Đến nội dung


T M

Đăng ký: 19-11-2011
Offline Đăng nhập: 09-07-2014 - 12:58
****-

#506869 $\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2} \geq \sqr...

Gửi bởi T M trong 15-06-2014 - 15:43

Bài toán: Giải bất phương trình 

 

$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq \sqrt{2-3x-4x^2}$$

 

( Đề thi thử lần 4 chuyên ĐHV 2014 )




#506629 $\frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2...

Gửi bởi T M trong 14-06-2014 - 16:57

Lâu lắm mới vào lại diễn đàn, một số topic nhìn cũng loạn quá rồi :( Thôi post ra ngoài thì hơn.

 

Bài toán: Cho $x;y;z>0$Tìm GTNN của  ( Thi thử GSTT 14/6/2014 )

 

$$ P= \frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2}{2y+1}+\frac{x+2z^2}{2z+1}+\frac{8}{x+y+z}$$

 

Mọi người cố gắng phân tích được thì tốt, không thì cố gắng lời giải chỉnh chu và phù hợp với thi đại học nhé, 96er đâu hết rồiiiiiiiiiiiiiiiiii :D




#473060 $\frac{1}{3}\left ( \sum \frac...

Gửi bởi T M trong 26-12-2013 - 19:46

Cho $x;y;z>0$, chứng minh 

 

$$\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{yz}{x^2} \right )+\left [ \frac{xyz(x+y+z)}{\sum x^2y^2} \right ]^2 \geq 2$$




#459454 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 23-10-2013 - 18:28

phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ

 

sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó

 

Mình nhầm, sửa lại một chút, tưởng bài này ngon :P

 

Phương trình tương đương $$2^x+65=(y+1)^2$$

 

+ Nếu $(y+1)^2 \equiv 0 (\mod 2)$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $(y+1)^2 \not\equiv 0 (\mod 2)$ thì đặt $t=y+1$, và $ t^2 \not\equiv 0(\mod 2)$.

Viết lại phương trình dưới dạng $$2^x+65=t^2$$

 

Vì $t^2 \equiv 1;4 (\mod 5)$ nên $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$. Tính $2^1;2^2;...$ thì suy ra $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$ suy ra $x \equiv 0;2 (\mod 4)$.

 

Nên $x$ chẵn. Suy ra $$\left (2^{\frac{x}{2}}-t \right) \left (2^{\frac{x}{2}} +t \right) =-65$$

 

Dễ có $-65=-65.1=-5.13$. Vì $t;x>0$. Đến đây giải hệ là được.




#459235 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 22-10-2013 - 17:48

Câu 1:(5đ)

 

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

 

 

 

Câu dãy chứng minh được $x_n \to 0$. Suy ra $\frac{\sum x_k}{n} \to 0$. :|




#459216 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 22-10-2013 - 15:25

 

 

 

Cậu 5: (3đ)

 

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$  không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

 

 

 

 

Giải.

 

Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.

Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$

Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.




#459105 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Gửi bởi T M trong 21-10-2013 - 20:15



Câu 1.

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và : 

$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$

Câu 2.

Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$

 

 

Nháp một lúc thì ra được câu hệ. Đặt $x+y=u$ và $x-y=v$, thay vào phương trình $(1)$ suy ra $$4(u+v)+(u^2-v^2)(u+v)=4(u-v)+16 \Longleftrightarrow 4(u+v-4)+(u-v)\left[ (u+v)^2 - 4 \right] = 0 \Longleftrightarrow (u+v-4)(4+(u-v)(u+v+4))=0$$

 

Từ phương trình $(2)$ ta được $3u^2+v^2=12$. Đến đây công việc khác là đơn giản :D




#459099 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Gửi bởi T M trong 21-10-2013 - 19:55

Câu 1.

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và : 

$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$

 

Câu này chắc là đơn giản nhất. 

 

Xét $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2-2x+2}$, có $f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$.

 

Ta chứng minh rằng $f'(x)>0$, thật vậy, xét hàm $f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$, có $f'(t)=\left(t^2+1 \right)^{-1/2}+2t^2\left(t^2+1 \right)^{-3/2}>0$, nên $f(x+1)>f(x-1)$ hay $f'(x)>0$.

 

Từ đó chỉ cần tính $x_2$ và so sánh $x_2$ với $x_1$ là bài toán được giải quyết $\blacksquare$.




#457873 Tìm lim $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}...

Gửi bởi T M trong 16-10-2013 - 07:01

Cho U1=1 và Un+1= $\sqrt{1+U_{n}(U_{n}+1)(U_{n}+2)(U_{n}+3)}$ 
Tìm lim $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{U_{i}+2}$

 

Hướng dẫn: Nhân trong căn ra và nhóm lại được bình phương đủ.




#457794 $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}...

Gửi bởi T M trong 15-10-2013 - 20:30

   cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$

 

Chứng minh:

 

Hãy chỉ ra rằng,

 

$$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2} \left ( a+b \right)$$

 

Bằng cách biến đổi tương đuơng theo từng cặp.




#457714 Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số...

Gửi bởi T M trong 15-10-2013 - 06:14

Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số nguyên tố. Chứng minh n là số nguyên tố.

 

Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng.

 

+ Đầu tiên, ta chứng minh rằng, $n$ không thể $=1$. Điều này khá hiển nhiên, bạn tự làm.

 

+ Giờ ta sẽ chứng minh, với $n \neq 1$, $2^n-1$ là $1$ số nguyên tố, thì $n$ không phải hợp số. Giả sử trái lại, tức $n$ là hợp số, thì ta sẽ có $n=pq$, trong đó $p,q>1$ và nguyên. Khi đó,$$2^n-1=2^{pq}-1=\left(2^p \right)^q-1^q=(2^p-1)[2^{p(q-1)}...+1]$$ Hiển nhiên $2^n-1$ là hợp số. Vô lí, vậy giả sử sai. Ta có đpcm $\blacksquare$.




#457158 Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014

Gửi bởi T M trong 12-10-2013 - 18:59

không thể suy ra toàn ánh như kiểu của bạn được đâu :)

 

Bạn giải thích kĩ hơn hộ mình một chút được không ? Sao lại không suy ra toàn ánh được nhỉ ? 

 

Với lại thế $u=x+f(x)$ thì có cần điều kiện gì không ?




#457145 Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014

Gửi bởi T M trong 12-10-2013 - 18:14

Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?

 

Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?




#452996 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1

Gửi bởi T M trong 25-09-2013 - 20:22

Bài phương trình hàm giải thế này không biết ổn không :D

 

  • Cho $y=0$, suy ra $f(0)=0$.
  • Cho $x=0$, suy ra $f(y)=-y^2-y$ hay $f(x)=-x^2-x$, thử vào ... thấy đúng.

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=-x^2-x$.




#451224 $u_{1}=1;u_{2}=2;u_{n+1}=\dfrac{...

Gửi bởi T M trong 17-09-2013 - 18:10

Tuyến tính hóa dãy đã cho, ta được công thức truy hồi sau:

 

$$u_1=1 ; u_2=2 ; 14u_{n+1}-47u_n-3u_{n-1}=1$$

 

Đến đây, dùng phương pháp sai phân ta được công thức tổng quát của $u_n$.