kobietlamtoan

Đặt $a=x+y$  Suy ra xy = $\frac{a^2-2}{2}$ . Và $4=2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2 \Rightarrow 2\geq a\geq -2$

$P=2(x^3+y^3)-3xy = -a^3 -\frac{3a^2}{2}+6a+3$

Đến đây xét Hàm. Ra $Max P =\frac{13}{2} \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

                                   $Min P=-7 \Leftrightarrow x=y=-1$

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=6\\ ab+bc+ca = -3 \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của $P=a^6+b^6+c^6$

Dự đoán a=2, b=1. Với $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$ và $4-a-b > 4-3-1=0$

Khi đó $P = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} + \frac{1}{(4-a-b)^2}=\frac{1}{a^2} + 4*\frac{1}{4b^2}+4*\frac{1}{(4-a-b)^2}$

$9*(\frac{1}{a^2} + 4*\frac{1}{4b^2}+4*\frac{1}{(4-a-b)^2})\geq \left (\frac{1}{a}+4*\frac{1}{2b}+4*\frac{1}{2(4-a-b)} \right )^2\geq \left ( \frac{9^2}{a+8b+8(4-a-b)} \right )^2$

$=\left ( \frac{9^2}{32-7a} \right )^2 \geq \left ( \frac{9^2}{18} \right )^2=\frac{81}{4}$

Thay vào suy ra $P\geq \frac{9}{4}$ . Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2}; y=1$

Cho x,y thỏa mãn: $\frac{1}{3} < x\leq\frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

Tìm GTNN:

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(4xy-x-y)^2}$

Cho a,b >0,

Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bài 1:

Đặt a=x+1; b=y+1; c=z+1. thì $x,y,z \geq 0$

BĐT trở thành:

$3- 2(xy+yz+zx)-3xyz \leq 3$

đẳng thức xảy ra khi 2 trong 3 số x,y, z = 0.

Ta có A=$\frac{\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{\sqrt{(y+x)(y+z)}}{y}+\frac{\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)(z+x)}{xyz}}\geq 6$

Cái này Lại lệch với đề bài rồi

Lần sau đặt tiêu đề là ĐỀ BÀI TOÁN nhé!. Nếu không sẽ bị khóa bài đấy. 

$\sum \frac{a+1}{b^2+1} = \sum a-\sum \frac{ab^2-1}{b^2-1}\geq 4-\sum\frac{ab^2-1}{2b} = 4+\sum \frac{1}{2b} -\sum \frac{ab}{2}$

Dễ thấy: $\sum \frac{1}{2a} \geq \frac{16}{2(a+b+c+d)} =2$

Và: $ab+bc+cd+da \leq \frac{(a+b+c+d)^2}{4} = 4$

từ đó suy ra đpcm   

Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$

Chừng minh rằng:  

$\frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} \geq 8(a^2+b^2+c^2)$

Coi x là biến, y, z là hằng số. Đạo Hàm $f(x)=1-x^2-y^2-z^2+2xyz$ trên $\left [ 0; 1 \right ]$ được:

$f'(x)=2yz - 2x$ . Do đó Max $f(x)$ đạt được khi x=yz.

Thay x = yz vào biểu thức:

$P \leq 1-y^2z^2-y^2-z^2+2y^2z^2\leq y^2z^2 - 2yz+1$

Đặt yz =t. đạo hàm tiếp rồi lập bảng biến thiên ta được $P \leq 1$ khi x=y=z=0 thì dấu bằng xảy ra.

Cho a,b,c>0 và   $abc+a+c=b$

Tìm MAX:  

 $\frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

 

$\frac{18}{4}((a+c)^{2}+(b+d)^{2})\leqslant \frac{18}{8}(a+b+c+d)^{2}  (3)$

đoạn này có vẻ không hợp lý lắm nhỉ?? 

Cho $a,b,c,d >0$ Tìm Min:

 $A=\frac{a}{2b+9c+1945d}+\frac{b}{2c+9d+1945a}+\frac{c}{2d+9a+1945b}+\frac{d}{2a+9b+1945c}$

Cho $x,y,z\geq 0$ và:  $x^2+y^2+z^2 = \frac{1-16xyz}{4}$

Chứng minh: $\frac{x+y+z+4xyz}{1+4xy+4yz+4zx}\geq \frac{13}{28}$

cho $a,b,c \in [0;1]$

Chứng minh rằng: 

    $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}+abc\leq \frac{5}{2}$