{xz+yz} > \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} $$
Lại theo BĐT AM-GM thì ta có: $$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} \ge 3.2 = 6 \text{(điều phải chứng minh)} $$
Phép chứng minh hoàn tất!
Đẳng thức xảy ra khi: 1 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

Nguồn: boxmath.vn

$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100}$$
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng $ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100} $ ta chọn mẫu chung là tính của $2^6$ với các thừa só lẻ nhỏ hơn 100.

Gọi $k_1;k_2;k_3;...................;k_{100}$ là các thừa số phụ tương ứng, tông A có dạng.

$B=\frac{k_1+k_2+k_3+.............+k_{100}}{2^6.3.5.7.....99} $.

Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số $\frac{1}{64}$ có mẫu chứa $2^6$ nên trong các thừ số phụ $ k_1;k_2;k_3;.......;k_{100} $ chỉ có $ k_{64} $( thừ số phụ $ \frac{1}{64} $) là số lẻ(=3.5.7.....49), còn các thừ số phụ khắc đều chẵn ( chưa ít nhất 1 thừ số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2, do đó B không phải STN hay A không phải số tự nhiên.

Ta có : $a+b=c+d$

$\Rightarrow a=c+d-b$

Thay $ab+1=cd$

$(c+d-b)b+1=cd$

$cb+db-b^2+1=cd$

$cd+b^2-db-cb=1$

$(b^2-cb)+(cd-db)=1$

$b(b-c)+d(c-b)=1$

$b(b-c)-d(b-c)=1$

$(b-d)(b-c)=1$

$\Rightarrow b-d=b-c \Rightarrow c=d$