Đến nội dung


Nxb

Đăng ký: 04-11-2011
Offline Đăng nhập: Hôm nay, 18:13
*****

#732470 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 16-01-2022 - 13:29

 
Anh không hiểu ý của em lắm (đặc biệt về cái "loại đầu tư"), nhưng anh nghĩ là em hiểu nhầm ý tác giả blog rồi. Để anh trích lại đầy đủ hơn:

 

 
Lưu ý từ cuối cùng của bài post, đó là từ quan trọng nhất: "Ouch!", dịch ra là "Úi chà", còn dịch dân dã hơn chút nghĩa là: "Đệt!" :D Tác giả cũng không đồng ý với Lafforgue đâu em.
 
 

 

Đúng rồi, nếu em nói vậy thì nghe hợp lý hơn. Anh cũng nghĩ là rất khó để mời những nhà khoa học top-của-top của Mỹ về làm. Top-của-top ở đây theo nghĩa là không chỉ rất nổi tiếng trong giới khoa học mà còn trong công chúng. Còn nếu chỉ tầm nổi tiếng trong ngành thôi thì đã có đầy người làm cho các công ty của Trung Quốc ở Mỹ.

 

(Tuy nhiên có một ngoại lệ mà anh biết đó là Andrew Ng đã từng về đầu quân cho Baidu. Andrew Ng được xem là một trong những ông Trùm của AI, từng vào top 100 người ảnh hưởng nhất thế giới của tạp chí Time, rất nổi tiếng, mọi người có thể check thêm trên Wikipedia để biết. Nhưng mà bố mẹ ông là người Hồng Kông, dù ông sinh ra ở Anh và là công dân Mỹ, nên thôi xem như cũng là gốc Tàu, ngoại lệ này không tính.)

Ý em là chẳng hạn xây dựng một viện nghiên cứu khoa học như vừa rồi ở Pháp. Các công ty thuê người của quốc gia khác thì cũng chỉ là hệ quả bình thường của đối tác thương mại, nhưng khoa học cơ bản thì trước giờ toàn do nhà nước bao cấp.  Em thấy nó nhạy cảm như những loại tài sản công khác như điện, nước, vv… Em không khẳng định nó có xảy ra hay không, nhưng giả sử ban đầu chỉ là hợp tác cùng có lợi rồi dần dần dẫn tới học thuật của nước mình phụ thuộc vào quốc gia khác thì nó sẽ biến thành loại quyền lực mềm rất nguy hiểm. Không đâu xa chẳng hạn như ở Việt Nam hiện nay có tập đoàn như kiểu Vingroup đầu tư rất lớn vào khoa học, giả sử chính phủ thấy thế mà giảm hoặc ì ạch không tăng đầu tư công vào khoa học để giải quyết các vấn đề tồn đọng từ lâu như lương bổng; đầu tư của của nó lớn hơn đầu tư của nhà nước, nhà khoa học sinh ra tâm lý biết ơn/phụ thuộc, không thể đóng góp phản biện hoặc tệ hơn, chính nhà nước sau khi hưởng lợi thì tìm cách nuôi dưỡng, bảo vệ nó, hệ quả là dần dần vô thức hoạt động như một nhà nước theo chủ nghĩa tư bản độc quyền.

 

Còn về việc em không biết blog nói kháy thì do em không vào blog đọc mà là đọc cái trích dẫn của Zaraki.




#732456 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 16-01-2022 - 02:21

Toàn đọc thiếu rồi em. Hợp tác với IHES thì đã có từ nhiều năm nay, không có gì mới. Tin mới ở đây là Lafforgue cùng 3 Fields medalists khác về đầu quân (làm nhân viên) cho Huawei. Mức độ khác nhau nhé em. Và anh cũng giống Nxb, không hiểu Mỹ có liên quan gì ở đây  :P

 

 

Điều này thì Nxb nhầm rồi nhé. Chỉ Huawei không làm được (nữa) ở Mỹ thôi, nhưng Tàu không chỉ có mỗi Huawei. Dù không có số liệu cụ thể nhưng anh cá là số người mà Trung Quốc gửi sang Mỹ nhiều hơn toàn bộ số người mà họ gửi sang châu Âu và châu Úc cộng lại, thậm chí có thể nhiều hơn vài lần. Họ đi "học hỏi" khắp nơi và Mỹ luôn là mục tiêu số 1. Riêng về ngành AI thì số lượng người Trung Quốc trong các công ty hay lab lớn ở Mỹ nhiều không đếm xuể.

Anh ơi, em nói không học được không có nghĩa là không học được gì cả, và loại đầu tư cũng phải là đầu tư gì đó liên quan đến ý kiến trong bài blog mà Zaraki trích dẫn kia vì em không thích cái ý kiến đó, vì họ đang cố giải thích việc Pháp nhận được đầu tư kia theo cái câu của Lafforgue. Em thấy em chỉ nhầm nếu Tầu thuê được mấy huy chương Fields của Mỹ về làm cho họ. Em đính chính lại ý em nói ở đây.




#732453 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 15-01-2022 - 20:49

Nếu Grothendieck, người tạo ra topos, còn sống và vẫn làm toán thì em nghĩ ông sẽ không ủng hộ quyết định làm cho Huawei này, có khi còn phản đối gay gắt :D

 

 

 

 Em có đọc ra trên blog này thì hình như là hợp tác hai bên giữa Huawei và IHES, nên nếu mà có ai thua thì chắc là người Mỹ. Trích một đoạn trên blog:

 

 

Không biết Lafforgue nói đùa hay nói thật :D

 

PS: And Nxb làm mảng gì bên $\infty$-cat thế ạ?

Anh không hiểu lắm Mỹ liên quan ở đây theo logic nào, vì chuyện đang giữa Pháp và Tầu. Theo cách lập luận này thì cả thế giới thua? Còn lý do Huawei đầu tư vào Pháp theo anh chả liên quan gì đến những điều blog này nói. Rõ ràng là Tầu muốn học công nghệ và khoa học từ các nước phát triển, nhưng không làm được với Mỹ thì tất nhiên phải đầu tư vào châu Âu. Ở châu Âu thì Pháp là điểm đến lý tưởng, vì có lực lượng lao động phát triển, nhưng lương thấp nên chắc chắn không thể cưỡng lại được. Thông tin mình thu thập được thì tự mình kết luận, đâu cần dựa vào ai đó để nói cho mình biết. 




#732384 Định nghĩa giới hạn dãy số và các nguyên lý

Gửi bởi Nxb trong 07-01-2022 - 17:07

Em chuyển vào "Tài liệu-Chuyên đề giải tích" ổn chưa anh? Nếu không thì anh cứ chuyển đi chỗ nào thích hợp hơn :D

Ok. Chuyển vào đó là ổn rồi.




#732370 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 07-01-2022 - 05:06

Thực ra thì khoa học không nên có biên giới, nhưng điều đó có vẻ chỉ đúng với khoa học cơ bản. Anh không thích gì Trung Quốc nhưng anh có một người bạn thân đang làm postdoc (Toán) ở Bắc Kinh và anh vẫn thấy đó là điều tốt. Dù làm ở đâu thì những kết quả đạt được đều đóng góp vào tri thức của nhân loại.

 

Còn về khoa học ứng dụng (đặc biệt là ứng dụng được ngay :D) thì rất khó nói, làm ở đâu và làm cho ai rất quan trọng. Ví dụ, Trung Quốc cấp rất nhiều tiền cho nhiều trường đại học nước ngoài (anh biết có Mỹ, Úc, và một số nước châu Âu) để nghiên cứu về nhận diện khuôn mặt (face recognition) và nhận diện người (person identification). Việc Trung Quốc dùng camera theo dõi người dân thì ai cũng biết vì họ cũng công khai. Không nên nhận tiền của họ để theo đuổi những công nghệ như vậy (và thực tế trong ngành computer vision rất nhiều người phản đối phát triển những công nghệ này, thậm chí đề xuất ban khỏi các hội nghị đầu ngành).

 

Trở lại với các Field Medalists của chúng ta, anh hi vọng những nghiên cứu của họ sẽ có ích cho xã hội nói chung (như họ nghĩ khi quyết định về với Huawei) chứ không phải chỉ cho Trung Quốc. (Dù sao thì anh vẫn có cảm giác là nếu họ tiếp tục làm Toán trong academia sẽ tốt hơn cho nhân loại.)

Vâng. Em chắc chắn họ cũng theo cái lý như anh nói khi quyết định làm việc cho Huawei.




#732357 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 06-01-2022 - 05:39

Anh làm $\infty-\mathrm{cat}$ thì cũng liên quan topos nhỉ? Bao giờ định xong PhD còn sang TQ đây? :ukliam2:

À quên không nói rõ Tầu đầu tư quả này như kiểu đầu tư xây cơ sở hạ tầng tại chỗ cho mấy nước kém phát triển vậy, mấy ông này không phải đi đâu cả, khác ở chỗ là phải trả nợ bằng chất xám. Chú mà biết về logic thì thảo luận trên diễn đàn nhé vì topos họ dùng theo hướng này chứ không phải như trong hình học đại số hay $\infty$-category.




#732353 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 06-01-2022 - 04:28

Vãi thật. Mấy năm gần đây Huawei tung rất nhiều tiền để lôi kéo nhân tài đủ mọi cấp độ (như anh cũng được liên hệ vài lần :D), nhưng anh tưởng là chỉ cho những ngành khoa học ứng dụng thôi chứ không ngờ là hốt luôn cả toán lý thuyết. Có vẻ như họ có một chương trình nghiên cứu về lý thuyết cho neural networks và cần nhiều kiến thức về topos.

 

Một tin không mấy vui vẻ đối với người Pháp (và có lẽ là với cộng đồng làm Toán nói chung, trừ Trung Quốc).

Em cũng ngứa ngáy với Huawei và TQ, nhưng cũng thấy vui vì nếu thực sự topos ứng dụng vào được AI thì là một chuyện quá tuyệt vời. Cấp độ trừu tượng của topos khác hẳn với các loại lý thuyết toán học thường được sử dụng trong ứng dụng. Ngay cả những người làm hình học đại số sau khi rút tỉa được từ đó một số lý thuyết đối đồng điều thì cũng không còn quan tâm gì nữa. Đóng góp này của Huawei thực sự tích cực với cộng đồng toán học. Có lẽ chỉ có người Pháp là không vui, thua ngay trên sân nhà.




#732345 Lafforgue nghiên cứu topos cho Huewei, và thêm ba huy chương Fields khác.

Gửi bởi Nxb trong 05-01-2022 - 17:28

https://www.youtube....h?v=EqrNLuN5Bfk

Ngoài ra sắp tới sẽ có thể thêm những nhà toán học sau nghiên cứu cho Huawei:

2018 Fields Medal Alessio Figalli, 1998 FIelds Medal Maxim Kontsevich, 1994 Fields Medal Pierre-Louis Lions.




#732206 ICM 2022

Gửi bởi Nxb trong 25-12-2021 - 19:32

Số mới của thông tin toán học có bài viết rất hay về các báo cáo toàn thể tại ICM 2022 http://math.ac.vn/vi...thtap25so2.html




#731088 Tìm hiểu về định nghĩa phạm trù vô cực

Gửi bởi Nxb trong 10-10-2021 - 19:54

ĐỊA PHƯƠNG HOÁ CỦA MỘT PHẠM TRÙ

 

Ý tưởng xây dựng phạm trù dẫn xuất xuất phát từ A. Grothendieck và được học trò của ông là Jean-Louis Verdier khai triển trong luận án tiến sĩ, với mục tiêu là tổng quát hoá đối ngẫu Serre. Tuy nhiên, cần một bài viết khác để nói về câu chuyện này. Ở đây ta chỉ xem xét phạm trù dẫn xuất như một cách tiếp cận đối với đại số đồng điều. 

 

Cho $\mathcal{A}$ là một phạm trù aben. Phạm trù dẫn xuất $D(\mathcal{A})$ được định nghĩa như địa phương hoá của phạm trù các phức đối dây chuyền $Comp(\mathcal{A})$ theo các ánh xạ tựa đẳng cấu. Ta bắt đầu với định nghĩa địa phương hoá của một phạm trù.

 

Thủ tục địa phương hoá của một phạm trù tương tự với địa phương hoá của một mô đun. Tức là với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$ và mỗi tập $S$ các cấu xạ trong $\mathcal{C},$ tồn tại một phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ cùng với một hàm tử $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}$ sao cho mọi hàm tử $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ thoả mãn ảnh của $S$ trong $\mathcal{D}$ là các đẳng cấu thì $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ phải tách qua được $\mathcal{C}\to S^{-1}\mathcal{C}.$ 

 

Phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ có thể được xây dựng như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Tập các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được sinh bởi hợp của các cấu xạ trong $\mathcal{C}$ và tập các nghịch đảo được bổ sung cho các cấu xạ trong $S$.

 

Cách xây dựng này mặc dù đơn giản, nhưng rất khó để mường tượng một cấu xạ giữa hai vật trong $S^{-1}\mathcal{C}$ là gì, vì sau quá trình bổ sung các nghịch đảo, ta cần bổ sung các cấu xạ mới để đảm bảo $S^{-1}\mathcal{C}$ là một phạm trù. Chẳng hạn, xét phạm trù $\mathcal{C}$ định nghĩa như sau:

(1) $Ob(\mathcal{C})=\{x,y,z\}$.

(2) $Mor(\mathcal{C})=\{id_x,id_y,id_z, f:x\to y, g: y\to z, h=g\circ f:x\to z, h’: x\to z\}.$

Đặt $S=\{f,g\}$. Các cấu xạ trong $S^{-1}\mathcal{C}$ được bổ sung thêm gồm có $f^{-1}, g^{-1}$ là các nghịch đảo của $f,g,$ và một loạt các cấu xạ khác, chẳng hạn: $g^{-1}h’, g^{-1}h, hf^{-1}, f^{-1}h’,\dots$

 

Trong trường hợp $S$ thoả mãn tính chất của một hệ nhân tính (có thể so sánh với tập con nhân tính trong địa phương hoá của mô-đun), ta có thể xây dựng $S^{-1}\mathcal{C}$ rõ ràng hơn. 

 

Định nghĩa 1. Tập $S\subseteq Mor(\mathcal{C})$ được gọi là một hệ nhân tính trái nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

(1) $id_x\in S$ với mọi $x$ và nếu $f,g\in S$ và tồn tại $g\circ f$ thì $g\circ f \in S.$

(2) Nếu có các ánh xạ $g:x\to y, t: x\to z$ sao cho $t\in S$ thì tồn tại $s:y\to w, f: z\to w$ sao cho $s\in S$ và $sg=ft.$

(3) Nếu $ft=gt$ với $t\in S$ thì tồn tại $s\in S$ sao cho $sf=sg.$

 

Định nghĩa hệ nhân tính phải là đối ngẫu của định nghĩa trên, nên ta không viết ra ở đây. Với tập $S$ thoả mãn định nghĩa trên thì ta có thể xây dựng phạm trù $S^{-1}\mathcal{C}$ như sau:

(1) Các vật của $S^{-1}\mathcal{C}$ là các vật của $\mathcal{C}$.

(2) Với mỗi cặp $x,y\in \mathcal{C},$ 

$$Mor_{S^{-1}\mathcal{C}}(x,y)=\{x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y \mid s\in S\}/\sim,$$

trong đó $\sim$ được định nghĩa như sau: Ta nói $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E(x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $a:z\to z’$ sao cho $af=f’,as=s’.$ Từ đó, ta định nghĩa $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y) \sim (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)$$ nếu tồn tại $(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y)$ sao cho $$(x\xrightarrow{f} z \xleftarrow{s}y)E (x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y) \text{ và } (x\xrightarrow{f’} z’ \xleftarrow{s’}y)E(x\xrightarrow{f’’} z’’ \xleftarrow{s’’}y).$$

Ta định nghĩa phép hợp thành trên phạm trù $S^{-1}{\mathcal{C}}$ như sau: Cho hai cấu xạ $p=[(x\xrightarrow{f} a \xleftarrow{s}y)]$ và $q=[(y\xrightarrow{g} b \xleftarrow{t}z)].$ Theo tiên đề (2) trong định nghĩa của tập nhân tính trái, tồn tại $h:a\to c, u: b\to c$ với $u\in S$ sao cho $ug=hs$. Từ đó, ta định nghĩa $qp$ như là $$[(u\xrightarrow{hf}c\xleftarrow{ut} z)].$$ Có thể chứng minh định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn phần tử đại diện. Cách xây dựng trong trường hợp $S$ là hệ nhân tính phải cũng tương tự.

 

Ví dụ 2. Cho $R$ là một vành giao hoán. Địa phương hoá của phạm trù $Mod(R)$ tất cả các mô-đun trên $R$ tại $S=\{M\to M, m\to rm \mid r\in R, M\in Mod(R)\}$ tương đương với phạm trù $Mod(S^{-1}R).$

 

Ví dụ 3. $K^{\bullet}, L^{\bullet}$ là các phức trong $Comp(\mathcal{A}).$ Một ánh xạ $f: K^{\bullet}\to L^{\bullet}$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu các ánh xạ $H^{i}(f)$ là đẳng cấu với mọi $i\in \mathbb{Z}.$ Đặt $Qis(\mathcal{A})$ là tập hợp tất cả các tựa đẳng cấu trong $Comp(\mathcal{A}).$ Có thể kiểm tra được $Qis(\mathcal{A})$ vừa là một hệ nhân tính trái, vừa là một hệ nhân tính phải. Ta định nghĩa phạm trù dẫn xuất của $\mathcal{A}$ là $Qis(\mathcal{A})^{-1} Comp(\mathcal{A}).$

 

Trong bài tới, ta sẽ tìm hiểu sâu thêm về phạm trù $D(\mathcal{A}).$ Phạm trù $D(A)$ nói chung không còn aben, nhưng $D(A)$ vẫn có cấu trúc của một phạm trù tam giác phân, từ đó ta vẫn khôi phục các xây dựng trong đại số đồng điều cổ điển.

 

THAM KHẢO

[1] Stackproject.




#731054 Tìm hiểu về định nghĩa phạm trù vô cực

Gửi bởi Nxb trong 09-10-2021 - 02:27

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 

Mục tiêu của bài này là để giải thích định nghĩa của phạm trù vô cực theo Jacob Lurie. Nói ngắn gọn, ta sẽ giải thích định nghĩa của $\infty$-phạm trù như hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù.

 

Nhắc lại trong bài này https://diendantoanh...iều-lý-thuyết/, ta biết rằng nhóm cơ bản của một không gian tô pô $X$ tại điểm $x\in X$ được định nghĩa như là nhóm các nút tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa $\pi_0(X)$ là tập các thành phần liên thông đường. Ta có thể giải thích đơn giản ý nghĩa của các đối tượng này: nếu các không gian tô pô $X$ và $Y$ đồng phôi thì $\pi_0(X)\simeq \pi_0(Y)$, $\pi_1(X)\simeq \pi_1(Y)$ (trong trường hợp các $X, Y$ liên thông đường) nên chúng có thể được sử dụng để phân biệt các không gian tô pô.

 

Ta có thể tổ chức lại không gian tô pô $X$ thành phạm trù $\pi_{\leq 1}(X)$ và định nghĩa các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ như là các đối tượng gắn với phạm trù $\pi_{\leq 1}(X) .$ Phạm trù này được định nghĩa như sau: 

    (a) Các vật là các điểm của $X$;

    (b) Một cấu xạ giữa hai điểm $x, y$ là một lớp đồng luân của các đường từ $x$ sang $y$.

Từ đó, ta có thể mô tả $\pi_0(X)$ như là tập các lớp đẳng cấu của $\pi_{\leq 1}(X)$ và $\pi_1(X,x)=Hom_{\pi_{\leq 1}(X)}(x,x).$ 

 

Tất nhiên, chỉ với định nghĩa này thì ta không thấy được tại sao cách mô tả các tập $\pi_0(X), \pi_1(X)$ bằng phạm trù lại hữu dụng. Tuy nhiên, nó lại gợi ý cho ta một điều sau. Nhắc lại rằng, ta có thể định nghĩa các nhóm $\pi_n(X)$, với $n\geq 2,$ được gọi là các nhóm đồng luân cấp cao. Các nhóm $\pi_n(X,x)$ là nhóm các ánh xạ liên tục $S^n \to X$ tại $x$ chia thương cho quan hệ đồng luân. Do đó, ta  kỳ vọng rằng có thể gắn với $X$ một phạm trù $A$ sao cho sao cho $\pi_{n}(X)$ được định nghĩa thông qua $A$. Tuy nhiên trên thực tế, phạm trù $A$ mà ta kỳ vọng lại không phải một phạm trù thông thường, tức là không phải là một phạm trù chỉ bao gồm các vật và các cấu xạ giữa các vật, mà lại có một cấu trúc khác, mà ta tạm gọi là $\infty$-phạm trù. Trong một $\infty$-phạm trù, ngoài các cấu xạ giữa các vật, mà ta gọi là các 1-cấu xạ, còn có các 2-cấu xạ giữa các 1-cấu xạ, các 3-cấu xạ giữa các 2-cấu xạ,…

 

Trước khi đưa ngay ra định nghĩa của $A,$ ta đưa ra một cách mô tả khác của $\pi_0(X),\pi_1(X)$. Điều này giải thích phần lớn xây dựng sắp tới đây của phạm trù $A$. Một $n$-đơn hình (kỳ dị) trong $X$ là một ánh xạ liên tục từ $$|\Delta^n|\to X,$$ở đây $\Delta=\left\{(x_0,\dots,x_n)\in \mathbb{R}_{\geq 0}^n| x_0+\dots+x_n=1\right\}.$ Các đơn hình kỳ dị đóng vai trò cốt lõi trong định nghĩa đồng điều kỳ dị, tuy nhiên ở đây ta khai thác chúng theo một cách đặc biệt. 

 

Ví dụ 1. Rõ ràng, các điểm trong $X$ là các $0$-đơn hình, các đường liên tục trong $X$ là các $1$-đơn hình, và thú vị hơn, các đồng luân trong $X$ tương ứng với một tập nhất định các $2$-đơn hình! Thật vậy, nếu $H$ là môt đồng luân từ đường $f$ sang đường $g$ nối hai điểm $x,y$ thì $\sigma(x_0,x_1,x_2)=H(1-x_0,x_2/(1-x_0))$ là một $2$-đơn hình, thoả mãn $$\sigma|_{x_0=0}=id_{\{y\}},\ \sigma|_{x_1=0}=g,\ \sigma|_{x_2=0}=f.$$Ngược lại, một đơn hình thoả mãn các tính chất trên xác định một đồng luân từ $f=f\cdot id_{\{y\}}$ sang $g$. 

 

Ta đưa ra định nghĩa của $A:$

 

Định nghĩa 2. Ký hiệu $\Delta$ là phạm trù với các vật là các tập sắp thứ tự $[n]=\{0<1<\dots<n\}$ và các cấu xạ là các ánh xạ không giảm. Định nghĩa $Sing_{\bullet}(X)$ là một hàm tử nghịch biến $\Delta\to Set$ như sau:

    (a) $Sing_{\bullet}(X)([n])=Sing_n(X)=Top(|\Delta^n|,X)=$ tập các $n$-đơn hình kỳ dị trong X;

    (b) Nếu $f$ là một ánh xạ không giảm từ $[m]$ sang $[n]$ thì với mọi $n$-đơn hình kỳ dị $\sigma,$ $$Sing_{\bullet}(f)(\sigma)(x_0,\cdots,x_m)=\sigma\left(\sum_{i_0\in f^{-1}(0)}x_{i_0},\dots,\sum_{i_n\in f^{-1}(m)}x_{i_n}\right).$$

 

Một hàm tử nghịch biến $S_{\bullet}: \Delta\to Set$ còn được gọi là một vật đơn hình (từng được giới thiệu ở đâyhttps://diendantoanh...yết-đơn-hình/). Ta gọi các phần tử trong $S_0$ là các đỉnh và các phần tử trong $S_1$ là các cạnh, cũng như các phần tử trong $S_n$ là $n$-đơn hình. Trong cấu trúc mới này, ta có thể mường tượng ra định nghĩa tập các thành phần liên thông $S_{\bullet}$ theo tinh thần của phạm trù thông thường, cũng như $\pi_1(S_{\bullet},x)$, và có lẽ cả các nhóm đồng luân cấp cao $\pi_{n}(S_{\bullet},x)$? Tuy nhiên, các định nghĩa này thực ra lại rối rắm hơn nhiều. Ta bắt đầu với định nghĩa của $\pi_0(X).$ Trước hết, ta đưa ra khái niệm đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh.

 

Định nghĩa 3. Cho $e\in S_1,$ ta gọi $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 1)(e)=d_0(e)$ là đỉnh cuối của $e$, $S_{\bullet}([0]\to [1], 0\mapsto 0)(e)=d_1(e)$ là đỉnh đầu của $e$. 

 

Sẽ là sai lầm nếu định nghĩa ngay rằng hai đỉnh $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phần liên thông nếu có một cạnh với đỉnh đầu $x$ và đỉnh cuối $y$. Trong định nghĩa của $\pi_{\leq 1}(X)$ ở đầu bài, để chứng minh được tiên đề về tính hợp thành của một phạm trù, ta cần tính chất sau của không gian tô pô $X$: nếu có một đường từ $x$ tới $y$ và một đường từ $y$ tới $z$ thì tồn tại một đường từ $x$ tới $z$. Không có lý do nào để một tập đơn hình nói chung có tính chất này được. Vì vậy ta đưa ra định nghĩa sau:

 

Định nghĩa 4. Tập các thành phần liên thông $\pi_{0}(S_{\bullet})$ được định nghĩa là $S_0$ chia thương cho quan hệ tương đương sinh bởi $\{(d_1(e),d_0(e)\}\subseteq S_0\times S_0.$

 

Nói cách khác, $x$ và $y$ cùng nằm trong một thành phân liên thông nếu có đường đi tạo bởi một loạt các cạnh, xem như các cạnh vô hướng, nối $x$ và $y$.

 

Như đã nhận xét ở trên, trong trường hợp tập đơn hình $S_{\bullet}$ là $Sing_{\bullet}(X)$, quan hệ tương đương ở trên đơn giản hơn nhiều: $x$ và $y$ thuộc cùng một thành phần liên thông nếu và chỉ nếu tồn tại một cạnh $e$ sao cho $d_1(e)=x,\ d_0(e)=y.$

 

Tính chất tồn tại cạnh $e_1$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $y$, cạnh $e_2$ với đỉnh đầu $y$ và đỉnh cuối là $z$ thì tồn tại cạnh $e_3$ với đỉnh đầu là $x$ và đỉnh cuối là $z$ của $Sing_{\bullet}(X)$ có thể được trình bày theo một ngôn ngữ trừu tượng hơn mà ta sẽ sử dụng trong những thảo luận tiếp theo. Trước tiên, ta mô tả các $n$-đơn hình của một tập đơn hình theo cách gần gũi với định nghĩa của $n$-đơn hình kỳ dị. Theo bổ đề Yoneda, mọi vật đơn hình $S_{\bullet}: \Delta^{op}\to Set$ thoả mãn

$$Nat(y([n]), S_{\bullet})\simeq S_{\bullet}([n])=S_n,$$trong đó $y([n])=Hom_{\Delta}(\_,[n]).$ Do đó, nếu đặt $y([n])=\Delta^n$ thì các phần tử của $S_n$ tương ứng 1-1 với các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to S_{\bullet}.$ Như vậy chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ tương ứng 1-1 với  các ánh xạ liên tục từ $|\Delta^n|\to X.$ 

 

Định nghĩa 5. Tập đơn hình $i$-sừng $\Lambda^{n}_{i}$ của $\Delta^n$ được định nghĩa như sau:

$$\Lambda^{n}_i([m])=\{\alpha\in Hom_{\Delta}([m],[n])| \alpha([m])\cup \{i\}\neq [n]\}\subset \Delta^n[m].$$

Tương tự như định nghĩa đỉnh đầu và đỉnh cuối của một cạnh, ta cũng định nghĩa các mặt của một $n$-đơn hình của một tập đơn hình như sau:

 

Định nghĩa 6. Ta ký hiệu $d_i: S_n\to S_{n-1}$ cho ánh xạ $$S_{\bullet}([n-1]\to[n],0\mapsto 0,\dots,i-1\mapsto i-1, i\mapsto i+1,\dots,n-1\mapsto n).$$

 

Như vậy, các mặt của một $n$-đơn hình $\sigma$ là $d_0(\sigma),\dots,d_n(\sigma).$

 

Mệnh đề 7. Với mọi tập đơn hình $S_{\bullet},$

$$Nat(\Lambda^{n}_{i},S_{\bullet})\simeq \text{ một tập con của} \prod_{j\in [n]-\{i\}} S_{n-1}.$$

 

Tập con này bao gồm các dãy $(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\dots,\sigma_n)$ thoả mãn $d_j(\sigma_k)=d_{k-1}(\sigma_j)$ với mọi $j,k\in [n]-\{i\}$ thoả mãn $j<k.$

 

Nói cách khác, một biến đổi tự nhiên $\Lambda^{n}_i\to S_{\bullet}$ bao gồm các $n-1$ đơn hình mà các mặt của chúng tương thích với nhau. Chẳng hạn các biến đổi tự nhiên $\Lambda^{2}_1\to S_{\bullet}$ tương ứng với các cạnh $(e,e’)$ sao cho $d_0(e)=d_1(e’)$, tức là một bộ hai cạnh mà đỉnh đầu và đỉnh cuối của chúng trùng nhau!

Quay trở lại vấn đề ở trên, ta trình bày lại sự tồn tại của cạnh $e_3$ như sau: sự tồn tại các cạnh $e_1,\ e_2$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2$ tương đương với sự tồn tại của một biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^2_1\to Sing_{\bullet}(X).$ Khi đó tồn tại đơn hình $\sigma: \Delta^2\to Sing_{\bullet}(X)$ sao cho ánh xạ này hợp thành với nhúng $\Lambda^2_i\to Sing_{\bullet}(X)$ (tại sao?), cạnh $e_3$ chính là $d_1(\sigma).$

 

Tính chất này cũng thoả mãn cho các đơn hình chiều cao hơn của $Sing_{\bullet}(X),$ tức là với mọi $n>0$ và với mọi $0\leq i\leq n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên từ $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X),$ tồn tại một đơn hình $\Delta^n\to Sing_{\bullet}(X)$ là mở rộng $\Lambda^n_i\to Sing_{\bullet}(X).$ Từ đầu tới giờ, ta mới định nghĩa các thành phần liên thông của một tập đơn hình. Không giống như $\pi_0(X)$, ta sẽ không thể giải thích được cách đi đến các định nghĩa của các nhóm đồng luân cấp cao của một vật đơn hình mà không trình bày thêm các kiến thức về lý thuyết đơn hình, mà bài viết này chỉ là đi tìm hiểu về định nghĩa của phạm trù vô cực. Vì vậy, ta chỉ có thể nói ngắn gọi là, tính chất mở rộng sừng ở trên của $Sing_{\bullet}(X)$ là điều kiện cốt lõi cho phép ta định nghĩa các nhóm đồng luân. Ta gọi một vật đơn hình như vậy là một phức Kan, đặt theo tên của Daniel Kan, người đã đưa ra các xây dựng trên, ( trong “A combinatorial definition of homotopy groups.” Ann. of Math. (2), 67:282–312, 1958.) và các nhóm đồng luân cấp cao có thể được định nghĩa cho mọi phức Kan. Như vậy, $Sing_{\bullet}(X)$ chính là cấu trúc mà ta tìm kiếm theo tinh thần của $\pi_{\leq 1}(X).$ 

 

Như đã nói ở đầu, ta sẽ giải thích phạm trù vô cực như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù. Năm 1961, Grothendieck đưa ra định nghĩa mạch của một phạm trù: với mỗi phạm trù $\mathcal{C}$,   $N_{\bullet}(\mathcal{C})$ là một vật đơn hình với các $n$-đơn hình là tập $$N_n(\mathcal{C})=\{x_0 \xrightarrow{f_0} x_1 \dots x_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}} x_n \mid f_0,\dots,f_{n-1} \text{ là các cấu xạ trong }\mathcal{C}\}.$$ Vật đơn hình này có tính chất sau, với mỗi cạnh $e_1:x\to y,\ e_2: y\to z$ sao cho đỉnh cuối $e_1$ trùng với đỉnh đầu $e_2,$ tồn tại duy nhất một $2$-đơn hình $\sigma$, chính là $e_2\circ e_1: x\to z$ sao cho $d_2(\sigma)=e_1,\ d_0(\sigma)=e_1.$ Thực ra, ta có mệnh đề sau:

 

Mệnh đề 8. Một vật đơn hình $S_{\bullet}$ đẳng cấu với mạch của một phạm trù nếu và chỉ nếu với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ và với mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet},$ tồn tại “duy nhất” một $n$-đơn hình $\Delta^n\to S_{\bullet}$ là mở rộng của $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}.$

 

Từ đó, ta định nghĩa một $\infty$-phạm trù như sau:

 

Định nghĩa 9. Một $\infty$-phạm trù là một vật đơn hình $S_{\bullet}$ thoả mãn với mọi $n>0$ và với mọi $0<i<n,$ mọi biến đổi tự nhiên $\Lambda^n_i\to S_{\bullet}$ có thể được mở rộng thành một $n$-đơn hình.

 

Đóng vai trò như là hợp của lý thuyết đồng luân và lý thuyết phạm trù, lý thuyết phạm trù vô cực có rất nhiều ứng dụng mạnh mẽ, cho phép mang các ý tưởng của tô pô vào các lĩnh vực của đại số/hình học đại số, nổi tiếng nhất có lẽ là lý thuyết về $\infty$-tô pô và hình học đại số dẫn xuất của Jacob Lurie, qua đó trả lời và mở rộng các vấn đề do Alexander Grothendieck đặt ra trong “À la poursuite des Champs” (1983). Tuy nhiên, các ứng dụng này vượt xa hiểu biết của người viết, vì vậy hi vọng trong bài tới, ta có thể thảo luận về $\infty$-phạm trù ổn định, với ứng dụng ngay lập tức vào đại số đồng điều, cụ thể là lý thuyết về phạm trù dẫn xuất.




#730938 Chứng minh số pi tồn tại

Gửi bởi Nxb trong 04-10-2021 - 19:05

Ồ vậy hả em. Vậy là do anh chưa thực sự đọc cuốn nhập môn giải tích nào trước đây cả nên mới thấy thích cách viết xây dựng lý thuyết trong sách của Tao. Nói ra thật xấu hổ nhưng có vẻ như con đường học Toán của anh nó chạy ngược chiều, hồi đại học thì chỉ học được sơ sơ về Toán đại cương, sau này rồi mới bắt đầu bổ túc thêm, nhưng giải tích lại bắt đầu với cuốn Measure, Integration & Real Analysis của Sheldon Axler, anh cứ tưởng nó cũng là nhập môn. Chắc phải dành chút thời gian để đọc nhanh cuốn của Tao. 

Đọc cuốn sách như vậy là quá đủ rồi anh ơi. Giải tích mình cũng đâu cần nhiều. Ví dụ bạn bè xung quanh em trừ ai nghiên cứu giải tích chứ lâu lắm rồi cũng không có tích phân hay đạo hàm gì cả :3




#730936 Định lý Newton- Leibniz

Gửi bởi Nxb trong 04-10-2021 - 18:53

Em ơi, hiển nhiên "định nghĩa" của họ là đúng bởi vì đó là cái mà topic này đang thảo luận mà em: "the second fundamental theorem of calculus". Như anh nói ở trên là định nghĩa dùng tổng cũng rất trực quan và dễ hiểu đối với học sinh, có thể phát biểu định nghĩa này trước, sau đó phát biểu định lý mà không cần chứng minh, vẫn rất ngắn gọn và súc tích, và theo anh là không hề có "tác dụng phụ" nào gây hại. Ít nhất nếu được học như vậy thì nếu học sinh tra tài liệu khác, như Wikipedia chẳng hạn, thì sẽ không bỡ ngỡ (ví dụ như Hoang Huynh ở trên chẳng hạn). Anh đang tò mò không biết SGK của Pháp dạy thế nào, tìm sơ qua trên Google không thấy có PDF mà không dám tìm sâu hơn  :D

Không được đâu anh ạ vì nguyên tắc là càng chứng minh được càng nhiều càng tốt. Nếu viết một định nghĩa ra mà không ai dùng được thì rất dở. Em trình bày toán cho những người không cùng nhánh ví dụ như một trong hai directeur của em hoặc người khác trình bày cho em thì đều phải đưa ra định nghĩa mà tất cả mọi người đều có thể thao tác được trên đó. Ví dụ có lần em trình bày định nghĩa iđêan chia hết iđêan khác, thì thay vì dùng từ chia hết để mọi người liên tưởng lại tính chia hết trong số học, mà dùng đúng khái niệm của nó thì bị thầy mắng cho té tát nên viết định nghĩa không ai dùng được không phải trò đùa đâu ạ. Em tin rằng những người viết sách tự họ là những người cảm thấy có trách nhiệm lớn nhất. Giáo dục phổ thông bị mọi người và phụ huynh kêu ca nhưng chắc chắn nó không nát theo kiểu sách được viết ra mà tính sư phạm không được đảm bảo. Bà giáo Phd của em cũng bắt em trình bày cho bà ấy để sao cho bà ấy hiểu chứ không phải vứt một đống định nghĩa technical mà không dùng được cái nào hết. Trong chương trình toán lớp 12 học sinh đã học tính nguyên hàm thuần thục rồi với vai trò hoàn toàn rõ ràng xem như là phép tính ngược của đạo hàm thì không có lý do nào để không tiếp tục phát triển tích phân từ nguyên hàm.

 

Với cả em thấy em, anh hay tất cả các thành viên khác của diễn đàn chả có ai bỡ ngỡ cái này, chúng ta chỉ bỡ ngỡ khi đọc những thứ vớ vẩn của Hoang Huynh thôi nên mình kêu gọi diễn đàn không thảo luận những câu hỏi kểu này của Hoang Huynh, không tất cả đều trở thành ngớ ngẩn. Ví dụ như em vừa đọc wikipedia từ đầu đến cuối phần tích phân thì chả thấy có cái thứ gì không rõ ràng cả, chúng ta tự tạo ra vấn đề khi đọc đúng đầu đuôi mà Hoang Huynh chụp ảnh ghép lại rồi vứt lên diễn đàn.

 

P/S: Em xin nói thêm là càng ngày những câu hỏi của HoangHuynh càng ảnh hưởng tiêu cực lên diễn đàn. Diễn đàn nên là nơi thảo luận những nội dung toán học thực chất chứ không phải là nơi cãi lộn. Đáng lẽ từ lúc Hoang Huynh đăng chứng minh đl Fermat của ông ấy lên là đã đủ hiểu mức độ tâm thần của ông này và cần ban từ rất rất nhiều câu hỏi trước đó rồi.




#730926 Định lý Newton- Leibniz

Gửi bởi Nxb trong 04-10-2021 - 17:58

Tải thử SGK lớp 12 hiện tại về kiểm tra xem thì trúng phóc:

 

attachicon.gif giaitich12.png

 

Thật là nguy hiểm! Định nghĩa chính thống dùng tổng trên và tổng dưới cũng rất trực quan và dễ hiểu đối với học sinh, tại sao họ không dùng nhỉ?

Anh ơi định nghĩa của họ đúng rồi ạ vì hàm $f$ liên tục thì $f$ sẽ luôn có nguyên hàm. Dạy học sinh chỉ nên dạy như vậy thôi và khi đi xa hơn cũng không có hàm nào mà không liên tục cả. Vì họ cũng có chuyên môn cao nên họ mới có khả năng linh hoạt trong định nghĩa như vậy. Định nghĩa dùng tổng Darboux thì họ cũng có gợi ý trong sgk nâng cao rồi. Ở đây họ làm vậy hoàn toàn đảm bảo chính xác về mặt toán học mà vẫn cung cấp đầy đủ kiến thức về tích phân. Còn bây giờ giả sử sử dụng định nghĩa chính xác của tích phân, thì phải đi thừa nhận một đống định lý không chứng minh được vì thời gian học lớp 12 có hạn, làm vậy là rất dở. Kể cả khi học toán cao hơn nữa, thì việc quan tâm tới các hàm không liên tục, không khả vi vv… nó là những bài toán rất lâu của giải tích và chỉ được cho vào để làm bài tập nhằm xác định xem sinh viên có hiểu bản chất của định nghĩa không, kéo dài không quá 1 kỳ để học những thứ đó. Làm như sgk lớp 12 sẽ giúp cho những ai học về các lĩnh vực khác không phải toán sẽ vẫn có thể bắt kịp những kiến thức cao hơn của toán học mà không cần phải quan tâm các vấn đề không mang tính thực hành, ngay cả đối với các nhà toán học.




#730924 Chứng minh số pi tồn tại

Gửi bởi Nxb trong 04-10-2021 - 17:16

Anh thấy poset đưa ra phản ví dụ quá hay. Trong Toán học nếu chỉ dựa vào trực giác thì nhiều khi sẽ sai hoàn toàn. Một ví dụ khác không liên quan tới câu hỏi của topic nhưng về trực giác: $0.999\dots = 1$ (hôm qua thấy Hân nhắc lại cho Hoang Huynh về ví dụ này, thấy hay nên anh mượn tạm). Hoàn toàn không hề trực quan đúng không?

 

Bài của Nxb tuy hiểu sai ý của poset nhưng cũng rất đáng để đọc (việc hiểu sai ý hay đọc nhầm rất dễ xảy ra, poset không nên quá bận tâm, hôm qua anh cũng mới đọc nhầm một bài trong box BĐT). Mình khuyên Lemonjuice và Hoang Huynh nên đọc kĩ bài của Nxb, và nếu thấy chỗ nào không rõ có thể hỏi thêm.

 

Ngoài ra nếu hai bạn có thể đọc được tiếng Anh thì có cuốn Analysis của Terence Tao (gồm hai tập), xây dựng giải tích hoàn toàn từ số 0 lên luôn, rất thích hợp cho những người đam mê muốn tìm tòi thêm như Lemonjuice và Hoang Huynh. Hãy xem trích đoạn trong phần mở đầu của tập 1:

 

attachicon.gif tao_analysis_I.png

 

Cuốn này mình muốn đọc từ lâu nhưng tiếc là vẫn chưa có thời gian vì phải học những thứ khác trước cần hơn cho công việc.

 

Không biết tiếng Việt có cuốn nào tương tự như vậy không nhỉ, bạn nào biết xin chỉ giúp.

Em thấy nội dung 2 tập sách của Tao cũng giống như giải tích 1,2,3 của Trần Đức Long. Em nghĩ nhập môn giải tích trên thế giới nơi nào cũng giống nhau, bởi vì giải tích là một nhánh đã phát triển từ lâu trong toán học. Sách nhập môn họ đều bắt đầu từ lý thuyết tập hợp rồi đưa ra một cách xây dựng của tập số thực, rồi các chủ đề sau đó cũng y hệt.