Bài 13.[Đề thi thử THPT Uông Bí]
CH0 2 số dương $x,y$ thỏa mãn $12x^2+2y^2=5$.Chứng minh rằng:
$$x+y+\frac{1}{xy}\geq \frac{7}{2}$$

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{2}, y = 1$
$x+y+\frac{1}{xy}$
$4x + \frac{1}{xy} + 2y - y - 3x$
$\geq (\frac{2}{\sqrt{y}} + \frac{2}{\sqrt{y}} + 2y) - \frac{y^2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{6x^2}{2} - \frac{3}{4}$
$\geq 6 - \frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{2}$

Đề bài toán này được "chế" lại từ một bài toán quen thuộc.
Cho $\angle xOy$ và điểm $M$ cố định thuộc miền trong góc đó. Đường thẳng $d$ quay xung quanh $O$ cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$.
Tìm cách dựng đường thẳng $d$ để $S_{AOB}$ min.
__
Lời giải:
Để chứng minh bài toán này, ta xài tới một bổ đề quen thuộc sau
Cho $\triangle ABC$. Trên $BC$ lấy $M$ bất kì. Đường thẳng qua $M$ song song $AB,AC$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $P,Q$.
Khi đó ta có $S_{APMQ} \leq \frac{S_{ABC}}{2}$
Chứng minh: không mất tính tổng quát, giả sử $MB < MC$.
Trên đoạn $MC$ lấy điểm $H$ sao cho $MH = MB$. Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AC$ tại $K$.
Dễ dàng chứng minh $\triangle QMB = \triangle GMH$
Ta có $2S_{APMQ} = S_{AKGQ} = S_{AKHMQ} + S_{GHM} = S_{AKHMQ} + S_{QBM} = S_{AKHB} < S_{ABC}$
Vậy bổ đề chứng minh, đẳng thức xảy ra khi $M$ là trung điểm BC.
Áp dụng vào bài toán. Từ $M$ kẻ đường thẳng song song với $Ox,Oy$ cắt $Oy,Ox$ lần lượt tại $P,N$
Áp dụng bổ đề trên, ta có $S_{AOB} \geq 2S_{MNOP}$
Mà $M$ cố định nên $S_{MNOP}$ cố định.
Dấu bằng xảy ra khi $M$ là trung điểm $AB$.
*Bonus cách dựng: dựng đường song song từ $M$ đến 2 tia của góc rồi lấy đổi xứng.