reddevil123

Công thức tổng quát của $S$ đâu bạn , ý mình là như thế này :

$A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+......+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ (là công thức quy nạp ý )

Tách thế này:
$$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+............+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$$
$$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+............+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
$$=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

Bài 166
Cho các số thực không âm x,y,z và không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .Chứng minh
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

Giả sử có 1 số bằng 0, không mất tính tổng quát giả sử x=0 ta cần chứng minh:
$$\begin{aligned} & \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + 4 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \\ \Leftrightarrow& \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 6 \end{aligned} $$
Mà điều này đúng theo BĐT AM-GM cho 3 số dương : $$ \frac{y^2+z^2}{yz} + 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} + 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{y^2+z^2}{yz} . 2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} . 2 \sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}}} = 6 $$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $$ \frac{y^2+z^2}{yz} =2\sqrt{\frac{2yz}{y^2+z^2}} \Leftrightarrow y=z $$

Nếu $x,\ y,\ z>0$ thì ta có: $$ \dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}+ \dfrac{z}{x+y} = \dfrac{y^2}{yz+xy}+\dfrac{x^2}{xy+xz}+ \dfrac{z^2}{xz+yz} > \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} $$
Lại theo BĐT AM-GM thì ta có: $$ \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} + 2\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}} \ge 3.2 = 6 \text{(điều phải chứng minh)} $$
Phép chứng minh hoàn tất!
Đẳng thức xảy ra khi: 1 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau.

Nguồn: boxmath.vn

$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100}$$
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng $ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100} $ ta chọn mẫu chung là tính của $2^6$ với các thừa só lẻ nhỏ hơn 100.

Gọi $k_1;k_2;k_3;...................;k_{100}$ là các thừa số phụ tương ứng, tông A có dạng.

$B=\frac{k_1+k_2+k_3+.............+k_{100}}{2^6.3.5.7.....99} $.

Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số $\frac{1}{64}$ có mẫu chứa $2^6$ nên trong các thừ số phụ $ k_1;k_2;k_3;.......;k_{100} $ chỉ có $ k_{64} $( thừ số phụ $ \frac{1}{64} $) là số lẻ(=3.5.7.....49), còn các thừ số phụ khắc đều chẵn ( chưa ít nhất 1 thừ số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2, do đó B không phải STN hay A không phải số tự nhiên.

Ta có : $a+b=c+d$

$\Rightarrow a=c+d-b$

Thay $ab+1=cd$

$(c+d-b)b+1=cd$

$cb+db-b^2+1=cd$

$cd+b^2-db-cb=1$

$(b^2-cb)+(cd-db)=1$

$b(b-c)+d(c-b)=1$

$b(b-c)-d(b-c)=1$

$(b-d)(b-c)=1$

$\Rightarrow b-d=b-c \Rightarrow c=d$

em đăng kí với

Cách khác của bài 1:

$B=1.3+2.4+3.5+...+97.99+98.100$

$B=1(2+1)+2(3+1)+....+97(98+1)+98(99+1)$

$B=1.2+1+2.3+2+....+97.98+97+98.99+98$

$B=(1.2+2.3+3.4+....+97.98+98.99)+(1+2+3+...+98)$

$B=\dfrac{98.99.100}{3}+\dfrac{98.99}{2}$

$B=323400+4851=328251$

So sánh : $2009^{2011}$ và $2010^{2010}$

Bạn vào đây : http://ng2.upanh.com...62.untitled.bmp

$I=\int_{1}^{e}\dfrac{lnx(lnx+1)}{(1+x+lnx)^3}dx$

Giải pt nghiệm nguyên dương: $\frac{x}{y+21}+\frac{y}{27}+\frac{6}{x+y}+\frac{21}{x+6}=\frac{2}{z}$

Phân tích thành nhân tử:

$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2+(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)$

Theo đề bài, ta có:

$21A=14B=6C$ $\dfrac{A}{14}=\dfrac{B}{21};\dfrac{B}{6}=\dfrac{C}{14}$

$\dfrac{A}{28}=\dfrac{B}{42};\dfrac{B}{42}=\dfrac{C}{98}$

$\dfrac{A}{28}=\dfrac{B}{42}=\dfrac{C}{98}$ và $A+B+C=180$

$\dfrac{A}{28}=\dfrac{B}{42}=\dfrac{C}{98}=\dfrac{A+B+C}{28+42+98}=\dfrac{180}{168}=\dfrac{15}{14}$

$A= \frac{15}{14}.28=30$

$B= \frac{15}{14}.42=45$

$C= \frac{15}{14}.98=105$

Vậy $A=30^o,B=45^o,C=105^o$

Phân tích đa thức thành nhân tử là 1 kiến thức cơ bản của chương trình Toán lớp 8. Đây là dạng toán tương đối khó và khá phức tạp. Trong các kì thi HSG, thi chuyển cấp, thi chuyên Toán, ... đều có các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy mình lập pic này để mọi người cùng nhau trao đổi kiến thức, nâng cao khả năng của mỗi người.
Mong các bạn tham gia tích cực và tuyệt đối không Spam

Một số bài toán :

Bài 1: a, $ab(a+b)-bc(b+c)+ca(c+a)+abc$

b, $a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc$

$A=1.2004+2.2003+3.2002+.........+2004.1$

$A=1.2004+2.(2004-1)+3.(2004-2)+........+2004.(2004-2003)$

Đến đây áp dụng công thức: $1.n+2(n-1)+3(n-2)+.......+(n.1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

sẽ tính được $\dfrac{2004.2005.2006}{6}=1343358020$

4. Cho $A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+............+\dfrac{1}{100^2}$
Chứng minh rằng: $A<\dfrac{3}{4}$

$A - \dfrac{1}{3}A=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+....+\dfrac{1}{3^{100}}$

$ \dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{3^4}+.... +\dfrac{1}{3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}$


Tinh: $B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^3}+.....+\dfrac{1}{3^{100}}$

$3B=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+....+\dfrac{1}{3^{99}}$

$2B=1-\dfrac{1}{3^{100}}$ $B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}$

$\dfrac{2A}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2.3^{100}}-\dfrac{100}{3^{101}}< \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2A}{3}< \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{3.2A}{2.3}<\dfrac{3.1}{2.2}$

$A<\dfrac{3}{4}$