Giải thích dùm tớ 2 dòng này với
Làm sao có ý tưởng để ra được dòng đầu tiên về $PT$ đặc trưng
CÒn nghiệm tổng quát luôn có dạng giống dòng thứ 2 hả !? Hay là tùy thuộc vào số nghiệm của $PT$ !?

Đây là một phương pháp để tìm CTTQ bạn ạ....Dành cho phương trình tuyến tính hoặc không tuyến tính....Miễn là phương trình đặc trưng có nghiệm thì giải CTTQ đơn giản  

Tiếp tục với đa thức :
3/ Khi chia đa thức $p(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+2x+1$ cho $x-1$ được số dư là $5$ . Và chia $p(x)$ cho $x-2$ số dư là $-4.$
a/ Tìm $A,B$ biết $Q(x)=x^{81}+ax^{57}+bx^{41}+cx^{19}+ Ax+B$ chia hết cho đa thức $(x^2-3x+2)$
 

Ta có: 

$p(2)=-4, Q(2)=0$ thay x vào => 2A+B=9

$p(1)=5 , Q(1)=0$ thay x vào => A+B=-2

Giải hệ (1) & (2) => A=11, B=-13

câu 3 đề sai

sao lại sai???

Góp cho topic của ae mấy bài.

Bài 1: Tìm số nguyên tố p để phương trình $x^2-px-228p=0$ có 2 ngiệm nguyên.

Bài 2: CMR: $3^p-2^p-1$ chia hết cho 42p ( p là số nguyên tố  và p>7)

Hỏi các bác tí:

Cho tam giác ABC có ba cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp và có$\hat{B}=2\hat{C}+\hat{A}$ . Tìm 3 cạnh của tam giác đó

Cho hình chữ nhật ABCD , gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,CD.Gọi E,F lần lượt là giao điểm của BN với AN, DM. Chứng minh tứ giác AEFG nội tiếp

Áp dụng bđt Bunhiacopki ta có

$(\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x})^2\leq (\frac{8}{x+1}+1)(1+x)=\frac{x+9}{x+1}.(x+1)=x+9$

Suy ra $\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$

Từ chỗ này thì sẽ =>$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$ chứ bạn

đâu phải yêu cầu của đề bài

Để mình chỉnh latex

Ta có  phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản nên  (a;b)=1 nghĩa là 1 là UCLN của a,b

Giả sử $ab$ và $a^2+b^2$ cùng chia hết cho c là 1 SNT

=> a,b chia hết cho c 

=> ab ⋮c

=> $\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$. cũng chia hết cùng cho c

Trái với giả thiết (a;b)=1 

=> (ab;$a^2+b^2)$ =1

Vậy $\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$ là p.s tối giản

Vô nghiệm, đúng đề.

Post cái lời giải đúng đi

mọi người đều nhầm cả

Giải:

Từ PT(1) ta được:

$(x-y)(x^{2}-2y)=0$

ta thay vào PT

TH1:$x^2-2y=0$ => $\sqrt{x^2-2y-1}=\sqrt{-1}$ (vô lí )

TH2: $x-y=0$ => $x=y$.........(???)

 

Rất xin lỗi các bạn về sự chậm trễ...!Sau đây là đề số 1...Mong các bạn tích cực!

               ĐỀ SỐ 1              

Bài 5:

 Giả sử $ a_{1}, a_{2}, ......., a_{11} $ là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 đôi một khác nhau thỏa mãn$ a_{1}+a_{2}+....+a_{11}=407$. Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của phép chia n cho 22 số$ a_{1} , a_{1},......,a_{11}, 4a_{1}, 4a_{2},.....,4a_{11} $bằng 2012

 

Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649

Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào

Xem bài 307 sách 1001 bài toán sơ cấp

Trình bày rõ ràng đi....

ĐỀ SỐ 9

Bài 1:

a.Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} (x-y)^2+\frac{4xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}+x-y=1 \end{matrix}\right.$

b.Giải phương trình:$3x^3-17x^2-8x+9+\sqrt{3x-2}-\sqrt{7-x}=0$

Bài 2:

Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=1$

CMR:

$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{ab+1-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$

Bài 3:

Cho tam giác ABC (AB<BC, AB<AC). Gọi M, N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC,BC. Đương thẳng MN cắt các tia AO,BO lần lượt tại P,Q. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. CMR:

a. CÁc tứ giác BONP, AOMQ, AQPB nội tiếp

b,  E,F,Q thẳng hàng

c. $\frac{OM}{OC}=\frac{PQ+MQ+MP}{AB+BC+CA}$

Bài 4:

Tô màu các STN từ 1 đến 2013 theo quy tắc: Số chia cho 24 dư 17 thì tô xanh, số chia 40 dư 7 thì tô đỏ, các số còn lại tô đen

a. Có bao nhiêu số được tô màu đen?

b. Tìm các cặp số (a,b) sao cho a tô xanh, b tô đỏ và $\left | a-b \right |=2$

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông tại C, $\widehat{BAC}=30^{\circ}$. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm D thuộc cung nhỏ AC.

CMR: $3BD^2=5AD^2+5CD^2 <=> CD=2AD$

P/s: Cùng thảo luận nào mọi người. Nhưng nhớ là không SPAM nhé!

bạn xem lại thử đề có bị nhầm không

100% vô nghiệm.

Bấm lại máy tính thấy $x=\frac{1}{7}$ không thỏa, không biết sai ở đâu,

hoangmanhquan nhận xét vậy là sao? Dấu = xảy ra mà

sai ở đâu thế????????????

Áp dụng bđt Bunhiacopki ta có

$(\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x})^2\leq (\frac{8}{x+1}+1)(1+x)=\frac{x+9}{x+1}.(x+1)=x+9$

Suy ra $\sqrt{\frac{8}{x+1}}+\sqrt{x}\leq \sqrt{x+9}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{7}$

Rất xin lỗi mọi người,,,,Cảm ơn đã đưa ra lời giải đúng  

Đề bài là thế này

Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

 

ĐỀ  SỐ 5

Bài 4:

Cho đường tròn (O;R). điểm A nằm ngoài đường tròn (O).Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O). Trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N.

CMR: PM=PN=PA

 

Chưa chữa xong đề 2 mà đã đến đề 3. Sao nhanh vậy

Do mạng nhà mình laq quá nên đề phòng trước

 

ĐỀ SỐ 2

Bài 2:

a. Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1$

 

PT <=> $(\sqrt{8x+1}-3)+(\sqrt{46-10x}-6)=-x^3+5x^2+4x+1$

$<=> \frac{8(x-1)}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10(x-1)}{\sqrt{46-10x}+6}+(x-1)(x^2-4x-8)=0$

$<=> (x-1)(\frac{8}{\sqrt{8x+1}+3}-\frac{10}{\sqrt{46-10x}+6}+x^2-4x-8)=0$

=> x=1

 

ĐỀ SỐ 3

Bài 1:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

$\frac{4}{4+1}+\frac{4.2}{4.2^4+1}+.....+\frac{4.n}{4.n^4+1}=\frac{220}{221}$

Bài 2:

Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho:

$\frac{f(\sqrt{2}+\sqrt{7})}{g(\sqrt{2}+\sqrt{7})}=\sqrt{2}$

Bài 3:

a. Cho m,n là hai số nguyên dương thoả mãn $ m+n-1$ là số nguyên tố và $ m+n-1$ là một ước của $2(m^2+n^2)-1$. Chứng minh $m=n$

b. Tìm tất cả các số thực a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:

$2x^2-(4a+\frac{11}{2})x+4a^2-7=0$

Bài 4:

Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.

a. CMR: M,H,N thẳng hàng

b. Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.

Bài 5: 

Có 2010 người xếp thành 1 vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn 2 người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh( về phía bên trái hoặc bên phải). Hỏi sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về 1 người được hay không?

 

Bài 3:

a. Cho m,n là hai số nguyên dương thoả mãn $ m+n-1$ là số nguyên tố và $ m+n-1$ là một ước của $2(m^2+n^2)-1$. Chứng minh $m=n$

b. Tìm tất cả các số thực a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:

$2x^2-(4a+\frac{11}{2})x+4a^2-7=0$

Bài 4:

Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.

a. CMR: M,H,N thẳng hàng

b. Đường thẳng MN cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.

Bài 5: 

Có 2010 người xếp thành 1 vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn 2 người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh( về phía bên trái hoặc bên phải). Hỏi sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về 1 người được hay không?

ĐỀ SỐ 2

Bài 1:

Cho $x=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{3}-2}-\frac{3}{2(\sqrt{3}+1)}}$

Tính giá trị biểu thức: $A=\frac{4(x+1)x^{2013}-2x^{2012}+2x+1}{2x^2+3x}$

Bài 2:

a. Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^3+5x^2+4x+1$

b. Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2=xy+2y & \\ 2x^3+3xy^2=2y^2+3x^2y & \end{matrix}\right.$

Bài 3: 

a. Tìm tất cả các cặp số nguyên(x,y) thỏa mãn đẳng thức:

$(x+y+1)(xy+x+y)=5+2(x+y)$

b. Tìm các số dương a,b,c sao cho: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=48abc$

Bài 4:

Cho góc nhọn xBy. Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.

a. Gọi O là trung điểm của AB. CM: OD vuông góc với AH

b. Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C, BD cắt AC tại E. CMR: tứ giác HDEC nội tiếp.

Bài 5:

Cho a,b,c >0. CMR:

$\sum \frac{a^4c}{b(a^2c+b^3)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

ĐỀ SỐ 2

 

Bài 5:

Cho a,b,c >0. CMR:

$\sum \frac{a^4c}{b(a^2c+b^3)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

 

Đặt:

$ A=\sum \frac{a^4c}{b(a^2c+b^3)}=\sum \frac{\frac{a^4}{b^2}}{\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}}$

Đặt

$\frac{a^2}{b}=x $,$ \frac{b^2}{c}=y$ , $\frac{c^2}{a}=z$

Khi đó:

$A=\sum \frac{x^2}{y+z} => 2A=\sum \frac{x^2+y^2}{x+y}+x-y+y-z+z-x\geq \sum \frac{(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac{1}{2}.2.(x+y+z)=x+y+z=\sum \frac{a^2}{b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$

$=>A\geq \frac{a+b+c}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

ĐỀ  SỐ 5

Bài 1:

Cho x,y là 2 số nguyên dương thỏa mãn: $\frac{a+1}{a} , \frac{b+1}{b}$ đều là các số nguyên. CMR:  UCLN của x và y không lớn hơn $\sqrt{x+y}$

Bài 2:

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình;

$4(xy+7)^2=x^2+y^2$ 

Bài 3:

Cho  a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: $0<a,b,c<1$ và $ab+bc+ca=1$

Tìm GTNN của 

$A=\sum \frac{a^2(1-2b)}{b}$

Bài 4:

Cho đường tròn (O;R). điểm A nằm ngoài đường tròn (O).Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O). Trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB và song song với BC, lấy điểm P. Đường tròn đường kính OP cắt đường tròn (O) tại M,N.

CMR: PM=PN=PA

 

Đề số 6

 

 

Bài 1: (5 điểm)

1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản:

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.

Bài 2: (5 điểm)

1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoã mãn:

$a - b = \sqrt{1 - b^2} - \sqrt{1 - a^2}$.

Chứng minh rằng:

$a^2 + b^2 = 1$.

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10}$.

Bài 3: (3 điểm)

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ \geq $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Sin$\dfrac{A}{2}$  $\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$.

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Một đường thằng d quay xung quanh điểm A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.

-----------------------------

 

Fix latex đi  bạn

bạn ơi mình thấy bạn giải hình như còn sót nghiệm (cái cuối mới suy ra)

Hết nghiệm rồi mà....bạn tìm thử xem còn nghiệm nào nữa k rồi fix lại giùm mình nha!

Đề có vấn đề rồi bạn ơi Phải là $\frac{a+1}{a}+\frac{b+1}{b}\in \mathbb{N}$ chứ nhỉ

Chỉ là số nguyên thôi chứ không là số tự nhiên.

Xin phép post đề 7

 

ĐỀ 7

Bài 1: Cho a là tổng các chữ số của số $(2^{9})^{2001}$, $b$ là tổng các chữ số của số  $a$, $c$ là tổng các chữ số của $b$. Tìm $c$.

 

 

Bài 2:    a.Tìm nghiệm nguyên pt: $(x^{2}+y)(y^{2}+x)=(x-y)^{3}$

 

               b. Giải pt : $x^{2}+22x+5=16\sqrt{2x+51}$

 

 

Bài 3:      Giải hệ pt: $x^{3}+y^{3}=1 \cup x^{4}+y^{4}=1$

 

 

Bài 4:            Cho $(O;R)$, 2 điểm A, B ở ngoài đường tròn sao cho $OA=R\sqrt{2}$. Tìm điểm M trên đường tròn sao cho tổng $MA+MB\sqrt{2}$ đạt min.

 

 

Bài 5:         Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. M là giao điểm 2 đường chéo. Đường thẳng vuông góc OM tại M cắt AB,BC,CD,DA tại $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$.                      CMR: $M_{1}M_{4}=M_{2}M_{3}$

                                                                                                

Phiền bạn từ sau trước khi post đề mới nhắn mình nhé!

Mình rất ủng hộ nhưng để đỡ loãng topic ấy mà

Hì