Bài 470: Cho a,b,c>0. Chứng minh:
$\frac{1}{6}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})^{2}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+b^{2}c^{2}}$

Chém luôn bài này:
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có:
$\sum \frac{1}{a^4+b^2c^2}\leq \sum \frac{1}{2a^2bc}=\frac{1}{2abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$,ta có:
$\frac{3}{abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})^2$
$=>\sum \frac{1}{a^4+b^2c^2}\leq \frac{1}{2abc}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})^2(Q.E.D)$

Bài 472: Tìm GTLN của P = ($a+b+c$)($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$) với a,b,c là các số dương thỏa mãn $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

$P=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$Từ giả thiết $=> \frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
$=>(\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(2-\frac{a}{c})\geq 0=>\frac{a^2}{c^2}+1\leq \frac{5a}{2c}$
$=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}$
Mặt khác do $a\leq b\leq c$ $=> \frac{a}{b},\frac{b}{c}\leq 1,\frac{b}{a},\frac{c}{b}\geq 1=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c}),(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\geq 0=>(1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}-1)(\frac{c}{b}-1)\geq 0=> \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leq \frac{9}{2}(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2})$
$=>P\leq 10$
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a=1 \\ b=c=2 \\ \end{matrix}\right.(Q.E.D)$

$$\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}=\frac{9}{2}$$
$\frac{\sqrt{x}}{y+z}=\frac{\sqrt{x}}{1-x}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( Chứng minh bằng tương đương )
Làm tương tự cộng với trên có Q.E.D

Lạ nhỉ,phần này mình biến đổi <=> ra là $\sqrt{3}x+2\sqrt{x}-\sqrt{3}\geq 0$
Đến đây sao làm tiếp hả bạn

Đoạn này bị ngược dấu rồi bạn ơi

Sao lại ngược dấu , cauchy-schwarz dạng Engel quá chuẩn mà

Mình nghĩ câu này không được hợp lý cho lắm
Vì VP hoàn toàn phụ thuộc vào biến n
Cho n một giá trị hoàn toàn có thể tìm ra m để $\left | \frac{m}{n}-\sqrt{2} \right |\geq \frac{1}{n^{2}.\left ( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right )}$. sai
Nên khẳng định đó là sai !!

Vậy bạn có thể đưa ra ví dụ để chứng minh khẳng định trên sai được không bạn à?

Bài 474: Cho các số dương a, b, c, d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$. CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$

Chém luôn bài này.
từ giả thiết
$\Rightarrow \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1-\frac{a}{1+a}=\frac{1}{1+a}$
ÁP dụng BĐT cauchy cho 3 số,ta được:
$\Rightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(1+b)(1+c)(1+d)}}$
Chứng minh tương tự,ta được:
$ \frac{1}{1+b}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(1+a)(1+c)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+c}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{d}{1+d}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(1+a)(1+b)(1+d)}}$
$\frac{1}{1+d}\geq \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$
Nhân vế theo vế,ta được:
$\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}\geq 81\frac{abcd}{(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)}=>abcd\leq \frac{1}{81}(Q.E.D)$

Hình như dấu bằng còn thiếu 1TH thì phải (1;1;2) phải không?

Thưa bạn khi nào mình dùng "Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ thì mới phải nêu tất cả các TH dấu = xảy ra.Còn khi mình đã dùng từ "khi" thì mình chỉ cần chỉ ra 1TH sao cho dấu= xảy ra,không cần phải xét nhiều.Đây là 1 cách hay để tiết kiệm thời gian trong khi xét dấu "=" nếu đã biết trước

Em chứng minh bdt ấy nè :|
$a^2 +b^2 \leq (a+b)^2 $
$\leftrightarrow 0 \leq ab$
Luôn thoả mãn do $a,b$ dương
Dấu $=$ sảy ra$ \leftrightarrow a$ hoặc$ b =0$
Nhưng không áp dụng dc vào bài trên vì a+b =2

Sai rồi em $a,b >0$ đọc kĩ cái đề giùm cái em sai từ những cái cơ bản.Ở những bài này dấu "=" đều xảy ra khi $a=b=1$ =;

Ta sẽ đi chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau:
$\forall k\in R^{+}$ và $a,b>0,a+b=2$ ta có:
$x^ky^k(x^k+y^k)\leq 2$
Chứng minh:
$\bullet$ Với $k=1$: Bất đẳng thức trở thành $xy(x+y)\leq 2\Leftrightarrow xy\leq 1$
Nhưng điều này đúng do $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=1$
$\bullet$ Với $k=1$: Bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên
$\bullet$ Với $k>2$:
Giả sử bài toán đúng với $k=n$ ($n \in R^{+}$) Ta sẽ chứng minh bài toán đúng với $k=n+1$ tức
$$x^{n+1}.y^{n+1}.(x^{n+1}+y^{n+1})\leq 2$$
Nhưng do $x^ny^n(x^n+y^n)\leq 2$ nên ta chỉ cần chứng minh
$$x^{n+1}.y^{n+1}.(x^{n+1}+y^{n+1})\leq x^ny^n(x^n+y^n)$$
$$\Leftrightarrow xy(x^{n+1}+y^{n+1})\leq x^n+y^n$$
$$\Leftrightarrow 8xy(x^{n+1}+y^{n+1})\leq (x^n+y^n)(x+y)^3$$
$$\Leftrightarrow 5xy(x^{n+1}+y^{n+1})\leq x^{n+3}+y^{n+3}+x^3y^{n}+y^3x^{n}+3(x^2y^{n+1}+y^2x^{n+1}$$
$$\Leftrightarrow 0\leq (x-y)[x^{n+2}-y^{n+2}+2xy(x^n-y^n)+x^2y^2(y^{n-2}-x^{n-2})]$$
$$\Leftrightarrow 0\leq (x-y)^2[x^{n+1}+x^n.y+.....+xy^n+y^{n+1}+2xy(x^{n-1}+y^{n-1}+xy(x^{n-2}+x^{n-3}.y+...+y^{n-3}.x+y^{n-2})]$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với $x,y>0$ Vậy ta có ĐPCM the0 quy nạp $\blacksquare$

Bạn có thể chỉ ra bài làm của mình sai ở đâu?

Nhưng mà bạn có thể chỉ ra bài mình sai ở đâu được không?Tại sa0 quy nạp lại không phải lúc nào cũng đúng?

Bài quy nạp của bạn dù đúng hay sai (Theo mình là sai vì với $k=4$ mọi chuyện sẽ khác) thì vẫn không giải quyết được câu cuối là $x^6y^6(x^4+y^4)$

Bài 494:
Cho a,b dương thỏa mãn $a+b=2$.Tìm GTLN của các biểu thức sau:
$a)ab(a^2+b^2)$
$b)a^2b^2(a^2+b^2)$
$c)a^3b^3(a^3+b^3)$
$d)a^6b^6(a^4+b^4)$

Bài 493:
Cho $x,y\geq 1$
Chứng minh: $x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số:
$\sqrt{y-1}\leq \frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\leq \frac{xy}{2}$
Thiết lập BĐT tương tự,cộng vế theo vế $\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy+xy}{2}=xy(Q.E.D)$

Bài 485:Cho $a,b,c\in R^{+}$ thỏa $a+b+c=1$.Chứng minh:
$$\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}\leq \frac{3}{2}$$

Ta có :
$\sum \frac{a-bc}{a+bc}=\sum \frac{a-bc}{a(a+b+c)+bc}=\sum \frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}=\sum \frac{(a-bc)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\geq 6abc\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geq 0$$\sum \frac{a-bc}{a+bc}=\sum \frac{a-bc}{a(a+b+c)+bc}=\sum \frac{a-bc}{(a+b)(a+c)}=\sum \frac{(a-bc)(b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2\geq 6abc\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geq 0$(Đây là BĐT đúng).Vậy ta có đpcm $(Q.E.D)$

Bài 462:
Cho x thuộc đoạn $[0;1]$.Tìm GTLN của biểu thức:
$P=x(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})$
Lưu ý:hạn chế sử dụng Bunyakovsky(mặc dù không biết có ra không).

Bài 461Cho a,b,c dương có tổng a+b+c=3. CMR:

$\frac{a}{b^{2}+1} + \frac{b}{c^{2}+1} + \frac{c}{a^{2}+1} \geq \frac{3}{2}$

Chém bài này:
Ta có $\frac{a}{b^2+1}=\frac{a(b^2+1)-ab^2}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}$
Áp dụng Cauchy ta có:
$a-\frac{ab^2}{b^2+1}\geq a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$.
Tương tự cho 2 biểu thức kia rồi cộng vế theo vế,ta được:
$\sum \frac{a}{b^2+1}\geq a+b+c-(\frac{ab+bc+ca}{2})=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$
Ta có:
$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
$\sum \frac{a}{b^2+1}\geq 3-\frac{ab+bc+ca}{2}\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$(Q.E.D)
P/s:Bài này chỉ là sử dụng Cauchy ngược dấu thôi,không quá khó.

Chém 413.
Bổ đề:
Ta có đẳng thức quen thuộc:
$a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$
Vậy nếu $a+b+c\geq 0$ thì $a^3+b^3+c^3\geq 3abc$
Ta có:
$(a+b)(b-c)+(b+c)(c-a)+(c+a)(a-b)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$.Từ cái VP $\geq 0$ là cơ bản.
Vậy$(a+b)^3(b-c)^3+(b+c)^3(c-a)^3+(c+a)^3(a-b)^3\geq 3(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)$.Ta có đpcm
Cái này mới đầu ngỡ cauchy 3 số không dùng được nhưng thông qua bổ đề trên thì thành công.

Bài 429:
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số >0 kết hợp $a\leq \frac{1}{2}$,ta có:
8a+8a+$\frac{1}{a^2}$-15a$\geq 3\sqrt[3]{64}-\frac{15}{2}=\frac{9}{2}$
Dấu = xảy ra khi a=$\frac{1}{2}$

414 nhẹ nhất:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}= \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Bài 402 : Giả sử $a^{2013}+b^{2013}>a^{2012}+b^{2012}$
Chứng minh rằng $a^{2014}+b^{2014}\geq a^{2013}+b^{2013}$

Bạn ơi giả thiết là $>$ hay $\geq$ thế nếu > là BĐT cần chứng minh không có dấu = đâu
Theo giả thiết,ta có
$a^{2012}+b^{2012}-a^{2013}-b^{2013}< 0$
Vậy $$\inline =a^{2012}(a-1)^2+b^{2012}(b-1)^2\geq 0$ a^{2014}+b^{2014}-a^{2013}-b^{2013}> a^{2014}+b^{2014}-a^{2013}-b^{2013}+a^{2012}+b^{2012}-a^{2013}-b^{2013}$
=$ (a^{2014}-2a^{2013}+a^{2012})+(b^{2014}-2b^{2013}+b^{2012})$
$\inline =a^{2012}(a-1)^2+b^{2012}(b-1)^2\geq 0$
Vậy $\inline a^{2014}+b^{2014}\geq a^{2013}+b^{2013}$(Q.E.D)

1 phát bài 405:
Biến đổi tương đương,ta có:
BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b+c)^2+a^2b^2c^2\geq 2abc(a+b+c)<=>(a+b+c-abc)^2\geq 0$
BĐT sau cùng đúng nên có đpcm

Bài 430:
Ta có:
$(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$=$(1+\frac{y}{x}+x+y)(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$$\geq (y+2\sqrt{y}+1)(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2=((\sqrt{y}+1)(1+\frac{9}{\sqrt{y}}))^2$
=$(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10)^2$$\geq (2\sqrt{9}+10)^2=16^2=256$(Q.E.D)

Bài 433:
Ta có $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4<=>(x-\frac{1}{x})^2+(x-\frac{y}{2})^2=2-xy\geq 0$
=> $xy\leq 2$.Dấu = xảy ra khi x=1,y=2

Bài 460: Một bài khá hiền (vì hnay em rất bực) >"<
Cho $a,b,c > 0; abc=1$
CMR: $\frac{a}{a^2+2} + \frac{b}{b^2+2} + \frac{c}{c^2+2} \leq 1$

Baltic Way 2005

Chém bài 460:
$\sum \frac{a}{a^2+2}=\sum \frac{a}{(a^2+1)+1}\leq \frac{a}{2a+1}=\sum \frac{1}{\frac{1}{a}+2}$
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}=>xyz=\frac{1}{abc}=1$
Bài toán trở thành chứng minh:
$\sum \frac{1}{x+2}\leq 1$.Và đây là nội dung của bài 452 mà em Black Selena đã giải quyết

Cách khác:
Theo chứng minh (2) của bạn davildark,ta có :
$\sum \frac{ab}{ab+c}\geq \frac{3}{4}$.
Áp dụng BĐT Cauchy,ta có:
$\frac{ab}{ab+c}+\frac{1}{4}\geq \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}$
Tương tự cho 2 biểu thức còn lại rồi cộng vế theo vế,ta có
$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}\leq \sum \frac{ab}{ab+c}+\frac{3}{4}\leq 2\sum \frac{ab}{ab+c}$(Q.E.D)
P/s:Thành thật xin lỗi bạn davildark vì mình đã"ăn cắp bản quyền" của bạn ở phần (2) vì mình không biết chứng minh nó,may sao bạn giải được

Nếu là $x+1^3$ thì mình xin giải :
$x+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
$\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}\geq 3\sqrt[3]{x^2}> 3(x> 1)$

Bài 431 (lớp 7,8)
Tim giá trị nhỏ nhất của $A = 10\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} -7\begin{vmatrix} y \end{vmatrix}$ . Trong đó x ,y là nghiệm nguyên của phương trình 3x + 5 y = 11
Bài 432 . Chứng minh $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}} <3$
Bài 433 . Cho hai số x , y thỏa mãn $2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=4$ . Xác định x , y để tích xy đạt GTNN
Bài 434.Chứng minh rằng $x+\frac{4x^{2}}{(x-1)(x+1^{3})}>3$ với $\forall x>1$

Bài 434 mình không hiểu lắm là $x+1^3$ hay $(x+1)^3$

1 phát bài 407,áp dụng BĐT bunyakovsky,ta có:
$(a+b+1)(a+b+c^2)\geq (a+b+c)^2=>\frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{1}{a+b+1}$
Tương tự,cộng vế theo vế,ta có:
$\frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 1$=> $2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=>a+b+c\geq ab+bc+ca$