Poseidont

Bài 3

 Ta có $xy+z=xy+z(x+y+z)=z^2+xy+yz+xz=(z+x)(z+y)\geq (z+\sqrt{xy})^2$

            $2x^2+2y^2\geq (x+y)^2$

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 1 

 

BĐT $\Leftrightarrow 3(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq a+b+c$

 Ta sẽ chứng minh $VT+3\geq VP+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $x=a+\frac{1}{a}$ , $y=b+\frac{1}{b}$ , $z=c+\frac{1}{c}$

$3(x-1)(y-1)(z-1)\geq x+y+z\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)-12+3(x+y+z))\geq 3(xy+yz+xz))$

(Đúng vì $x\geq 2$ , $y\geq 2$, $z\geq 2$ )

Suy ra điều phải chứng minh

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}$

 

Không, cái mình không phụ thuộc vào đạo hàm, cái hàm số bậc nhất $y=ax+b$ đôi khi bạn vẫn có thể "$a^2$" ..., bạn hiểu mình chứ

@:Bofake

Hoàn toàn cố thể coi bạn à,bạn có thể tham khảo trên mạng nhiều,chắc hẳn cách này quá lạ so vs mọi người mà

Ta sẽ chứng minh $a^2b^3+b^2c^3+c^2a^3\leq 1$

Sau đây là 1 cách chứng minh ít ai nghĩ tới

Ta đưa biểu thức về hàm bậc nhất $f(a)=a(ab^3+a^2c^2)+b^2c^3-1$

Xét $ab^3+a^2c^2=0\Rightarrow b^2c^3-1\leq 0$ (Luôn đúng vì $b,c\leq 1$)

Xét $ab^3+a^2c^2\neq 0$

Suy ra đây là hàm đồng biến và $a\in [0,1]$

Cần chứng minh $f(0)\leq 0$ và $f(1)\leq 0$

Ở trường hợp 2

$f(1)=ab^3+a^2c^2+b^2c^3-1\leq ab+bc+ca-1\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}-1< 0$

....

Mình có bổ đề này có thể giúp bạn, tỏng quát luôn, chưng minh cứ dùng tam thức bậc hai thôi.

Với mọi $k<0$

$cos{2nA}+cos{2nB}+kcos{2nC}\leq \frac{-2k^2-1}{2k}$

I/ Các công thức lượng giác cơ bản :

$sin^2x+cos^2x=1$                        $1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}$

$1+cot^2x=\frac{1}{sin^2x}$           $tanx.cotx=1$

1/Công thức cộng:

$sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa$

$cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.sinb$

$tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tana.tanb}$  $(a,b,a\pm b\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$

$cot(a\pm b)=\frac{cota.cotb\mp 1}{cota\pm cotb}$   $(a,b,a\pm b\neq k\pi$

2/ Công thức nhân

$sin2x=2sinx.coss$

$cos2x=cos^2x-sin^2x \Rightarrow cos2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1$

$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}$

$sin3x=3sinx-4sin^3x=4sinx.sin(\frac{\pi }{3}-x).sin(\frac{\pi}{3}+x)$

$cos3x=4cos^3x-3cosx=4cosx.cos(\frac{\pi }{3}-x).cos(\frac{\pi}{3}+x)$

$tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}=tanx.tan(\frac{\pi }{3}-x).tan(\frac{\pi}{3}+x)$

3/Biến đổi tổng thành tích

$cos a+cosb=2cos \frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$cos a-cosb=-2sin \frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$

$sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}$

4/Biến đổi tích thành tổng

$cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b))]$

$sina.sinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b))]$

$sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b))]$

$cosa.sinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b))]$

Ở đây mình chỉ nêu một số công thức cơ bản, vì vậy sẽ còn rất nhiều công thức khác, các bạn hãy tự tìm tòi nhé.

II/ Bài tập

Câu 1: Chứng minh rằng

$cos\frac{\pi}{15}.cos\frac{2\pi}{15}.cos\frac{3\pi}{15}.cos\frac{4\pi}{15}.cos\frac{5\pi}{15}.cos\frac{6\pi}{15}.cos\frac{7\pi}{15}=(\frac{1}{2})^7$

Ta nghĩ ngay đến sử dụng công thức nhân đôi,hiển nhiên sẽ triệt tiêu được một số "biến"

$sin2x=2sinx.cosx$ (Đặc biệt là có 7nhân tử và có con số $(\frac{1}{2})^7$

$VT=\frac{sin\frac{2\pi}{15}}{2sin\frac{\pi}{15}}.\frac{sin\frac{4\pi}{15}}{2sin\frac{2\pi}{15}}...\frac{sin\frac{14\pi}{15}}{2sin\frac{7\pi}{15}}=...=(\frac{1}{2})^7$

 

 

 

 

 

 

 

 

                           

 

Anh nhớ không nhầm thì bài này tim Max chứ:

Nếu tìm max ta giải như sau :

$P\leq \sum \frac{x}{2(x+y+1)}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{x}{x+y+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{y+1}{x+y+1}\geq 2$

Theo $Cauchy-Schwarz$

$\sum \frac{y+1}{x+y+1}=\sum \frac{(y+1)^2}{(x+y+1)(y+1)}\geq \frac{(\sum x+3)^2}{\sum (x+y+1)(y+1)}$

Nhân bung cái dưới rồi dùng $a^2+b^2+c^2=3$

$\Rightarrow \sum (x+y+1)(y+1)=\frac{1}{2}(\sum x+3)^2$

Ta có điều phải chứng minh

Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho T=$2^{n}+3^{n}+4^{n}$ là số chính phương

Ta có $n=1\Rightarrow TM$

$n=2\Rightarrow T\in \varnothing$

Xét $n> 2\Rightarrow T\equiv 3^n(mod8)$

$\cdot n=3k\Rightarrow 3^n=3^{3k}\equiv 3(mod8)$

$\cdot n=3k+1\Rightarrow 3^n=3^{3k+1}\equiv 7(mod8)$

$\cdot n=3k+2\Rightarrow 3^n=3^{3k+2}\equiv 3(mod8)$

Mặt khác $a^2\equiv 0,1,4(mod8)$

Nên chi có 1 giá trị $n=1$

Ta có $n(n+1)$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow n=3k+1$

$\Rightarrow 2n^2+n+8=2(3k+1)^2+(3k+1)+8\equiv 2(mod3)$

Mặt khác $a^2\equiv 0,1(mod3)$

($a=3k\Rightarrow a^2=(3k)^2\equiv 0(mod3)$

$a=3k+1\Rightarrow a^2=(3k+1)^2\equiv 1(mod3)$

$a=3k+2\Rightarrow a^2=(3k+2)^2\equiv 1(mod3)$)

$\Rightarrow Q.E.D$

Tại sao lại ra được thế ạ

Ý bạn là thế nào:

Cụ thể hơn nhé $3=ab+bc+ca\geq^{AM-GM} 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq 1\Rightarrow abc\leq 1$ (Vì $a,b,c>0$)

@trauvang97

Bài này dùng $SOS$

Ta có 

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{bc}-1)(b-c)^2+(\frac{b}{ca}-1)(c-a)^2+(\frac{c}{ab}-1)(a-b)^2\geq 0$

Theo tiêu chuẩn 2 của định lí $SOS$

Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_b,S_b+S_c,S_b+S_a\geq 0$ thì $S\geq 0$

Ta có

$S_b=\frac{b}{ac}-1\geq \frac{1}{a}-1\geq 0$ (theo giải thiết đầu bài )

$S_b+S_c=\frac{1}{2}(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})-1=\frac{b^2+c^2}{2abc}-1\geq \frac{2bc}{2abc}-1\geq 0$

Tương tự ta có điều phải chứng minh.

Từ giải thiết $\Rightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow VT\leq \sum \frac{1}{abc+a^2(b+c)}=\sum \frac{1}{a(ab+ac+bc)}=\frac{1}{abc}$

Theo bossulan239

$VT\equiv 2(mod5)\Rightarrow q^2\equiv 2(mod5)$

 Ta có

$q=5k+1\Rightarrow q^2\equiv 1(mod5)$

$q=5k+2\Rightarrow q^2\equiv 4(mod5)$

$q=5k+3\Rightarrow q^2\equiv 4(mod5)$

$q=5k+4\Rightarrow q^2\equiv 1(mod5)$