Đến nội dung

Nxb

Nxb

Đăng ký: 04-11-2011
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 20:29
*****

#501285 Một số vấn đề về Giới hạn

Gửi bởi Nxb trong 24-05-2014 - 20:09

Mấy đẳng thức đó thì cứ dùng quy nạp. Còn bài căn kia xuất phát từ tính giới hạn để tính đạo hàm, tức là tính đạo hàm của $x^{\alpha}$. Nếu giờ thay căn bậc hai bởi căn bậc bất kì thì không nhân liên hợp được nữa, mà thực ra bản chất của nó tại sao tính được chả phải do cái nhân liên hợp kia, bạn hãy thử chứng minh đẳng thức sau:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha$$.

Như vậy, chẳng hạn bài kia ta giải thế này:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n^2+2n}-n)=\lim_{n \rightarrow \infty} n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}-1)=\lim_{n \rightarrow \infty} n.\frac{1}{n}=1$$

Giờ bạn có thể giải thích được tại sao lại là $n^2+2n$ và có thể làm được với dấu căn bất kì




#501173 Cách chứng minh hai ma trận đồng dạng

Gửi bởi Nxb trong 24-05-2014 - 12:15

Câu hỏi bạn đặt ra cũng được, nhưng không phải bài toán tổng quát nào cũng nên giải. Bạn search mạng mà không thấy chứng tỏ người ta không quan tâm đến. Bài tập kiểu này mình cũng từng làm qua. Đại khái là bạn kiểm tra từng bước sau(mặc dù sẽ hơi trùng ở một số chỗ), nhưng mình chắc cái này không phải cách kiểm tra tổng quát:

1. Kiểm tra xem định thức của hai ma trận có bằng nhau không, nếu bằng thì sang bước 2

2. Kiểm tra xem đa thức đặc trưng của 2 ma trận có bằng nhau không, nếu bằng thì sang bước 3

3. Kiểm tra xem các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng có bằng nhau không(bằng cách tìm cơ sở của nó) nếu bằng và chéo hóa được thì hai ma trận đồng dạng.

 

Có thể thấy ngay một số bước ở đây sẽ không thực hiện được, nhưng chắc bài tập sẽ không chơi kiểu đó. 




#500140 Chứng minh : $u_n = \frac{ x - f(n)}{F(n)}...

Gửi bởi Nxb trong 19-05-2014 - 20:47

Các lập luận của bạn nghe rất ngô nghê, từ 1 không thể suy ra 2 được. Cái đó còn chấp nhận được vì bạn thể hiện trực giác rất tốt và ở trình độ phổ thông thì cũng không sao. Tuy nhiên cái lập luận cuối của bạn là không thể chấp nhận được. Ai có chút hiểu biết về giới hạn đều có thể thấy bạn làm quá ma giáo. Không hiểu bạn đang vô tình hay cố ý làm như vậy.




#499950 Chứng minh : $u_n = \frac{ x - f(n)}{F(n)}...

Gửi bởi Nxb trong 18-05-2014 - 22:23

Câu b nghĩ khá lâu mới ra phần hội tụ còn đơn điệu thì chịu, có lẽ dụng ý của tác giả là sự chuyển đổi giữa hàm số và dãy số trong một số trường hợp, trước hết ta cần bổ đề sau:

Bổ đề: Cho $f: (0, +\infty) \rightarrow Y$ là một hàm đơn điệu, $\lim_{n \rightarrow +\infty} f(n)=a$ hữu hạn thì $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a$

Chứng mình Ta chứng minh cho trường hợp $f$ đơn điệu tăng. Giả sử $f$ đơn điệu tăng và thỏa mãn các điều kiện của bổ đề. Ta có $a$ là một cận trên của $f$, bởi nếu không thì tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>a$. Do $f$ đơn điệu tăng nên $f([x_0]+1) \geq f(x_0)>a$. Đây là điều mâu thuẫn vì từ giả thiết, ta phải có $a=\sup{f(n)}$. Như vậy $a$ là một cận trên của $f$. Xét ${x_n} \subset (0, +\infty)$ là một dãy bất kì thỏa mãn $\lim x_n=+\infty$. Cho trước $\epsilon >0$, do $\lim f(n)=+\infty$ nên tồn tại $N$ sao cho với mọi $n \geq N$: $a-f(n)<\epsilon$. Do $\lim x_m=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ sao cho với mọi $m \geq n_0$: $x_m \geq N$. Như vậy, với mọi $m \geq n_0$, $|f(x_m)-a|=a-f(x_m) \leq a-f(N)<\epsilon$. Từ đó ta có $\lim f(x_n)=a$, ta có đpcm.

 

Ta tìm giới hạn ở phần b. do $f$ giảm nên và điều kiện 2, ta có

$$...+\int_{n+1}^{n+2}f(t)dt + \int_{n}^{n+1}f(t)dt \geq x-x_n=f(n+1)+f(n+2)+... \geq \int_{n+1}^{n+2}f(t)dt+\int_{n+2}^{n+3}+... \Leftrightarrow -F(n) \geq x-x_n \geq -F(n+1)$$.

Từ đó ta có $-1 \leq \frac{x-x_n}{F(n)} \leq \frac{-F(n+1)}{F(n)}$(4). Từ điều kiện 3, ta có được $\frac{f(x+1)}{f(x)})$ là hàm đơn điệu, kết hợp với điều kiện 1 thì theo bổ đề trên $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Do $f$ dương nên $F$ đơn điệu. Từ điều kiện 2 áp dụng bổ đề trên lần nữa ta được $\lim_{x \rightarrow +\infty} F(x)=0$. Từ đó theo quy tắc L'Hospital, ta được $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{F(x+1)}{F(x)}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Trương hợp riêng, ta có $\lim \frac{F(n+1)}{F(n)}=1$. Kết hợp với (4), theo nguyên lý kẹp ta có $\lim \frac{x-x_n}{F(n)}=-1$ 

 

Bài này có vẻ không được hữu dụng vào thực hành lắm




#497009 Đồ thị có hai trục nhưng tính được số liệu thứ 3_không phải trục

Gửi bởi Nxb trong 04-05-2014 - 11:07

Không hiểu ý câu hỏi của bạn lắm. Nhưng mình xem qua và nếu không quan tâm gì đến ý nghĩa vật lý thì có thể thấy rằng 3 cái tọa độ x,y,z kia thỏa mãn một phương trình tuyến tính (mà biểu diễn hình học của nó là một mặt phẳng). Vì thế có x,y thì tính được z thôi. Tức là các điểm biểu diễn cứ thuộc một mặt phẳng thì biết x,y của điểm ta sẽ tính được z




#496157 Lý thuyết giải tích 1 toán đại cương.

Gửi bởi Nxb trong 30-04-2014 - 20:25

Bạn đừng gọi mình là anh, mình mới đang học năm nhất thôi. Câu 4 thì sai, ban cứ thử kiểm tra hàm $x^3$ mà xem. Câu 3 mình không nhìn thấy cái mở ngoặc nên hiểu nhầm ý bạn. Câu này có lẽ làm thế này: hàm f liên tục trên $[a, b]$ nen f đạt max, min trên đoạn đó. Do f(a)=f(b) nên nếu f đạt max và min tại a và b thì f là hàm hằng nên f'(x)=0. Trường hợp có max hoặc min, giả sử là min đạt tại $c \in (a, b)$ như thế thì $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$ âm khi h âm và dương khi h dương. nên không thể có giới hạn là âm vô cực hoặc dương vô cực được mà phải hữu hạn và bằng 0.




#493417 $f\left ( x \right )+f\left ( y \right )=f\left...

Gửi bởi Nxb trong 16-04-2014 - 21:52

Sau khi xem xét lại bài toán có thể theo hướng này: Hàm $f$ xác định trên khoảng $(-1, 1)$ và tồn tại các giới hạn hoặc $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)$ hoặc $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$. Ta tính được $f(0)=0$ và từ đó được $f(x)=-f(-x)$. Trong phương trình trên thay $y=x$ ta được: $2f(x)=f(\frac{2x}{1+x^2})$. Với $d>0$ bất kì ta xây dựng một dãy ${x_n}$ như sau: 

$$x_1=d, x_{n+1}=\frac{2x_n}{x_n^2+1}$$

Đây là dạng dễ của dãy số: $x_{n+1}=f(x_n)$ta tính được $\lim x_n=1$. Mặt khác $f(x_n)=\frac{1}{2}f(x_{n+1})$ nên $f(d)=f(x_1)=\frac{1}{2^n}f(x_{n+1})$. Lấy giới hạn hai vế, ta được $f(d)=0$. Hàm lẻ nên nếu $d$ nhỏ hơn 0 thì ta cũng có $f(d)=0$. Kết luận hàm $f=0$.

Bình luận một chút: Bài theo hướng này đã làm cho hàm bớt thú vị hơn vì khi đó là phải cho hàm này có giới hạn tại -1 và 1. Tuy nhiên theo một cách nào đó thì điều kiện này lại mạnh hơn vì hàm khi đó thậm chí còn không cần liên tục (chứ đừng nói đến việc có đạo hàm hay không). Vấn đề là như thế thì sẽ mất vui vì đó thực chất không phải mở rộng của bài toán ban đầu. Bài toán mở rộng trên còn đang để ngỏ. Tuy vậy có một điều quan trọng là phương trình hàm đặt ra vì có một hàm xuất hiện trong một bài toán nào đó mà ta không xác định được rõ ràng nên dựa vào phương trình hàm để nghiên cứu hàm đó. Cứ như vậy thì cho thêm điều kiện để giải là "trò bịp" vì ta chẳng giải gì hết. Hàm vẫn ở đó ta chẳng qua là được công thức tường minh mà thôi. Bài toán đặt ra phải là bài toán mà không có điều kiện gì hết chỉ có mỗi phương trình.

 

 




#493280 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1...

Gửi bởi Nxb trong 16-04-2014 - 12:53

Mình thấy chuỗi hội tụ đấy chứ $ \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}=\frac{2}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})\sqrt{n}\sqrt{n+2}}$. Do dó chuỗi này tương đương với $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ mà chuỗi này thì lại hội tụ




#493120 $f\left ( x \right )+f\left ( y \right )=f\left...

Gửi bởi Nxb trong 15-04-2014 - 19:35

Đề nghị mở rộng bài toán thành tìm hàm f liên tục trên khoảng (-1, 1) thỏa mãn điều kiện như trên. 




#492928 $P(x^2+1)=(P(x))^2+1$

Gửi bởi Nxb trong 14-04-2014 - 20:32

Nếu hàm P(x) có bậc lẻ thì tồn tại $x_0$ để $P(x_0)=x_0$. Khi đó với $x_1=x_0^2+1$ ta có $P(x_1)=x_1$ và $x_1>x_0$. Theo cách này, ta xây dựng được một dãy vô hạn ${x_n}$ thỏa mãn $P(x_n)=x_n$ với mọi $n$. Từ đây ta có $P(x)=x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.




#492811 $P(x^2+1)=(P(x))^2+1$

Gửi bởi Nxb trong 13-04-2014 - 22:42

Thế này thì bạn mới chỉ tìm được nghiệm trong trường hợp đa thức đó bậc nhất thôi chứng minh của bạn nếu muốn đúng thì dự đoán đó phải được chứng minh.




#487113 Tính $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\t...

Gửi bởi Nxb trong 16-03-2014 - 09:37

Đây chỉ là một bài tập, nhưng mình thấy nó khá ý nghĩa: Cho $f \in C^{1}[0,1]$, $f'(0) \neq 0$. Theo định lý giá trị trung bình, với mọi $x \in [0,1]$ tồn tại $\theta(x) \in [0,x]$ sao cho $\int_{0}^{x} f(t)dt=xf(\theta(x))$. Tính $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\theta(x)}{x}$

Có thể dự đoán ngay được $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\theta(x)}{x}$ không?




#485218 Đưa diễn đàn toán lên facebook

Gửi bởi Nxb trong 28-02-2014 - 22:21

https://chrome.googl...mhjjmdecjjiblhm

Mọi người có thể tải app trong trang đó để cài đặt latex cho facebook. Thêm nữa, mọi người thử nghĩ xem nếu vmf hoạt động trên facebook thì chuyện gì sẽ xảy ra. 




#481921 CMR: DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di chuyẻn trên đường tròn.

Gửi bởi Nxb trong 08-02-2014 - 12:53

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D là điểm đỗi xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC.

CMR: DE luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di chuyẻn trên đường tròn.

 

p/s: mọi người thử làm đi nào... Thú vị lắm

Cái này là đường thẳng Steiner.




#481476 Một vài thắc mắc trong cuốn "Lý thuyết sơ cấp của các số

Gửi bởi Nxb trong 06-02-2014 - 20:51

-Trong chương 1, phần 1 nhỏ: Tính chia hết có ghi: số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu tồn tại số nguyên c sao cho: a=b.c, khi đó ta viết a l b, dấu l không biết có phải là dấu $\vdots$ sai chính tả không?

-Chỗ này em không hiểu: x $\vdots$ y và y $\vdots$ z

 Khi đó, tồn tại số nguyên t và u thỏa mãn y=xt và z=yu, chỗ bôi đen em nghĩ phải là x=yt và y=zu. Nếu dòng bôi đen là đúng thì ai giải thích giùm em với!

Dấu a|b có nghĩa là a chia hết b, còn a $\vdots$ b có nghĩa là a chia hết cho b. Hai cái dấu này khác nhau.