Tiếp theo:
Bài 61: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy\ge 1;z\ge 1$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3(xy+1)}$.
Bài 61 :
Theo BĐT Cauchy - Schwazt, AM-GM:
$P\geq \frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{xy+1}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{xy+1}\geq \frac{(2\sqrt{xy})^2}{2xy+2\sqrt{xy}}+\frac{1}{xy+1}=\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{xy+1}=\frac{(\sqrt{xy}-1)^3}{2(\sqrt{xy}+1)(xy+1)}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}$ do $xy\ge 1;z\ge 1$
Vậy MinP=3/2, dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.