Poseidont

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}$

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất

$P=\frac{x^2}{\sqrt{2x^2+xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{2y^2+yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{2z^2+zx+x^2}}$

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 3x^2-3xy+3y^2-9x+3y+4=0& & \\ 3x^2-6xy+2x-10y+3=0 & & \end{matrix}\right.$

I/ Các công thức lượng giác cơ bản :

$sin^2x+cos^2x=1$                        $1+tan^2x=\frac{1}{cos^2x}$

$1+cot^2x=\frac{1}{sin^2x}$           $tanx.cotx=1$

1/Công thức cộng:

$sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa$

$cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.sinb$

$tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tana.tanb}$  $(a,b,a\pm b\neq \frac{\pi }{2}+k\pi$

$cot(a\pm b)=\frac{cota.cotb\mp 1}{cota\pm cotb}$   $(a,b,a\pm b\neq k\pi$

2/ Công thức nhân

$sin2x=2sinx.coss$

$cos2x=cos^2x-sin^2x \Rightarrow cos2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1$

$tan2x=\frac{2tanx}{1-tan^2x}$

$sin3x=3sinx-4sin^3x=4sinx.sin(\frac{\pi }{3}-x).sin(\frac{\pi}{3}+x)$

$cos3x=4cos^3x-3cosx=4cosx.cos(\frac{\pi }{3}-x).cos(\frac{\pi}{3}+x)$

$tan3x=\frac{3tanx-tan^3x}{1-3tan^2x}=tanx.tan(\frac{\pi }{3}-x).tan(\frac{\pi}{3}+x)$

3/Biến đổi tổng thành tích

$cos a+cosb=2cos \frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$cos a-cosb=-2sin \frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$

$sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2}$

$sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2}$

4/Biến đổi tích thành tổng

$cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b))]$

$sina.sinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b))]$

$sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b))]$

$cosa.sinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b))]$

Ở đây mình chỉ nêu một số công thức cơ bản, vì vậy sẽ còn rất nhiều công thức khác, các bạn hãy tự tìm tòi nhé.

II/ Bài tập

Câu 1: Chứng minh rằng

$cos\frac{\pi}{15}.cos\frac{2\pi}{15}.cos\frac{3\pi}{15}.cos\frac{4\pi}{15}.cos\frac{5\pi}{15}.cos\frac{6\pi}{15}.cos\frac{7\pi}{15}=(\frac{1}{2})^7$

Ta nghĩ ngay đến sử dụng công thức nhân đôi,hiển nhiên sẽ triệt tiêu được một số "biến"

$sin2x=2sinx.cosx$ (Đặc biệt là có 7nhân tử và có con số $(\frac{1}{2})^7$

$VT=\frac{sin\frac{2\pi}{15}}{2sin\frac{\pi}{15}}.\frac{sin\frac{4\pi}{15}}{2sin\frac{2\pi}{15}}...\frac{sin\frac{14\pi}{15}}{2sin\frac{7\pi}{15}}=...=(\frac{1}{2})^7$

Năm học 2012-2013

(Thời gian: 180 phút)
Câu 1:
a) Giải bất phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

Câu 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(2;4)$ và các đường thằng: $d_1: 2x-y-2=0, d_2: 2x+y-2=0$. Viết $(C)$ tâm $I$ sao cho $(C)$ cắt $d_1$ ở $A,B$ và $d_2$ ở $C,D$ thỏa mãn: $AB^2+CD^2+16=5AB.CD$
Câu 4
1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác $AL$ và $\dfrac{CM}{AL}=\dfrac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
Tính $\dfrac{b}{c}$ và $cosA$
2. Cho $a,b \in \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(2+a)(1+b)=\dfrac{9}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$
Câu 5
Cho $f(x)=x^2-ax+b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn rằng tồn tại các số nguyên $m,n,p$ đôi một phân biệt và $1 \le m,n,p \le 9$ sao cho $|f(m)|=|f(n)|=|f(p)|=7.$
Tìm tất cả các bộ số $(a;b)$