T M

không biết đúng không nhé : 

$lim \frac{1}{x^{2}}-lim\frac{1}{x^{2}}.lim\frac{sinx}{x}=lim\frac{1}{x^{2}}-lim\frac{1}{x^{2}}$

Vì $lim \frac{sinx}{x}=1$ mà , $x->0$ nhé

Chưa biết đúng sai như thế nào. Nhưng theo mình, bài của bạn 0 điểm.

Bạn mắc một lỗi rất cơ bản, $\lim(u+v)=\lim u + \lim v$, khi và chỉ khi $\lim u$ và $\lim v$ là HỮU HẠN. ( Xin lỗi vì mình không viết biến số tiến tới đâu, lười ý mà ^^)

Bài này để "tránh" dùng L'Hospital, có thể dùng chính định nghĩa đạo hàm, được viết trong SGK 11. Bạn nào chém nốt đi nhé

Chuyên Phan Ngọc Hiển chuyên cho kiểu cấp số cộng, cấp số nhân thì phải

Bước cuối có thể dùng BĐT Cauchy - Schwarz chắc nhàn hơn  

$$x^3+y^3 \geq \frac{\left ( x^2+y^2 \right )^2}{x+y} \geq \frac{\left ( \frac{(x+y)^2}{2} \right )^2}{x+y}=\frac{(x+y)^3}{4}$$

Cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng Holder.

Chú ý là $x+y \geq 2$. 

1) Cho $a,b,c$ dương. CMR : $\frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{b^3}{(b+c)^3}+\frac{c^3}{(a+c)^3}\geq \frac{3}{8}$.

 

Lời giải:

$\bullet$ Trước tiên, thực hiện phép đổi biến $$\left ( \frac{b}{a} ; \frac{c}{b};\frac{a}{c} \right ) \to \left ( x;y;z \right ) \Rightarrow xyz=1$$

Viết lại điều phải chứng minh dưới dạng $$\sum \frac{1}{\left ( 1+a \right )^3} \geq \frac{3}{8}$$

$\bullet$ Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có đánh giá 

$$\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{(1+a)^3}+\frac{1}{8} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1+a)^6.8}} =\frac{3}{2}.\frac{1}{(1+a)^2}$$

Điều phải chứng minh trở thành $$\sum \frac{1}{(1+x)^2} \geq \frac{3}{4}$$

Do tính đối xứng của BĐT, ta giả sử $xy \geq 1$.

Chứng minh bất đẳng thức phụ sau $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2} \geq \frac{1}{1+xy} \ \ \forall xy \geq 1$

Bài toán đưa về chứng minh $\frac{z^2+z+1}{(z+1)^2} \geq \frac{3}{4}$. Điều này đúng. 

Vậy ta có đpcm.

 

Tim: $\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}$

Tim:  [TeX]\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}[/TeX]

Lời giải: 

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{\left(x^{100}-1\right)-2\left(x-1\right)}{\left(x^{50}-1 \right)-2\left( x-1 \right) } = \lim_{x \to 1}\frac{x^{99}+x^{98}+........+1-2}{x^{49}+.......+1-2}=\frac{49}{24}$$

Đây là tài liệu tổng hợp nhỏ của mình gồm hơn 20 bài toán dãy số lấy từ đề đề nghị của các trường năm 2012. Mọi người làm rồi chúng ta cùng thảo luận nhé

Cái mình thắc mắc là dự đoán số $\frac{3}{2}$ như thế nào ?

Bài viết hay quá ạ Latex rất đẹp nữa

Bài toán (Định lí $Stolz$). Nếu 2 dãy số $x_n$ và $y_n$ thỏa mãn đồng thời

• $y_{n+1}>y_n$ với mọi $n \in N*$
• $y_n \to +\infty$
• $\lim\left ( \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} \right )=A$

Chứng minh rằng $\lim\left ( \frac{x_n}{y_n} \right )=A$

Cho a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:

\[\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + ab + {b^2}} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {2{b^2} + bc + {c^2}} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {2{c^2} + ca + {a^2}} }} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\]

Bạn xem thêm ở tập tin đính kèm về phương pháp này nhé

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^3 + y^3 + z^3=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y} + \dfrac{yz}{x} \geq 3.$$

Xem thêm ở đây.

Cho $x;y;z> 0$.Chứng minh rằng :

$P=\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3xz}{(y+z)(y+x)}\geqslant \frac{5}{3}.$

 

(trích đề thi học sinh giỏi lớp 11-Quảng Bình 2011)

--------------------------------

CBBX

Hướng giải:

Bằng khai triển trực tiếp ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành

$$xy(x+y)+yz(y+z)+4xz\left ( x+z \right )\geq 10xyz$$

Điều này tương đương với

$$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(x+z)}{y}\geq 10$$

Áp dụng $AM-GM$ từng cặp là ra.

Số phức làm đơn giản như thế này cũng được

Áp dụng công thức Morvie ta có

$z=2\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.i \right )=2\left ( \cos{\frac{\pi}{3}+\sin{\frac{\pi}{3}i}} \right ) \Longrightarrow z^5=2^5\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right ) \\ \Longrightarrow w=i\left ( 1-\sqrt{3} \right )16+16\left (1+\sqrt{3} \right )$

Xong rồi