há há cái này đúng


Còn chú thì sao mau mau

Mình thì không có quốc sắc thiên hương như mọi người :|
___

Èo, mọi người post hình bạn gái sao toàn quốc sắc thiên hương vậy không biết ... :|
___

Chị tramyvodoi kute quá
___
NLT

@yeutoan11: OK, khi nào gặp anh em mình làm một tấm
@Cao Xuân Huy: Sao thấy anh Tường tương đương Huy vậy
___

àh......a vs nhỏ bạn a trong hình xài hết oỳ

Nhanh thế anh Không chia cho tụi em mà đi cho bạn nha ... :|
___

Chắc có nhiều cách để giải bài toán này ! Nhưng đang luyện S.O.S nên mạn phép tiểu đệ chém theo pp nớ ! Hơi tộc lẹc 1 tý ! Mong các ta-cưa thông cảm !

BĐT tương đương

$\sum \frac{a}{b + c} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} \geq \frac{9}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b + c} - \frac{3}{2} + \sum \frac{ab}{(a + b)^2} - \frac{3}{4} \geq 0$

$\Leftrightarrow \sum (a -b)[\frac{4(a - b)^2 - 2(a +c)(b + c)}{2(b + c)(a + c).4(a + b)^2} \geq 0$

Giờ cần cm

• $S_a + S_b + S_c \geq 0$ (luôn đúng)

• $S_a.S_b + S_b.S_c + S_a.S_c \geq 0$ (1)

Đặt a - b = x ; b - c = y ; c - a = z
Khi đó chú ý đk x + y + z = 0

$(1) \Leftrightarrow 2(x^2y^2 + y^2z^2 + x^2z^2) - (x^3y + xy^3 + y^3z + yz^3 + x^3z + xz^3) + \frac{1}{2}xyz(x + y + z) \geq 0$

Kết hợp schur
$\sum x^2(x - y)(x - z) \geq 0$

Chỉ cần cm
$x^4 + y^4 + z^4 \leq 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

$\Leftrightarrow (x^2 + y^2 + z^2)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$

$\Leftrightarrow 4(xy + yz + xz)^2 \leq 4 \sum x^2y^2$ (chú ý x + y + z = 0)

$\Leftrightarrow 0 \leq 0$ (luôn đúng)

p/s : tự nhiên thấy nó bằng luôn chứ thấy lớn hơn hoặc bằng đâu!? )

Vậy BĐT đc cm !
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

OTHER SOLUTION:
Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c > 0$
Bổ đề: $\sum {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \ge {1 \over {4ab}} + {2 \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}$
Chứng minh bổ đề:Bổ đề cần chứng minh tương đương:
${\left( {{1 \over {a + c}} - {1 \over {b + c}}} \right)^2} \ge {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {4ab{{\left( {a + b} \right)}^2}}}$
$ \Leftrightarrow 4ab{\left( {a + b} \right)^2} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2}$
(Đúng vì $a \ge b \ge c \Leftrightarrow 4ab \ge 4{b^2} \ge {\left( {b + c} \right)^2};\,{\left( {a + b} \right)^2} \ge {\left( {a + c} \right)^2}$)
Áp dụng vào bài toán: Từ bổ đề trên, để cm bất đẳng thức của bài ra, ta cần chứng minh:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {{1 \over {4ab}} + {2 \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}} \right) \ge {9 \over 4}$
$ \Leftrightarrow {1 \over 4} + {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} + {{2\left( {ab + bc + ca} \right)} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge {9 \over 4}$
$ \Leftrightarrow {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} + 2 - {{2{c^2}} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge 2$
$ \Leftrightarrow {{c\left( {a + b} \right)} \over {4ab}} \ge {{2{c^2}} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}}$
$ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8abc$ (đúng theo AM-GM)
Do đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c .
------------------------
P/S: Mình post đề hơi bị nhầm một tí. Điều kiện chặt hơn là a,b,c không âm. Khi đó thì đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=b; c=0 và các hoán vị.
-----------------------

Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------

Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?

Uh`, đây là bđt Iran 1996, các bạn có thể xem lời giải khá hay của anh Võ Quốc Bá Cẩn ở đây:
http://www.artofprob...650529&t=249265

BÀI 360:
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{{{a^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}$
-------
P/S: Topic này dần lặng đi rồi, mọi người tiếp tục post bài nào !
-------

BÀI 358: Cho a,b,c không âm. CMR:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{c^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}}$
---------

BÀI 359:
Cho a,b,c không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}$
-----------

Bài 354: (USAMO 1964) Cho a,b,c là 3 cạnh 12 tam giác. CMR:
$$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc$$

SOLUTION: Vì a,b,c là 3 cạnh tg nên a+b-c >0;b+c-a>;c+a-b>0
Theo AM-GM:
$\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right) \le {\left( {\frac{{a + b - c + b + c - a}}{2}} \right)^2} = {b^2}$
$ \Rightarrow {b^2}\left( {c + a - b} \right) \ge \left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right)\left( {c + a - b} \right)$
Dễ dàng cm được: $\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right)\left( {c + a - b} \right) \ge abc$
$ \Rightarrow {b^2}\left( {c + a - b} \right) \ge abc$
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng vế theo vế ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi tg đã cho đều
---------

Bài 352: Cho x,y,z > 0 thỏa $\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z = 1$ và $n \in N$. Chứng minh rằng:
$\frac{{{x^{n + 2}} + {y^{n + 2}}}}{{{x^n} + {y^n}}} + \frac{{{y^{n + 2}} + {z^{n + 2}}}}{{{y^n} + {z^n}}} + \frac{{{z^{n + 2}} + {x^{n + 2}}}}{{{z^n} + {x^n}}} \ge \frac{1}{{27}}$
----------

Bài 353: Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $xy+xz+yz=1$. Tìm GTNN của biểu thức
$$10(x^2+y^2)+z^2$$

SOLUTION:
Áp dụng AM-GM:
$2{x^2} + 2{y^2} \ge 4xy$
$8{x^2} + {1 \over 2}{z^2} \ge 4xz$
$8{y^2} + {1 \over 2}{z^2} \ge 4yz$
Cộng vế theo vế ta được: $10\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {z^2} \ge 4\sum {xy = 4} $
Vậy GTNN của b thức là 4 khi x=y=${1 \over 3}$; z=${4 \over 3}$
----------

Bài 357 có trong STBDT mà

Tình cờ đọc được 1 tài liệu có bài này chứ cũng ko rõ STBĐT có bài này ko. Mà nếu có có thì cậu cũng nên post lời giải nếu biết, chứ không nên nói là bài này có trong STBĐT, bởi có nhiều bài cũng lấy từ sách ra mà
----------

BÀI 357: Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR:
$\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$
-----------

\[\begin{array}{l}
t = \frac{y}{x} > 0 \\
\frac{{2{x^2} + 3{y^2}}}{{2{x^3} + 3{y^3}}} = \frac{{{x^2}\left( {2 + 3\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {2 + 3\frac{{{y^3}}}{{{x^3}}}} \right)}} = \frac{1}{x}.\frac{{2 + 3{t^2}}}{{2 + 3{t^3}}} \\
\frac{{2{y^2} + 3{x^2}}}{{2{y^3} + 3{x^3}}} = \frac{{{x^2}\left( {2\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + 3} \right)}}{{{x^3}\left( {2\frac{{{y^3}}}{{{x^3}}} + 3} \right)}} = \frac{1}{x}.\frac{{2{t^2} + 3}}{{2{t^3} + 3}} \\
\frac{4}{{x + y}} = \frac{4}{{x\left( {1 + \frac{y}{x}} \right)}} = \frac{1}{x}.\frac{4}{{1 + t}} \\
bdt \Leftrightarrow \frac{{2 + 3{t^2}}}{{2 + 3{t^3}}} + \frac{{2{t^2} + 3}}{{2{t^3} + 3}} \le \frac{4}{{1 + t}} \\
\Leftrightarrow 4\left( {2 + 3{t^3}} \right)\left( {2{t^3} + 3} \right) - \left( {2 + 3{t^2}} \right)\left( {2{t^3} + 3} \right)\left( {1 + t} \right) - \left( {2{t^2} + 3} \right)\left( {2 + 3{t^3}} \right)\left( {1 + t} \right) \ge 0 \\
\Leftrightarrow 12{t^6} - 12{t^5} - 13{t^4} + 26{t^3} - 13{t^2} - 12t + 12 \ge 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {12{t^4} + 12{t^3} - {t^2} + 12t + 12} \right) \ge 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
f\left( t \right) = 12{t^4} + 12{t^3} - {t^2} + 12t + 12 = t\left( {2t + 3} \right)\left( {6{t^2} - 3t + 4} \right) + 12 \\
= t\left( {2t + 3} \right)\left[ {6{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} + \frac{{29}}{8}} \right] + 12 > 0,\forall t > 0 \Rightarrow \left( 1 \right):True \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]

Liệu có lời giải nào không dùng cách biến đổi tương đương như anh Hân như thế này không ?
---------------

Bài 74 :
Cho nửa đt (O;R). Đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB, K là trung điểm cung BC, AK cắt (O) tại M, vẽ CI ^ AM tại I, CI cắt AB tại D.
a) Cm : góc AOC = 90⁰ , tứ giác ACIO nội tiếp, tính số đo góc OID.
b) Cm : OI là tia phân giác góc COM.
c) Cm : ∆CIO đồng dạng ∆CMB. Tính IO/MB ?
d) Tính độ dài AM, BM theo R.

BÀI 75: Cho nửa đường tròn tâm O bán kính AB. I là trung điểm của OA, tia Ix vuông góc với AB và cắt $(O)$ tại K. Trên IK lấy M bất kì. AM cắt $(O)$ tại C. IK cắt BC tại D và cắt tiếp tuyến của C tại E.
a) CMR: Tứ giác CMIB nội tiếp.
b) Tam giác ECM cân, từ đó suy ra E là trung điểm của DM
c) Khi M di chuyển động trên IK thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADM luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định.

$P/S:$Còn 2 bài nữa trước khi chuyển sang bài mới, mọi người cố gắng giải cho hoàn tất nhé !
----------

Bài 52:
Cho $\triangle ABC, AB<AC$ có ba góc nhọn và nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Vẽ đường cao BD cùa $\triangle ABC$. Đường thẳng qua D và song song MA cắt AB tại E.

a) Chứng minh tg BCDE nội tiếp, xác định tâm O' của đường tròn.
b) Tia OO' cắt (O) tại N và AN cắt BC tại H. Chứng minh AN là phân giác của $\widehat{BAC}$ và $MH^{2}= MB.MC$.
c) Cho $\widehat{BAC}= 60^{0}$, Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AN với BD và CE. Chứng minh :$\frac{IB}{ID}.\frac{KC}{KE}=\frac{IB}{ID}+\frac{KC}{KE}$
d) Cho $\widehat{BAC}= 60^{0}$, gọi F là giao điểm BD và CE. Chứng minh $OF = AC - AB$.

Hình bài 52 :

SOLUTION:
a) $\angle AED=\angle MAB=\angle ACB$ (t/c 2 góc so le trong và t/c góc tạo bởi tt và dây cung).
$\Rightarrow$ Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn.
Lại có $\angle BDC=90$ nên tâm O chính là trung điểm BC.
b) Dễ thấy$M{A^2} = MB.MC$
Cần cm MA=MH
$\angle MAH=\angle ACN=\angle AHB(\Delta ABH\sim \Delta ANC)$
$\Rightarrow$ ĐPCM.
c) Áp dụng t/c đường p/g và quan hệ giữa cạnh và góc, tính được:
$\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{KC}}{{KE}} = 2$
d) Gọi J là giao của (A;AB) và AC. Vì : $\widehat{BAC}=60^{o}\Rightarrow$$\widehat{BFC}=\widehat{BOC}=\widehat{BJC}=120^{o}\Rightarrow BOCN$ là hình thoi $\Rightarrow B, E, O, J, C \in (N;R)$
$\Rightarrow \widehat{OFC}=\widehat{OBC}=\widehat{OJA}=30^{o}=\widehat{ACE}\Rightarrow$ FOJC là hình thang cân nên JC = FO.
Mặt khác : $JC=AC-AJ\Rightarrow$ đpcm.
--------
P/S: Câu d posted bởi hoclamtoan, mình xin trình bày trong bài của mình cho dễ nhìn, xin phép hoclamtoan nhé !
-----------------
Mod: Cậu là mem có kinh nghiệm nên đừng phạm lỗi về $\LaTeX$ nữa nhé.

Bài 36: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. 2 đường chéo AC, BD cắt nhau ở E. Hình chiếu vuông góc của E lên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a. CEFD là tứ giác nội tiếp
b. Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c. BE . DN = EN . BD
--------------------------
P/S: Lần đầu tham gia topic, có gì trùng lặp xin mấy bạn thông cảm nhé !

Bài 37: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đ­ường tròn đ­ường kính BD cắt BC tại E . Các đ­ường thẳng CD , AE lần l­ượt cắt đ­ường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ­ược trong một đ­ường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đư­ờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
---------------------------------

Bài 50: Cho đường tròn © và điểm I nằm trong đường tròn. Dựng qua I hai dây cung bất kỳ MIN, EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ là các trung điểm của IM, IN, IE, IF.
a) Chứng minh rằng : tứ giác M’E’N’F’ là tứ giác nội tiếp.
b) Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi.
c) Giả sử I cố định, các day cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN, EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’ có diện tích lớn nhất.

----------------

BÀI 55: cho tam giác ABC, AB>AC nội tiếp (O), đường kính BC=2R, có đường cao AH. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC lần lượt tại E,D
a) cm ADHE là HCN
b) Cm BCDE nội tiếp
c) Cm OA vuông với DE
d) (O) căt (I) tại F khác A. đường thằng À cắt BCtai M. CMR: M,D,E thằng hàng
---------

BÀI 62: Cho$(O)$ đường kính AB.P là điểm trên OB, qua P vẽ dây cung CD.Gọi M là trung điểm CD, hạ AH vuông góc CD tại H. MB giao AH tại N. CMR:
a) OM=1/2 AN
b) OM.PA=OP.Ah
c) CN vuông góc AD
d) Tìm quỹ tích M khi CD quay quanh P.
----------

Bài 60 :
c) $\Delta MCB\sim \Delta MKD\Rightarrow MK.MB=MC.MD$
Gọi I là giao của ND và (O) $\Rightarrow \widehat{DIB}=\widehat{DCB}=\widehat{DNC}\Rightarrow NC//IB$
$\Rightarrow \widehat{CNB}=\widehat{NBI}=\widehat{MDI};\widehat{NMC}=\widehat{NMD}$
$\Rightarrow \Delta CMN\sim \Delta NMD\Rightarrow MN^{2}=MC.MD\Rightarrow$ đpcm.
d) ĐL Py-ta-go : $MB=\frac{R\sqrt{15}}{2}$.
$\Delta OAC$ đều $\Rightarrow OH=\frac{R}{2}\Rightarrow BH=\frac{3}{2}R$
$\Delta BHK\sim \Delta BMA\Rightarrow BK=\frac{2}{5}R\sqrt{15}\Rightarrow MK=\frac{R}{10}\sqrt{15}\Rightarrow MN=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Đề này còn chưa chặt, chưa biết rõ vị trí của điểm N, giả sử điểm N nằm cùng phía với O qua CD thì sao?
----------

BÀI 75: Cho nửa đường tròn tâm O bán kính AB. I là trung điểm của OA, tia Ix vuông góc với AB và cắt $(O)$ tại K. Trên IK lấy M bất kì. AM cắt $(O)$ tại C. IK cắt BC tại D và cắt tiếp tuyến của C tại E.
a) CMR: Tứ giác CMIB nội tiếp.
b) Tam giác ECM cân, từ đó suy ra E là trung điểm của DM
c) Khi M di chuyển động trên IK thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADM luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định.