Cho a,b,c>0 .CMR:

 

$\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{(b+c)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$

Bài này có nhiều cách làm Mình xin nêu ra cách ngắn gọn nhất .

Chuẩn hóa :$a+b+c=3$

BĐT $< = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mặt khác ta lại có :$\frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2a+3}{25}< = > a^3+a^3+1\geq 3a^2$(Luôn đúng theo AM-GM 3 số)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$(đpcm)

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Vậy giả sử a+b+c=1 cũng được ạ?

Tùy thôi miễn là tổng của 3 số không âm là được

Chỗ này chuẩn hoá nghĩa là sao???

Có nghĩa là đề bài cho 3 ẩn thì mình có thể giả sử được tổng của 3 ẩn ấy 

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài 51:Theo AM-GM có:$4\sqrt{abc}=a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}= > 4^6.(abc)^3\geq 3^6.(abc)^4< = > abc\leq \frac{4^6}{3^6}$

Mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{abc}< = > 3^6.(abc)^2\geq 2^6(abc)^3< = > abc\leq (\frac{3}{2})^6< (\frac{4}{3})^6$(Luôn đúng)

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài 50:BDT $< = > \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}< = > (\sqrt{a}-\sqrt{b})^6\geq 0$(Luôn đúng)

Bài 44:Theo Bunhiacopxki co:$\sum \sqrt{2x^2+xy+y^2}=\sum \sqrt{x^2+\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \sum \sqrt{x^2+\frac{3(x+y)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{4x^2+3(x+y)^2}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{(2x)^2+(x+y)^2+(x+y)^2+(x+y)^2}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{2x+x+y+x+y+x+y}{4}=\frac{1}{2}.\sum \frac{5x+3y}{4}=\sum x=1$

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 55:Ta có:$\sum \frac{a}{1-2a}=\sum \frac{a^2}{a-2a^2}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a-2\sum a^2}=\frac{1}{1-2\sum a^2}\geq \frac{1}{1-2.\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$

Bài 45:Ta có:$a+b=a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2= > 4(a+b)\geq (a+b)^2= > a+b\leq 4$(Do $a+b\geq 0$)

$= > Q=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a+b)\leq 4.4=16$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=2

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 57:Đặt $\sqrt[3]{b+c-a}=x,\sqrt[3]{a+c-b}=y,\sqrt[3]{a+b-c}=z= > a=\frac{y^3+z^3}{2},b=\frac{x^3+z^3}{2},c=\frac{x^3+y^3}{2}$

BĐT $< = > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum x$

Theo AM-GM có:$y^3+x^3\geq \frac{(y+x)^3}{4}= > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}=\sum x$

$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$

CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$ 

 

@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.

Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$

Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$

Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$

Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

 

Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Bài 169:Ta có:$(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{abc}}}=9= > \sqrt{(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})}\geq 3$

Mà $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc})}\leq 3< = = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}\leq 3< = > \sum (1-\frac{a(b+c)}{a^2+bc})\geq 0< = > \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-c)(b-a)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geq 0$

Nhưng bđt này luôn đúng vì đây là Schur mở rộng 

Đăng bài đi Việt Hoàng

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

35) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

 

 Còn mỗi bài này mình giải luôn

Bài 35: $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c= > abc=\sqrt{xyz}=1$.Ta sử dụng bdt Bunhiacopxki và bdt AM-GM như sau:

$= > A=\sum \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\geq \sum \frac{a^4.2bc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3.abc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^6}{a^3b^3+2a^3c^3}\geq 2.\frac{(\sum a^3)^2}{3\sum a^3b^3}=\frac{2}{3}.\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^3b^3}\geq \frac{2}{3}.\frac{3\sum a^3b^3}{\sum a^3b^3}=2= > A\geq 2$

Do đó A Min = 2 khi $a=b=c=1< = > x=y=z=1$

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 56:Theo Bunhia có:$\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum a^2b-\sum a^3}\geq \sum a^2=1$

(Do áp dụng AM-GM 3 số có:$\sum a^3\geq \sum a^2b$)

7) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum a.\sum \frac{1}{a}\geq 3[1+\sqrt[3]{\frac{3(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a)}{(ab+bc+ca)^2}}]$

8) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt[3]{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

10) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3$

11) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3$. Cmr: $2(ab+bc+ca)+\sum \frac{1}{ab}\geq 9$

12) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3}\geq 3$

13) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $abc=1$. Cmr: $\sum a^3\geq 2.\sum \frac{a}{b+c}$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{c+2a}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

Bài 13:Áp dụng bđt AM-GM $= >2 \sum a^3\geq \sum ab(a+b)=\sum \frac{a+b}{c}$(Do abc=1)(1)

Theo bđt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

$= > \sum \frac{a+b}{c}=\sum \frac{a}{c}+\sum \frac{a}{b}=\sum a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \sum \frac{4a}{b+c}= > \sum \frac{a+b}{c}\geq \sum \frac{4a}{b+c}$(2)

Từ (1),(2)$= > 2\sum a^3\geq 4\sum \frac{a}{b+c}= > \sum a^3\geq 2\sum \frac{a}{b+c}$

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

3) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

4) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}$

Bài 1:BĐT $< = > x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Không mất tổng quát giả sử $x\leq y\leq z= > z(z-x)(z-y)\geq 0$

Do đó ta cần CM :$y(y-z)(y-x)+x(x-z)(x-y)\geq 0< = > (x-y)(x^2-xz-y^2+yz)\geq 0< = > (x-y)((x-y)(y+x)-z(x-y))\geq 0< = > (x-y)^2(x+y-z)\geq 0$(Luôn đúng do $x\geq y\geq z$)

Bài 30:Áp dụng bđt $x^5+y^5\geq \frac{(x+y)^5}{16}$

$= > \sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sum \sqrt[5]{\frac{(a+b)^5}{16}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[5]{16}}=\sqrt[5]{2}\sum a$

23) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

 

24) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^3c+b^3a+c^3b=abc & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{b}{a^2+ab}\geq \frac{9}{2}$

 

25) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+b+2c}\leq \frac{\sum a}{4}$

 

26) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{\sum a}{6}$

Bài 23:Ta có:$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{\sum a+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{27}{4}$

 

Bài này làm chưa hoàn chỉnh đâu nhé.

22)

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{a^2+2}{2}$ (Cauchy)

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq \frac{2}{a^2+2}$

cmtt...

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{1+a^3}}\geq 2\sum \frac{1}{a^2+2}$

Vậy ta cần CM: $\sum \frac{1}{a^2+2}\geq \frac{1}{2}$

 

Mọi người chứng minh BĐT phụ này đi.

 

 

 

Đặt $a=\frac{2yz}{x^2},b=\frac{2xz}{y^2},c=\frac{2xy}{z^2}$

$= > \sum \frac{1}{a^2+2}=\sum \frac{1}{(\frac{2yz}{x^2})^2+2}=\sum \frac{x^4}{2x^4+4y^2z^2}\geq \frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^4+2\sum y^2z^2}=\frac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^2)^2}=\frac{1}{2}$

Bài 4:Theo AM-GM có:$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}\geq \frac{4t(x+y+z).(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{4t(x+y+z)^2(x+y)}{xyzt}\geq \frac{4t.4z(x+y).(x+y)}{xyzt}=\frac{16tz(x+y)^2}{xyzt}\geq \frac{16tz.4xy}{xyzt}=64= > P\geq 64$

Bài 5:Theo AM-GM có:$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{b+c}{a}+1)=\frac{1}{2}\sum \frac{a+b+c}{a}= > \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2\sum a}{\sum a}=2$

 Dấu = xảy ra tại a=0,b=c

Bài 10:Theo bđt AM-GM và bđt Schur bậc 3 có :

  $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c-a}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{abc}{abc}}=3$

 

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

 

Hình như sai rồi

Hì, nhầm rồi Daicagiangho1998, giả thiết là $x+y+z+y=2$ mà, nhừng bài của Daicagiangho1998 là $x+y+z+t=1$ rồi. Fix lại đi, $min=16$

 

 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

Uhm mình nhầm chỗ đó nhưng cách làm vẫn đúng

Bài 24: Theo Bunhiacopkxi có:$\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum a^2b-\sum a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2}=\sum a^2=1$

(Do áp dụng bdt AM-GM có:$\sum a^3\geq \sum a^2b$)