Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$
Cách khác :
Do vai trò của $a,b,c,d$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$
Khi đó $\left\{\begin{matrix} a^3\geqslant b^3\geqslant c^3 \geqslant d^3 \\ \frac{1}{b+c+d}\geqslant \frac{1}{a+c+d}\geqslant \frac{1}{a+b+d}\geqslant \frac{1}{b+c+d} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev và AM-GM ta có
$P\geqslant \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}\geqslant \frac{4(a^3+b^3+c^3+d^3)}{3(a+b+c+d)}$
Áp dụng bất đẳng thức đơn điệu hoặc AM-GM ta cũng có
$\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{4}=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{16}{12}.\frac{3}{4}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$