Mình xin bổ sung thêm một chứng minh ngắn sử dụng các kiến thức về ma trận + số phức

  Cho A,B,C đôi một giao hoán nên ở đây các tính toán trên ma trận tương tự như các tính toán đại số thông thường .

  Ta lưu ý đến đẳng thức sau: $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a+\varepsilon b+\varepsilon ^{2}c)(a+\varepsilon ^{2}b+\varepsilon c),\varepsilon =e^{\frac{2\pi i}{3}}$.

  Thay a, b,c bằng các ma trận A,B,C $\in M_{2}(\mathbb{R})$ta được

$det(A^{2}+B^{2}+C^{2}-AB-BC-CA)=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(A+\varepsilon ^{2}B+\varepsilon C)$

        $=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)det(\overline{A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C})=det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)\overline{det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C)}$

 $=\left | det(A+\varepsilon B+\varepsilon ^{2}C) \right |^{2}\geqslant 0$

 Tối ưu đồ thị phần 2.pdf   237.23KB   97 downloads

 Tối ưu đồ thị.pdf   328.18KB   100 downloads

 Tối ưu tập hợp phần II.pdf   275.07KB   95 downloads

 Tối ưu tập hợp.pdf   351.71KB   94 downloads

Đây là tài liệu sưu tầm của mình ( các bài toán đều có lời giải hết) :

putnam 1938 1964

 Putnam 1938-1964 (2) (1).pdf   30.4MB   283 downloads

putnam 1965 1984  Putnam 1965-1984.pdf   8.12MB   644 downloads

putnam 1985 2000   Putnam1985-2000.pdf   2.06MB   253 downloads

putnam 2001 bài toán   2001.pdf   77.83KB   238 downloads lời giải  2001s.pdf   112.51KB   380 downloads

putnam 2002  bài toán  Undergraduate_Competitions-Putnam-2002-23.pdf   141.34KB   273 downloads lời giải   2002s.pdf   101.25KB   218 downloads

putnam 2003  bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2003-23.pdf   129.57KB   234 downloads lời giải  2003s.pdf   87.94KB   402 downloads  2003s.pdf   87.94KB   402 downloads

putnam 2004 bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2004-23.pdf   149.68KB   196 downloads lờ giải  2004s.pdf   71.13KB   190 downloads

putnam 2005 bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2005-23.pdf   142.35KB   247 downloads  Undergraduate_Competitions-Putnam-2003-23.pdf   129.57KB   234 downloads lời giải

putnam 2006   2006.pdf   208KB   600 downloads

putnam 2007 bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2007-23.pdf   137.65KB   245 downloads lời giải   2007s.pdf   81.36KB   266 downloads

putnam 2008  bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2008-23.pdf   130.43KB   230 downloads lời giải

   Putnam_2008 (1).pdf   141.76KB   599 downloads

putnam 2009 bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2009-23.pdf   132.36KB   237 downloads lời giải  Putnam_2009.pdf   200.84KB   907 downloads

putnam 2010 bài  toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2010-23.pdf   142.71KB   228 downloads lời giải 

putnam 2011 bài toán   Undergraduate_Competitions-Putnam-2011-23.pdf   141.02KB   259 downloads lời giải

 2011s.pdf   76.89KB   220 downloads

putnam 2012  sol2012.pdf   87.86KB   209 downloads

putnam 2013  sol2013.pdf   228.77KB   217 downloads

putnam 2014 bài toán   4319.pdf   117.51KB   352 downloads lời giải   putnam2014.pdf   150.09KB   327 downloads

 Mong rằng đây sẽ là bộ tài liêu hữu ích cho đông đảo mọi người

Không có bạn ơi . Tài liệu này chỉ có bản tiếng anh à !

Sau bộ tài liệu putnam đây là một bộ tài liệu dành cho phổ thông tốt :

1990 -  bw90sol.pdf   61.88KB   136 downloads

1991  bw91sol.pdf   69.69KB   156 downloads

1992  bw92sol.pdf   73.12KB   136 downloads

1993  bw93sol.pdf   80.08KB   156 downloads

1994  bw94sol.pdf   87.38KB   129 downloads

1995  bw95sol.pdf   73.61KB   148 downloads

1996  bw96sol.pdf   81.36KB   111 downloads

1997  bw97sol.pdf   123.31KB   104 downloads

1998  bw98sol.pdf   121.46KB   109 downloads

1999  bw99sol.pdf   124.71KB   111 downloads

2000  bw00sol.pdf   102.75KB   107 downloads

2001  bw01sol.pdf   95.83KB   118 downloads

2002  bw02sol.pdf   121.4KB   129 downloads

2003  bw03sol.pdf   157.74KB   151 downloads

2004  bw04sol.pdf   140.7KB   114 downloads

2005  bw05sol.pdf   144.51KB   168 downloads

2006  bw06sol.pdf   145.27KB   106 downloads

2007  bw07sol.pdf   207.33KB   107 downloads

2008  bw08sol.pdf   159.89KB   110 downloads

2009  bw09pb.pdf   49.85KB   118 downloads (năm này không thấy có lời giải cụ thể các bạn có thể tham khảo trên trang '' art problem solving'' các lời giải của từng bài )

2010  bw10sol.pdf   224.59KB   161 downloads

2011  bw11sol.pdf   352.37KB   146 downloads

2012  bw12sol.pdf   204.93KB   261 downloads

2013  PROBSOLS.pdf   1.29MB   240 downloads

     Mong rằng với số lượng tài liệu ít ỏi này sẽ giúp ít cho nhiều bạn

Lưu ý với các bạn là có một số bài không thấy ghi lời giải

 1991  j01solutions.pdf   111.92KB   194 downloads               1998  j08solutions.pdf   175.1KB   180 downloads

 1992  j02solutions.pdf   114.65KB   149 downloads                1999  j09solutions.pdf   147.21KB   180 downloads

 1993  j03solutions.pdf   130.89KB   181 downloads                 2000  j10solutions.pdf   164.37KB   186 downloads

 1994  j04solutions.pdf   124.13KB   132 downloads                 2001  j11solutions.pdf   180.96KB   147 downloads

1995  j05solutions.pdf   133.48KB   148 downloads                  2002  j12solutions.pdf   146.28KB   290 downloads

 1996  j06solutions.pdf   117.64KB   130 downloads                 2003  j13solutions.pdf   132.82KB   178 downloads

 1997  j07solutions.pdf   176.82KB   152 downloads                 2004  j14solutions.pdf   258.96KB   152 downloads

                                    2005  j15solutions.pdf   156.88KB   175 downloads

                                    2006  j16solutions.pdf   162.29KB   145 downloads

         2007  j17solutions1.pdf   85.79KB   247 downloads  j17solutions2.pdf   77.4KB   175 downloads

        2008  j18solutions1.pdf   86.36KB   147 downloads  j18solutions2.pdf   91.7KB   172 downloads

        2009  j19solutions1.pdf   81.52KB   140 downloads  j19solutions2.pdf   87.67KB   135 downloads

        2010  j20solutions1.pdf   87.35KB   170 downloads  j20solutions2.pdf   90.56KB   149 downloads

        2011  j21solutions1.pdf   148.38KB   140 downloads  j21solutions2.pdf   149.88KB   150 downloads

        2012  j22solutions2.pdf   185.63KB   144 downloads  j22solutions1.pdf   211.59KB   142 downloads

        2013  j23solutions1.pdf   136.86KB   152 downloads  j23solutions2.pdf   156.03KB   149 downloads

        2014  j24solutions1.pdf   133.64KB   155 downloads  j24solutions2.pdf   155.63KB   139 downloads

        2015  j25solutions1.pdf   147.43KB   210 downloads  j25solutions2.pdf   157.17KB   175 downloads

  Lưu ý với các bạn bài toán này mình đã thay đổi yêu cầu để cho đơn giản bạn có thể tìm thấy nội dung đầy đủ của nó ở Putnam 1984

 Bài toán . Cho n là một số nguyên dương. Gỉa sử a,b,x là các số thực , với $a^{2}\neq b^{2}$, Ma trận vuông $M_{n}$ cấp 2n trong đó phần tử (i,j) được xác định:

$m_{ij}=\left\{\begin{matrix} x & i=j\\ a & i\neq j &i+j =2k \\ b & i\neq j & i+j=2k+1 \end{matrix}\right.$ 

  Tính $detM_{n}$ theo a,b,n

Lời giải. Gọi N là ma trận $M_{n}$ khi x =a . Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy N có hạng bằng 2 ( chỉ có hai hàng phân biệt ). Do đó 0 là một giá trị riêng của N với số bội bằng 2n-2.

  Nếu gọi e là ma trận $2n\times 1$ với các phần tử bằng một . 

  Với một chút tính toán ta sẽ thấy Ne=n(a+b)e- điều này có nghĩa là n(a+b) là một giá trị riêng khác của N ứng với vector riêng e

   Ta thấy vết của N bằng 2an $\Rightarrow$ Tồn tại một giá trị riêng thứ ba bằng 2an-n(a+b)=n(a-b)

 Từ đây dễ dàng suy ra rằng

$det(N-\lambda I_{2n})=\lambda ^{2n-2}(\lambda -n(a+b))(\lambda -n(a-b))$

  Để giải quyết trọn vẹn bài toán ta chú ý một điểm quan trọng sau $M_{n}=N-(a-x)I_{2n}$

  Thay $\lambda =a-x$ từ công thức trên ta suy ra

 $detM_{n}=(a-x)^{2n-2}(a-x-n(a-b))(a-x+n(a-b))$.

Bài toán ( Sydney-2013). Tính định thức của ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng i nếu $i\neq j$ và bằng i+1 nếu i=j

Lời giải. Gọi $M_{n}$ là ma trận được định nghĩa, $I_{n}$ là ma trận đơn vị cấp n.

Khi đó ta thấy từ định nghĩa thì ma trận $M_{n}-I_{n}$ có hàng thứ i là (i,i,...,i) nên có hạng bằng 1 và định thức bằng 0 .

 Suy ra 1 là một giá trị riêng của ma trận $M_{n}$ có số bội bằng n-1.

Ta thấy vết của ma trận $M_{n}$ bằng $\sum_{i=1}^{n}(i+1)=\frac{n^{2}+3n}{2}$ nên giá trị riêng còn lại của ma trận $M_{n}$ bằng $\frac{n^{2}+3n}{2}-(n-1)=\frac{n^{2}+n+2}{2}$

  Do đó : $detM_{n}=1^{n-1}\times\frac{n^{2}+n+2}{2}=\frac{n^{2}+n+2}{2}$

Bài toán ( ĐH-FPT 2013 ) Tính định thức sau

         $\begin{vmatrix} x+a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\a_{1} & x+a_{2} & ... & a_{n}\\ ... &... &... &... \\a_{1} & a_{2} &... & x+a_{n} \end{vmatrix}$

Cách 1 ( Biến đổi sơ  cấp )  Cộng  tất cả các cột 2 ,3,...,n vào cột đầu tiên ta thu được

                                 $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} &... & a_{n}\\ x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}&x+a_{2} &... &a_{n} \\ ...& ....& ... &.... \\x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} &a_{2} &... &x+a_{n} \end{vmatrix}$

 Tiếp theo trừ hàng thứ 1 cho các hàng 2,3,...n ta được

                  $\begin{vmatrix} x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0 & x & ... & a_{n}\\... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & x \end{vmatrix}$

  Đến đây dễ  thấy giá trị định thức cần tìm bằng $x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

Cách 2 ( Lý thuyết về giá trị riêng - đa thức đặc trưng )  Đặt  $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})$,

trong đó $A=\begin{bmatrix} a_{1} &a_{2} & ... &a_{n} \\ a_{1} & a_{2} & ... &a_{n} \\ ...& ... & ... &... \\a_{1} & a_{2}& ... & a_{n} \end{bmatrix}$. 

  Ta thấy rank A=1 , nên 0 là một  giá trị riêng của ma trận A và có số bội bằng $n-rankA=n-1$. 

  Theo đó giá trị riêng còn lại của ma trận A  bằng $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ . Lưu ý là hệ  số của $\lambda ^{n}$ trong $P(\lambda )$ là $(-1)^{n}$

nên $P(\lambda )=det(A-\lambda I_{n})(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda +a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$ 

 Thay $\lambda =-x$ thay thấy $det(A+xI_{n})=x^{n-1}(x+a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$.

  Chú ý vế trái là định thức ta cần tính.

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0 

Tiếp theo chúng ta sẽ ôn tập lại phương pháp giá trị riêng thông qua một ví dụ nhỏ.

Bài toán ( Saint Peterburg -2007) Cho ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n},$ trong đó $m_{ij}=\begin{cases} a_{i}a_{j} & \text{ }i\neq j \\ a_{i}^{2}+k& \text{ if } i= j \end{cases}$.

Tính detM.

Lời giải. 

Đặt: $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{2} &a_{1} a_{2} & ... & a_{1}a_{n}\\ a_{2}a_{a} &a_{2}^{2} &... & a_{2}a_{n}\\ ...& ... &... &... \\a_{n}a_{1} &a_{n}a_{2} & ... &a_{n}^{2} \\ & & & \end{pmatrix}$

thì khi đó detM=det(A+kE), trong đó E là ma trận đơn vị cấp n.

  Dễ dàng nhận thấy rankA=1 do đó 0 là một giá trị riêng của ma trận A và có số bội là n-1 nên giá trị riêng còn lại sẽ là $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}$ nên ta suy ra đẳng thức bên dưới đây

              $det(A-\lambda E)=(-1)^{n}\lambda ^{n-1}(\lambda -(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}))$.

Thay $\lambda =-k$ ta sẽ thu được đáp án cho câu hỏi ban đầu là $k^{n-1}(k+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})$.

 Bên dưới đây là một file đề thi bằng tiếng Nga dành cho các bạn nghiên cứu thêm

   2007.pdf   172.63KB   188 downloads

Bài toán ( Sydney-2011) Cho m, n là hai số nguyên dương sao cho $m\geq n$ Gọi A là ma trậ vuông cấp n sao cho phần tử (i,j) bằng $C_{mj}^{i}$ . Tính det A .

    Đáp số : $detA=m^{\frac{n(n+1)}{2}}$

Bài toán. Cho ma trận vuông A cấp n , với $a_{ij}=(i,j)$, trong đó (i,j) là ước chung lớn nhất của i và j

Tính det A

Tiếp theo là một số bài toán tính toán định thức có trên tạp chí American Mathematical ....

Bài toán ( AMM-11179) Cho các số nguyên dương i, j đặt $m_{i,j}=\left\{\begin{matrix} -1 &i+1\equiv 0(mod j) \\0 & i+1\not\equiv 0(modj) \end{matrix}\right.$.Gỉa sử $M_{n}$ là ma trận vuông cấp n-1 có phần tử (i,j) là $m_{i,j}$.

  Chứng minh rằng $det(M_{n})=\mu (n)$, trong đó $\mu$ là hàm Mobius . ( Tạp chí Epsilon)

Bài toán:(Putnam 2009 )Cho n > 3, n nguên dương. Tính định thức:

 $D_{n}=\begin{vmatrix} cos1 &cos2 &... &cosn \\ cos(n+1) & cos(n+2) &... &cos2n \\... &... &... &... \\cos(n^{2}-n+1) & cos(n^{2}-n+2) &... &cosn^{2} \end{vmatrix}$

Lời giải.  Lấy cột thứ 3 + cột thứ 1$\rightarrow$ cột thứ 1 và sử dụng biến đổi lượng giác , ta được :

$D_{n}=\begin{vmatrix} 2cos2cos1 &cos2 &... & ... &... cos(n) \\2cos(n+2)cos1 &cos(n+2) &... & ... &cos2n \\... & ... & & ... &... \\... &... & ... & ... &... \\2cos(n^{2}-n+2)cos1 & cos(n^{2}-n+2) &... &... & cosn^{2} \end{vmatrix}$

   Lúc này cột thứ 1= 2cos1 cột thứ 2 $\Rightarrow$ det$D_{n}=0$.

Bài toán . Xét các số phức$z_{1},z_{2},...,z_{2n}$ thỏa mãn điều kiện  $\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{n+3} \right |$ và $argz_{1}\geqslant argz_{2}\geqslant ...\geq argz_{n+3}$.

  Tính định thức của ma trận B ,trong đó  $b_{ij}=\left | z_{i}-z_{j+n} \right |,i,j\in \left \{ 1,2,...n \right \}$.

 Lời giải . Ta có nhận xét sau bài toán đề cập đến modun và argument của một số phức nên ta sẽ sử dụng dạng lượng giác của số phức trong các tính toán. 

    Với hai số phức $z=r(cosx+isinx);\omega =r(cosy+isiny)\Rightarrow \left | z-\omega \right |=2r\left | sin\left ( \frac{x-y}{2} \right ) \right |$. 

  Kết hợp với điều kiện ở đầu bài, ta thấy B có dạng như sau:

$B=(2r)^{n}\begin{vmatrix} sin(x_{1}-x_{n+1}) &sin(x_{1}-x_{n+2}) & sin(x_{1}-x_{n+3}) & ...\\... &... & ... &... \\ sin(x_{n}-x_{n+1}) & sin\left ( x_{n}-x_{n+2} \right ) & sin(x_{n}-x_{n+3}) & ... \end{vmatrix}$

 trong đó $x_{i}$ kí hiệu tương ứng argument của $z_{i}$ và r=$\left | z_{1} \right |=\left | z_{2} \right |=...=\left | z_{2n} \right |$

 Nếu ta tách det B theo các cột thì dễ dàng nhận thấy det B=0 

Bài toán (AMM11270) Gọi $S_{n}$ là ma trận vuông cấp n có các phần tử thuộc tập $\left \{ 1,2,...,n^{2} \right \}$ .Các phần tử được sắp xếp theo hình xoắn ốc theo chiều tăng của các giá trị.

Tính $detS_{n}$.

Đáp số: $detS_{n}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}4^{n-1}\frac{3n-1}{2}\prod_{k=0}^{n-2}\left ( k+\frac{1}{2} \right )$

File lời giải:

   AMM11270.pdf   63.73KB   147 downloads

Lời giải. Ta sẽ tính định thức bằng các xác định các giá trị riêng của ma trận.

  Trước tiên để cho thuận tiện trong các trình bày ta sẽ xét một trường hợp đặc biệt khi a=0 và bc=1

kí hiệu là $D_{n}$ . Đặt $P_{n}(\lambda )=det(\lambda I_{n}-D_{n})$ .

  Áp dụng khai triển Laplace liện tiếp cho ma trận $\lambda I_{n}-D_{n}$ , lần thứ nhất theo cột thứ nhất , lần thứ hai theo hàng thứ nhất, ta thu được hệ thức

$P_{n}(\lambda )=(-1)^{1+1}\lambda P_{n-1}(\lambda )+(-1)^{2+1}(-c) (-1)^{1+1}(-b)P_{n-2}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

  Ta qui ước $P_{0}(\lambda )=1$, bằng tính toán trực tiếp $P_{1}(\lambda )=1$ nên với mọi $n\geq 2$ ta luôn có

                     $P_{n}(\lambda )=\lambda P_{n-1}(\lambda )-P_{n-2}(\lambda )$

 Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng nhận thấy;

                                 $P_{n}(2cos\theta )=\frac{sin(n+1)\theta )}{sin\theta }, 0< \theta < \pi$

  Dễ dàng nhận thấy $P_{n}(\lambda _{k})=0$ với $\lambda _{k}=2cos\frac{k\pi }{n+1},k=1,2,...n$  mà $degP_{n}(x)=n$ . Từ đây suy ra $\left \{ 2cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là tất cả các giá trị riêng của $D_{n}$.

   Trong trường hợp tổng quát ta thấy $A_{n}=aI_{n}+\sqrt{bc}\overline{D_{n}}$, trong đó $A_{n}$ là ma trận cho trong đề bài còn $\overline{D_{n}}$ có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 và thỏa mãn các tính chất trong trường hợp riêng mà ta đã khảo sát. Theo kết quả trên ta thấy $\left \{ a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right \}_{k=1}^{n}$ là các giá trị riêng của $A_{n}$

   Do đó

       $det(A_{n})=\prod_{k=1}^{n}\left ( a+2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{(n+1-k)\pi }{n+1} \right )=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Sau đây là một số bài toán tính định thức theo các hướng độc đáo đã được sau trên các cuộc thi danh tiếng  (đề mục này sẽ được bổ sung dần dần )

Bài toán 1. (PUTNAM 2014)  Cho A là ma trận $n\times n$ trong đó phần tử ở hàng thứ i cột thứ j được cho bởi $\frac{1}{min(i,j)}$ với $1\leqslant i,j\leqslant n$ . Tính định thức của ma trận A

Lời giải. Từ điều kiện ở đầu ta thấy 

           A=$\begin{bmatrix} 1 & 1 &1 ...& 1& \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{2} ...& \frac{1}{2}& \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ...&\frac{1}{3} & \\1 &\frac{1}{2}&\frac{1}{3}...& \frac{1}{4}\\ ... & ... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} ... & \frac{1}{n} & \end{bmatrix}$

   Để giải bài toán này ta sẽ áp dụng khai triển Laplace  cho hàng thứ n . Chú ý khi đó ma trận con thu được khi xóa hàng thứ n có dạng 

         \begin{bmatrix} 1 & 1& 1 & ... &1& 1\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{2} & ...& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ ... & ... &... & ...&... & ...\\1 & \frac{1}{2}&\frac{1}{3} &..& \frac{1}{n-1} &\frac{1}{n-1} \end{bmatrix}$

Khi đó cột thứ n và cột thứ n-1 trùng nhau nên ma trận con chứa cả hai cột n và n-1 có định thức bằng 0 . Từ đó ta thấy

        $\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 & ... &1 \\1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &... & \frac{1}{2}\\ 1& \frac{1}{2}&\frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\ ...& ... &... & ... &... \\ 1& \frac{1}{2} &\frac{1}{3} & ... &\frac{1}{n} \end{vmatrix}=-\frac{1}{n-1}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... &1 \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{2} \\... & ...& ... & ...\\ 1 & \frac{1}{2}&... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}+\frac{1}{n}\begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1\\1 & \frac{1}{2} & ... & \frac{1}{2}\\ ... &\... & ... &... \\ 1 & \frac{1}{2} &... &\frac{1}{n-1} \end{vmatrix}$

    Nếu đặt $D_{n}=det(A)$ trong đó A có cấp n thì $D_{n}=\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n-1}\right ) D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}D_{n-1}$

    Sử dụng hệ thức truy hồi này và chú ý $D_{1}=1$ ta được

$D_{n}=\frac{-1}{n(n-1)}\frac{-1}{(n-1)(n-2)}...\frac{-1}{3.2}\frac{-1}{2.1}=\frac{(-1)^{n+1}}{n!(n-1)!}$

   Bài toán 2 (ĐHBK -2013) .Cho $x_{i},y_{i},1\leq i\leq n$ là các số phức với $x_{i}y_{j}$$\neq 1$ với mọi cặp $x_{i},y_{j}$.

  Tính định thức của ma trận $M=(m_{ij})_{n\times n}$ tróng đó $m_{ij}=\frac{1}{1-x_{i}y_{j}}$

lời giải. Để cho thuận tiện ta quy ước $D_{y_{1}y_{2}...y_{n}}^{x_{1}x_{2}...x_{n}}=det(M)$. Ta thấy

 n=2 : $D_{y_{1}y_{2}}^{x_{1}x_{2}}=\begin{vmatrix} \frac{1}{1-x_{1}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{1}y_{2}} \\ \frac{1}{1-x_{2}y_{1}} &\frac{1}{1-x_{2}y_{2}} \end{vmatrix}=\frac{(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}{(1-x_{1}y_{1})(1-x_{1}y_{2})(1-x_{2}y_{1})(1-x_{2}y_{2})}$  ( tính toán tương đối đơn giản nên mình không nêu ra cụ thể )

Ta có thể tính trực tiếp thêm một số giá trị của n . Dự đoán :

$D_{y_{1}...y_{n}}^{x_{1}...x_{n}}=\frac{\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(1-x_{i}y_{j})}$. Ta sẽ chứng minh quy nạp công thức này.

   Áp dụng khai triển Laplace cho cột thứ nhất ta được

$D_{y_{1}..y_{n+1}}^{x_{1}...y_{n+1}}=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}D_{y_{2}...y_{n+1}}^{x_{1}...x_{i-1}x_{i+1}...x_{n+1}}$

$=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\frac{1}{1-x_{i}y_{1}}\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1,k,l\neq i}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leq k\leqslant n+1,k\neq i,2\leq l\leqslant n+1}(1-x_{k}y _{l})}$

$\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}(1-x_{k}y_{1})\frac{\prod_{1\leqslant k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{k=1}^{i-1}(x_{k}-x_{i})\prod_{k=i+1}^{n+1}(x_{i}-x_{k})\prod_{1\leqslant k,l\leqslant n+1}(1-x_{k}y_{l})}$

$=\left ( \sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1} \frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}\right )\frac{\prod_{1\leq k< l\leq n+1}(x_{k}-x_{l})\prod_{2\leq k< l\leq n+1}(y_{k}-y_{l})}{\prod_{1\leqslant k,l\leq n+1}(1-x_{k}y_{l})}$

 Đặt $P(x)=\prod_{k=2}^{n+1}(1-xy_{k})$ thì $P(x)$ là một đa thức bậc n và $P(x_{i})=\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k}),i=1,2,..n+1$ . Áp dụng công thức Lagrange ta được:

  $P(x)=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{x-x_{k}}{x_{i}-x_{k}}$

 Thay $x=\frac{1}{y_{1}}$ , nhân hai vế cho $y_{1}^{n}$ ta được

      $\prod_{k=2}^{n+1}(y_{1}-y_{k})=\sum_{i=1}^{n+1}\prod_{k=2}^{n+1}(1-x_{i}y_{k})\prod_{k=1,k\neq i}^{n+1}\frac{1-x_{k}y_{1}}{x_{i}-x_{k}}$.

  Từ đây ta dễ dàng thu được kết quả mong muốn.

Bài toán ( Sydney-2009 ) Cho $A_{n}$ là ma trận vuông cấp n trong đó phần tử (i,j) bằng 1 nếu $n\leq i+j\leq n+1$ và bằng 0 trong các trường hợp còn lại.

 Tìm các giá trị riêng của $A_{n}$

Bài toán ( Sydney-2005). Tính định thức của ma trận vuông A cấp n trong đó

                                                             $a_{ij}=\frac{(2i+2j-2)!}{2^{2i+2j-2}(i+j-1)!}$

Lời giải. Ta chứng minh kết quả sau:

  Cho  $\alpha \in \mathbb{R}$ , giả sử $C=(c_{ij})_{i,j=1}^{n}$ thỏa $c_{i,j+1}=(i+j-\alpha )c_{ij}$

 với mọi $1\leq i\leq n,1\leq j\leq n-1$ thì $detC=\prod_{i=1}^{n}(i-1)!c_{i,1}$

Bài toán ( Nordic-2011) Chứng minh rằng

$\begin{vmatrix} a & b & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 &0 \\ c &a &b & 0 & 0 & ... & 0 &0 &0 \\0 & c & a & b &0 & ... & 0 & 0 &0 \\... & ... & ... &... &... &... &... &... &... \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & ... & a &b &0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ... & c & a &b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &... &0 &c & a \end{vmatrix}_{n\times n}=\prod_{k=1}^{n}\left ( a-2\sqrt{bc}cos\frac{k\pi }{n+1} \right )$

Cho mình hỏi ai có file cuốn " Exercises in Functional Analysis" của tác giả Dumitro Popa cho mình xin . Rất cảm ơn các bạn.