leminhansp

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{x}}{z^3+x^2}\le \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}.$$

 

Đề thi vào 10 - Tỉnh Nam Định 2018

Bài toán: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Hai điểm $C,D$ tùy ý trên nửa đường tròn đó ($C$ nằm giữa $A$ và $D$). Gọi $H=AD\cap BC$, $E=AC\cap BD$, $F=CD\cap AB$. CMR $OH\perp EF$.

 

Giải phương trình $$\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2.$$

Đề thi HK1 Toán 9 - Tỉnh Thái Bình 2017.

Câu 3:

 

Cách 2: Theo BĐT Cô-si (Cauchy, AM-GM) ta có

$$\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ac\ge 2(a^2+b^2+c^2)$$

Cũng có

$$\dfrac{a^3}{b}+bc+\dfrac{b^3}{c}+ac+\dfrac{c^3}{a}+ab\ge 2\left( a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}\right)$$

Cộng vế suy ra

$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+a^2+b^2+c^2$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}+(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\ge a\sqrt{ac}+b\sqrt{ab}+c\sqrt{bc}.$$

Ta sẽ chứng minh $\frac{5y^3-x^3}{xy+3y^2} \leq 2y-x$.

BĐT trên tương đương với $5y^3-x^3-(2y-x)(xy+3y^2) \leq 0$, hay $-(x-y)^2(x+y) \leq 0$, hiển nhiên đúng.

Tương tự, ta được $\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le (2y-x)+(2z-y)+(2x-z)=x+y+z=1.$

Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

 

 Quá khó cho một bài trong đề thi Học kì 1 lớp 9

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $$\dfrac{5y^3-x^3}{xy+3y^2}+\dfrac{5z^3-y^3}{yz+3z^2}+\dfrac{5x^3-z^3}{xz+3x^2}\le 1.$$

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Quận Hoàng Mai - 2017

Ta qui về bài toán đối xứng với hai biến và sử dụng BĐT cauchy-schwarz 

 

Về ý tưởng mình cũng như thế, nhưng cách thực hiện có hơi khác một chút.

Bài toán: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\dfrac{27a^2}{2}+4b^2+c^2=1-2bc$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3a+2b+c$.

Đề thi vào 10 Chuyên Biên Hòa - Hà Nam (2016)

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\ge -2$, $b\ge -2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng

a) $a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$.

b) $\dfrac{4-b^2}{4\left[(c-2)^2+1\right]}-\dfrac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\ge 0$.

 

Đề thi vào 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017 - 2018 (Đề chung)

Bài toán: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{2}{xy+yz+zx}+\dfrac{9}{x^2+y^2+z^2}$$

Đề thi xét tuyển vào 10 Lương Thế Vinh Hà Nội 2017 - 2018

Năm nay mình sẽ ở ẩn trong mấy ngày thi

em nghĩ để không bị ăn cắp bản quyền thì VMF nên in chìm chữ VMF.net ở mỗi trang sách. Đây chỉ là ý kiến của em thôi ạ

 

Điều VMF mong muốn nhất vẫn là sự tiện lợi cho người đọc, ban biên tập cũng là những người thường xuyên đọc tài liệu và sách nên cảm thấy sự khó chịu khi giở trang nào cũng chềnh ềnh một dòng chữ to tướng không liên quan ở giữa! 

 

Suy cho cùng, tài liệu này trước hết là phục vụ cho việc học tập và giảng dạy của các thành viên trong ban biên tập, sau đó là hướng đến lợi ích cộng đồng, cuối cùng mới đến mục đích quảng bá cho VMF, vì vậy mặc dù BBT không đồng ý mọi hành vi ăn cắp trắng trợn (như ở trang luyenthithukhoa) nhưng BBT cũng không quá đau đầu vì chuyện đó. Điều đó có nghĩa là chẳng việc gì phải vì một chút lợi ích nhỏ bé cá nhân mà làm mất đi sự tiện lợi cho rất nhiều người đọc tài liệu. Nếu người ta muốn ăn cắp thì kể có in chìm thì người ta cũng ăn cắp được thôi, đến sách in người ta còn scan lại rồi cắt đầu cắt đuôi đi được cơ mà

Cho đường tròn $(I)$, điểm $A$ nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $IC$ cắt $(I)$ tại $D$, $AD\cap (I)=E$, $BE\cap AC=F$. CMR $F$ là trung điểm $AC$.

 

Một cách của bạn Hiếu Titus bên K2pi [Link]

 

 

Giải hệ phương trình sau $$\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{1-97y^2}+y\sqrt{1-97x^2}=\sqrt{97}(x^2+y^2)\\ 27\sqrt{x}+8\sqrt{y}=\sqrt{97}\end{array}\right.$$

(Chuyên Hạ Long - Lần 2)