Thực ra bài 1 không khó nhưng có lẽ cách phát biểu nó làm các bạn hơi hoang mang. Dĩ nhiên là phải phản chứng, giả sử là 2 con kiến bất kì đều gặp nhau. Vận tốc của 2 con kiến bất kì khác nhau nên dĩ nhiên nếu 2 con cùng xuất phát ở 1 lỗ và ở cùng thời điểm thì chả bao giờ gặp nhau cả ( đi cùng chiều thì ko gặp rồi mà ngược chiều thì càng chẳng bao giờ gặp). 2017 con kiến mà 44 lỗ thì có 45 con cùng chuồng. Và dĩ nhiên để đáp ứng điều kiện phản chứng thì 45 con này xuất phát thời điểm khác nhau, cộng thêm cái thời điểm của cái con xuất phát trễ nhất nó chui vào lỗ nữa thì phải có ít nhất 46 thời điểm. Mâu thuẫn!

Các bài còn lại mình chỉ có chút ý tưởng, bài 2 thì định lí Lucas, bài 5 thì mình chỉ thấy một tính chất là $a_(n+k)/a_n$ bị chặn trên và dưới với $k$ cố định (hình như thế ) nhưng ko biết dùng được không (). Còn bài 6 thì khả năng là cái dãy này nó sắp xếp theo quy luật để đạt được điều kiện, chỉ cần thử với vài số mò ra quy luật, chỉ ra là coi như chứng minh được rồi.

Mình rất đồng ý với ý kiến của bạn và mình muốn nói thêm là : đó cũng là cách nghĩ chung của đa số học sinh và phụ huynh hiện nay họ thườngg muốn cho con mình vào những trường đại học ổn định để sau nay ra đỡ phải đi xin việc .Tại sao họ lại có những ý nghĩ như vậy chẳng phải là họ đã nhìn thấy nhiều người không thành công và họ tin là sẽ không thể nào đạt được những thành công vượt bậc,, vào đại học rồi kiếm việc làm tổng cộng là 9+3+3(>3) năm . Cuối cùng việc làm cũng chỉ là một phát minh của thế kỉ 20,21 .Tại sao chúng ta lại phải vào đại học? để dễ xin việc hơn ư.Chẳng phải làm tất cả những việc như học hành chăm chỉ , kiếm được công việc ôn định,...  thì mục đích chính của chúng ta  là hạnh phúc . Chẳng phải nhiều người thành công , giàu nhất trên thế giới thường bỏ học hay sao, câu hỏi đặt ra là : phải chăng vì ở trường người ta không dạy cho họ những phương pháp phù hợp để hạnh phúc , giàu có , thành công thực sự? . Nhiều trường đại học ở VN hiện nay chỉ dạy chúng ta những quấn giáo trình dày đặc mà không chịu học tập (mô phỏng ) các phương pháp tiên tiên trên thế giới.Vd: như pp học tiếng anh ở (90%) trên đất nước ta là chỉ học tiếng anh theo kiểu "văn phiên bản tiếng anh" , hầu hết khi chúng ta học xong 12 năm thì  chỉ có 1 số ít có thể nói tiếng anh(chưa thành thạo), số ít thì nói lấp bấp , số ít thì chỉ biết trả lời những câu hỏi trên giấy là vì có thời gian suy nghĩ còn khi nói thì hầu như không biết gì, các phương pháp tiên tiến hiện nay có thể kể đến là effortless english của thầy aj hoge , các khóa học tiếng anh của langmaster và nhiều nơi khác, cũng phải kể đến pp "thôi miên " , NLP ( ở Việt Nam hiện nay có thầy Mr.Vas và 1 số thầy khác đang dạy truyền bá cho ng VN về pp NLP này , tiêu biểu là các khóa hội thảo và để thực sự chiến thắng cuộc sống thì phải tốt nghiệp trường "đại học cuộc đời "),.... Các bạn hay nghiêm túc suy nghĩ về cuộc đời của mình , đừng để số phận hiện tại hay ai có thể ngăn cản bạn ,đừng nghe những người không làm được vì họ sẽ bảo bạn là bạn không làm được , hãy tiếp xúc với những người thành công thực sự để họ có thể khơi dậy nguồn hứng cho các bạn.

Câu hỏi thứ 4: Các bạn thành công để hạnh phúc hay hạnh phúc để thành công?

Có vài điều a muốn nói em ntn:
Thứ nhất: Những vấn đề em đặt ra là hợp lí, em có những ý tưởng tốt nhưng vì em còn nhỏ, em chưa thể lí giải những vấn đề này một cách khái quát được nhưng cách tư duy đó sẽ giúp em thành công, nên luôn tự biết đặt câu hỏi cho mình như vậy.

Thứ hai: Đừng nên cố gắng giải thích những thứ về cách nhìn nhận cho đám đông nhất là khi em chưa đủ giỏi nắm bắt tâm lí của mọi người, bởi vì thế giới này chung nhưng mỗi người nhìn ở góc độ khác nhau và cách họ tư duy cũng khác nữa. Dù là thành công hay hạnh phúc thì chẳng có công thức nào áp dụng được cho tất cả mọi người nên có thể nêu ra cho người khác tham khảo chứ đừng nên khuyên họ phải làm gì.

Thứ ba: Chúc em học giỏi và thành công.

Gửi đến tất cả những em sắp thi khác: Chúc em các em thi tốt, đạt kết quả cao. Dù thành công hay thất bại thì đó cũng chỉ là một trong rất nhiều những kì thi thời học sinh của các em mà thôi, đừng lấy làm quá quan trọng. Nếu thất bại cũng đừng quá buồn, 1+9 bằng 10 mà 2+8 cũng bằng 10, thậm chí 1+1 cũng thể bằng 10 ở hệ nhị phân nữa, có rất nhiều lời giải để đến một đáp án.

Một ý tưởng cho bài 6, tính toán chắc hơi trâu bò tí.

Đầu tiên gọi một đa thức $P$ là tốt nếu $V(P)=0$, ta có thể thấy là với $a$ là một hằng số thực và $P,Q$ là hai đa thức tốt thì $P+aQ$ cũng tốt.

Từ điều này ta có thể phát biểu thế này:

$PQ$ tốt với mọi $P$ là đa thức có bậc bé hơn $8$ khi và chỉ khi $Q,xQ,x^2Q,...,x^7Q$ đều là các đa thức tốt.

Bây giờ đặt $Q(x)= x^8+\sum_{i=0}^{7} a_ix^i$

Thay vào điều kiện $8$ đa thức tốt trên thì ta sẽ thu được một hệ $8$ phương trình với $8$ ẩn là các số $a_i$. Hệ này nếu có nghiệm thì phải có nghiệm duy nhất (vì nó tồn tại nên phải cm đc là nó có nghiệm). Thông thường để chặt chẽ chắc là dùng ma trận (thực ra chém thế chứ mình k biết dùng ma trận ntn :v), tuy nhiên trong phạm vi toán phổ thông thì chắc phải mò nghiệm, bằng cách phải thử những trường hợp đơn giản, ở đây ta thấy số 8 ko quá quan trọng nên có thể thay 8 bởi 1,2,3 gì đó để đoán xem hệ ntn, nghiệm sẽ ntn rồi tổng quát lên cho 8.  Có lẽ phải dựa vào kq của bước này mới chứng minh là $Q$ có $8$ nghiệm phân biệt.

Lâu lắm rồi không "ngó" đến chủ đề này. Qua một khoảng thời gian tương đối lâu tôi thử tìm kiếm trên mạng về các bài viết, tài liệu hướng dẫn, luyện thi, vân vân... liên quan đến các đẳng thức hệ số tổ hợp thì chợt nhận ra rằng: Hầu hết các tài liệu đó đều mang tính khuôn mẫu, na ná như nhau và rất nhàm chán!
Chẳng hạn như: "Ứng dụng đạo hàm và tích phân để chứng minh và tính tổng các hệ số nhị thức"
Theo tôi thấy nó chỉ "tiện" chứ không nêu lên được bản chất nội tại của nó như quy tắc hút hay đảo chiều, v.v...
Hay như việc nhận biết và đưa vào một số thủ thuật nhỏ trong "dấu hiệu" của tổng (viết dưới dạng liệt kê) chỉ đơn thuần là các phép biến đổi cơ bản khi viết tổng dưới dạng $\sum$
Rất nhiều tài liệu, phương pháp trên mạng không thể giải quyết nổi dù là một bài tập trong ĐTTH ở đây bạn có tin không?
Không bàn đến "độ khó" mà là phương thức tiếp cận một bài toán cần phải "linh động" hơn, đôi khi chẳng cần phải đạo hàm, tích phân hay biến đổi gì đó mà chỉ cần tìm cách "đếm" là đủ!
ĐTTH đã tồn tại một thời gian khá lâu mà chưa có một cuốn sách nào một tài liệu (tiếng Việt) tương đương nào xứng "tầm" với nó, quả thực là một điều đáng buồn!
Đôi lời cảm nhận cá nhân, bạn thấy thế nào? (Gạch đá quăng hết vào đây )

Đến hôm nay em mới được đọc tài liệu này của mọi người (rất tiếc vì tài liêu này ra vào thời điểm mà em còn không quan tâm đến toán nhiều nữa). Phải công nhận là tài liệu này rất hay và có một sự đầu tư lớn. Tuy nhiên em có một số ý kiến cá nhân như thế này.

Tài liệu này thực sự thiên quá nhiều về kĩ thuật. Ở một khía cạnh nào đó, đây là một tài liệu xuất sắc trong việc đưa ra những kĩ thuật chứng minh đẳng thức. Theo ý kiến chủ quan của em thì có lẽ chỉ một số ít các bạn thi QG hay gần như thế là có thể đọc hết được.

Tài liệu trình bày rất tốt cách chứng minh các đẳng thức, tuy nhiên không nhiều trong đó nêu ra những đẳng thức đấy thể hiện điều gì và tại sao người ta đặt ra được một đẳng thức như vậy. Tài liệu này có thể giúp chúng ta thỏa mãn việc giải được toán chứ chưa hẳn là hiểu được toán.

Cái hay của toán học đó là nó trình bày thực tế bằng ngôn ngữ logic (vì thế nên nó khó hiểu). Chẳng hạn để thể hiện hàm số $f$ có đồ thị là một đường liền nét, vậy trong ngôn ngữ toán liền nét định nghĩa như thế nào? Tại mọi điểm $x_0$ thì hàm $f$ tồn tại lim trái và lim phải khi $x$ tiến đến $x_0$ và 2 giá trị này đều bằng $f(x_0)$, hay là chúng ta hỏi một đứa nhỏ hình tròn là hình gì? Dù rằng hẳn là nó sẽ biết hình tròn như thế nào và hình dung được nhưng khẩ năng cao là nó không thể đưa ra cái định nghĩa là tập hợp tất cả những điểm cách đều một điểm cố định một khoảng cách không đổi được . Có thể không nhất thiết chúng ta đưa ra cách hình dung cụ thể cho những công thức toán nhưng có thể chỉ cho người đọc thấy rằng một công thức hay một bài toán trông khó như vậy, nó được xây dựng lên từ những điều cơ sở nào, bằng những cách tương tự như thế chúng ta có thể tạo ra những bài toán khó khác như thế nào? Em nghĩ những điều như thế cần cho cộng đồng các bạn học toán hơn, nó sẽ giúp nhiều bạn yêu thích toán hơn.

Điều cuối cùng em chỉ muốn nói là em chém gió vậy thôi chứ bảo em viết một tài liệu như em nói thì em cũng không làm được đâu Gạch đá em xin nhận

Chúc mừng mọi người vì đã tạo ra một tài liệu tuyệt vời. Nếu như mọi người có một dự án hay ho gì đó sắp tới thì hi vọng em có thể đóng góp chút gì đó.