Đã gửi bởi
Bài cuối đề thế nào vậy
$f: \mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{N^*}$
$m^2 + f(n) \mid mf(m) + n \ \forall m, n \in \mathbb{N^*}$
_____
Kí hiệu $m:= n$ là thay $m$ bởi $n$
Trong giả thiết, gọi là (1), $m:= n$ thì dễ có $f(n) \ge n$
Thay $m=1$, ta được $f(1) - 1 \ge f(n) - n$ tức $f(n) - n $ bị chặn trên bởi số $k = f(1) - 1$ dương.
Mục tiêu ta là chỉ ra $f(n) = n$, giả sử tồn tại $x_0$ để $f(x_0) \neq x_0$
Từ giả thiết, ta được $m(f(m) - m) - (f(n) -n) \vdots m^2 + f(n)$
$x_0 := n \Rightarrow m(fm)-m) - B \vdots m^2 + C$ trong đó $B, C$ là 2 hằng số khác $0$.
Từ đây cũng chỉ ra được tồn tại hữu hạn $m$ thỏa $f(m) =m$ vì giả sử ngược lại, tức tồn tại vô hạn $m$ thỏa điều kiện đó thì suy ra có vô hạn $m$ để $m^2 + C \mid -B$ (vô lý do $B \neq 0$ ).
Hữu hạn $m$ thòa $f(m) = m$ thì tức là có vô hạn $m$ thỏa $f(m) \neq m$.
Vậy tồn tại vô hạn $m$ để $mk - B \ge m^2 +C$ (do $f(m) -m$ bị chặn trên bởi $k$ )
$VT$ là hàm bậc nhất, $VP$ là hàm bậc 2 nên khi $m$ lượn tới $+ \infty$ thì điều trên k xảy ra.
Tức $f(n) = n \ \forall n \in \mathbb{N^*}$
ê tôi là quê đấy hơn nữa tôi trọ ở ngoài để trọ cùng team với mấy ông bạn quen trên fb
đi một mình, chán ạ =)))
