Thưa thầy hai bài này làm thế nào ạ?

Câu d: Ta có $\sqrt{x^2+15} > \sqrt{x^2+8}$

               $\Rightarrow 3x-2 > 0\Leftrightarrow x>\frac{2}{3}$ với $x \in \left ( \frac{2}{3},+\infty  \right )$

Xét $f(x)=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+8}-3x+2$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}-\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}-3$

Dễ thấy $\frac{x}{\sqrt{x^2+15}}<\frac{x}{\sqrt{x^2+8}}$

$\Rightarrow f'(x)<0$

Suy ra $f(x)$ nghịch biến trên $\left ( \frac{2}{3},+\infty  \right )$

Dễ thấy $f(1)$=0

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho 

thầy ơi giải giúp em hệ pt này 

$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-2x+1=2y & \\ &y^{2}-2y+1=2z & \\ &z^{2}-2z+1=2x & \end{matrix}\right.$

e cũng giải theo cách xét hàm số $f(t)=t^{2}-2t+1$ ,f'(t)=2t-2 nếu t<1 thi hàm f(x) nghịch biến thì chứng minh x=y=z kiểu gì hả thầy?

Dễ thấy $x,y,z >0$

Nếu thế ta sẽ xét 2 TH : 

+) $x,y,z \geqslant 1$

   Dễ thấy $x \geqslant 1\Rightarrow z^2-2z+1=2x\geqslant 2\Rightarrow z \geq 1+\sqrt{2}$

        $\Rightarrow y^2-2y+1=2z \geqslant 2+2\sqrt{2}\Rightarrow y >3$

 Tóm lại ta phải có $x,y,z \geqslant 1$

Khi đó xét $f(t)=t^2-2t+1,t \in \left [ 0;+\infty \right ]$

        $\Rightarrow f'(t)=2t-2 \geqslant 0$

   Từ đó ta có $x=y=z \geqslant 1$

Tương tự xét $0 \leqsalnt x,y,z \leqslant 1$

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

 Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $\sum \frac{a^3}{b+c+d}=\sum \frac{a^4}{a(b+c+d)}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{\sum a(b+c+d)}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2=2.Cmr: \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-(a+b+c)\geq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ta có $P\geqslant \frac{9}{a+b+c}-(a+b+c)$

Lại có $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\leqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt{6}$

   $\Rightarrow P\geqslant \frac{9}{\sqrt{6}}-\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng : $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

                              $\sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}(\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b})\geqslant (a^3+b^3+c^3)^2$

            $\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b}}$

Áp dụng tiếp Cauchy-Schwarzt và AM-GM ta có 

            $\sqrt{a}.\sqrt{b+c}+\sqrt{b}.\sqrt{a+c}+\sqrt{c}.\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{(a+b+c)(b+c+a+c+a+b)}=\sqrt{2}(a+b+c)$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}\geqslant \frac{\left [ \frac{(a+b+c)^3}{9} \right ]^2}{\sqrt{2}(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^5}{81\sqrt{2}}$

Lại có $a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}=3$

        $\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{11}}{b+c}}\geqslant \frac{3^5}{81\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho a, b, c dương

chứng minh  $\frac{1}{a^{3}}$  +  $\frac{a^{3}}{b^{3}}$  +  $b^{3}$   $\geq$   $\frac{b}{a}$  +  $\frac{a}{b}$  +  b

Áp dụng AM-GM ta có $b^3+\frac{1}{a^3}+1\geqslant \frac{3b}{a}$

                                    $\frac{a^3}{b^3}+1+1\geqslant \frac{3a}{b}$

                                    $b^3+1+1 \geqslant 3b$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{2}{a^3}+b^3+\frac{2a^3}{b^3 } \geqslant 5$

BĐT trên đúng do AM-GM $5$ số

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho a,b,c thuộc [-1;2] thỏa a² + b² + c² = 6

Chứng minh a + b + c >=  0

Do $a,b,c \in \left [ -1;2 \right ]$$\Rightarrow (a+1)(a-2) \leqslant 0\Rightarrow a^2 \leqslant a+2$

Tưng tự ta cũng có, $\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leqslant a+b+c+6\Rightarrow a+b+c \geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(-1,-1,2)$ và hoán vị

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2+c^2+d^2=3.Cmr: \sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq 1$

Cách khác :

Do vai trò của $a,b,c,d$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a\geqslant b\geqslant c\geqslant d$

Khi đó $\left\{\begin{matrix} a^3\geqslant b^3\geqslant c^3 \geqslant d^3 \\ \frac{1}{b+c+d}\geqslant \frac{1}{a+c+d}\geqslant \frac{1}{a+b+d}\geqslant \frac{1}{b+c+d} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev và AM-GM ta có 

              $P\geqslant \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}\geqslant \frac{4(a^3+b^3+c^3+d^3)}{3(a+b+c+d)}$

Áp dụng bất đẳng thức đơn điệu hoặc AM-GM ta cũng có 

              $\frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{a+b+c+d}\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{4}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow P\geqslant \frac{16}{12}.\frac{3}{4}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1.Cmr: \left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left ( b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$

BĐT $\Leftrightarrow (a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)\leqslant 1$

Nhân tung tóe ra ta được $\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c \leqslant a^2b+b^2c+c^2a+3$

Do $abc=1$ nên đặt $a,b,c=\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x}$

BĐT trở thành $3+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\geqslant \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$

                  $\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Nhầm dấu thì phải. Chứng minh $\sum \frac{a}{a+b}\leq \sum \frac{c}{a+b}$

Giả sử $a\leq b\leq c$

Khi đó $\left ( a,b,c \right ),\left ( \frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b} \right )$ là 2 bộ đơn điệu

AD BĐT hoán vị ta có ngay đpcm

Đây không phải là bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên không thể xét $a \geqslant b \geqslant c$ được

Nói cách khác, còn tùy vào các giá trị $a,b,c$ thì mới xét được dấu bất đẳng thức

 

Chứng minh với mọi $a;b;c>0$ thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

 

Trước hết ta sẽ chứng minh $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$   (1)

Đây là bất đẳng thức khá quen thuộc, có thể tham khảo tại

Trở lại bài toán, áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

    $(\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}})(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})\geqslant 9$   (2)

Từ (1) và (2) ta có $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}$

Vậy $\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{a+c}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geqslant 3\sqrt{2}\geqslant 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}})$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

cmr với các số thực dương a,b,c thì $\sum \frac{a}{a+b}\geq \sum \frac{c}{a+b}$

Dễ thấy $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 3$

Vì thế cho $a=b\rightarrow 0,c\rightarrow +\infty \Rightarrow \sum \frac{c}{a+b}\rightarrow +\infty$

BĐT đã cho sai !!!

Giải giúp em bài này với 

Cho a>0 b>0 c>0 a+b+c=1

Tìm GTNN của P = (1+a²)(1+b²)(1+c²)

Tham khảo tại 2808

Nếu chưa học về đạo hàm thì có thể nhân tung ra rồi nhóm nhân tử, có nghiệm $x=\frac{1}{3}$

Cho a,b,c >0 thoả mãn: a$^{2}$ + b$^{2}$ +c$^{2}$=3.Chứng minh:

$\frac{a}{a^{2}+2b+3}$+$\frac{b}{b^{2}+2c+3}$+$\frac{c}{c^{2}+2a+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

Tham khảo tại đây

Các anh chị giúp em bài này với : Với a, b, c dương, chứng minh rằng :$\frac{a^4}{b^{2}(a+c)}+\frac{b^4}{c^{2}(b+a)}+\frac{c^4}{a^{2}(c+b)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Ta có $\frac{a^4}{b^2(a+c)}=\frac{(\frac{a^2}{b})^2}{a+c}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

     $\sum \frac{a^4}{b^2(a+c)}=\sum \frac{(\frac{a^2}{b})^2}{a+c}\geqslant \frac{(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})^2}{2(a+b+c)}$

Lại có $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c$

$\Rightarrow \sum \frac{a^4}{b^2(a+c)}\geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

chp x,y,z là 3 số dương,chứng minh: $\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+y+x}\leq \frac{3}{4}$$\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+x+z}+\frac{z}{2z+y+x}\leq \frac{3}{4}$

Cách khác : Sử dụng $\frac{4}{a+b} \leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Ta có $\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{(x+y)+(x+z)} \leqslant \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại ta có 

          $\frac{y}{2y+x+z} \leqslant \frac{1}{4}(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z})$

          $\frac{z}{2z+x+y} \leqslant \frac{1}{4}(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z})$

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z>0$

các bạn làm giùm mình bài này với:

cho x,y,z>0 thỏa $ x+y+z\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Cm: $x+y+z\geqslant \frac{3}{x+y+z}+\frac{2}{xyz}$

Viết theo ngôn ngữ $p,q,r$ ta có : $p \geq \frac{q}{r}$

Ta cần chứng minh $p \geq \frac{3}{p}+\frac{2}{r}$   (*)

Theo giả thiết và áp dụng AM-GM ta có $x+y+z \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow p=x+y+z \geq 3$

TH1 : Nếu $r \geq 1$, $\Rightarrow \frac{2}{r} \leq 2\Rightarrow \frac{3}{p}+\frac{2}{r} \leq \frac{3}{3}+2=3 \leq p$, do $p \geq 3$

   Vậy ta có (*) được chứng minh

TH2 : Nếu $r \leq 1$ $(*)\Leftrightarrow p^2r \geq 3r+2p$

Theo giả thiết và áp dụng AM-GM ta có $p=\frac{q}{r}\Rightarrow p^2r^2 =q^2 \geq 3pr\Rightarrow pr \geq 3$

                  $\Rightarrow p^2r \geq 3p$

Do vậy ta cần chứng minh $3p \geq 3r+2p\Leftrightarrow p \geq 3r$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $p \geq 3, r \leq 1$

Vậy cả 2 trường hợp ta đều có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

cái chỗ hệ quả của AM-GM đấy là hệ quả nào hả bạn??

Là dư này 

Áp dụng AM-GM 3 số ta có 

          $\left\{\begin{matrix} a^2b+b^2c+c^2a \geq 3abc\\ab^2+bc^2+ca^2 \geq 3abc \end{matrix}\right.$

Đoạn $\sum \frac{ab}{(a+c)(b+c)} \geq \frac{3}{4}$ có thể làm khác nhưng hơi dài

  $\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{(1-a)(1-b)} \geq \frac{3}{4}$

Áp dụng AM-GM ta có $(1-a)(1-b)(a+b) \leq \frac{8}{27}\Rightarrow \frac{ab}{(1-a)(1-b)} \geq \frac{27}{8}ab(a+b)$

Do đó chỉ cần chứng minh $\frac{27}{8}\sum ab(a+b) \geq \frac{3}{4}$

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:   

$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

Ta có bất đẳng thức tương đương với
$\sum \frac{9ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \frac{3(a+b+c)}{2}$
Áp dụng $\frac{9}{x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ ta có
$\sum \frac{9ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \sum ab.(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b})=\frac{3(a+b+c)}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c> 0$ 

cho x, y là các số thực dương. tìm GTNN của biểu thức sau

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có

        $(\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)})^2 \leqslant (x+y)(2x+y+2y+x)=3(x+y)^2$

$\Rightarrow \sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)} \leqslant \sqrt{3}(x+y)$

$\Rightarrow \frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}} \geqslant \frac{x+y}{\sqrt{3}(x+y)}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y>0$

cho a,b dương a+b=2

chứng minh a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})$ \leq 2$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

             $a^2b^2\left [ (a+b)^2-2ab \right ] \leqslant 2$

 $\Leftrightarrow a^2b^2(4-2ab) \leqslant 2$

 $\Leftrightarrow a^2b^2(2-ab) \leqslant 1$

 $\Leftrightarrow (ab-1)(a^2b^2-ab-1) \geqslant 0$

Nhưng rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $ab \leqslant \frac{(a+b)^2}{4}=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1$

Bài 10: Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ ; $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ . Tìm GTNN  $S=x^{2}+3xy-2y^2-8y+5$

ĐK : $x,y \geqslant 1$

Ta có $x\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=y\sqrt{y}+\sqrt{y-1}$ (*)

Giả sử $x>y$, ta có VT(*) > VP(*)

Giả sử $x<y$, ta có VT(*) < VP(*)

$\Rightarrow x=y \geqslant 1$

Khi đó $S=x^2+3x^2-2x^2-8x+5=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3\geqslant -3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=2$

 

2.a,b,c>0,a+b+c=3

C/m:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 4$

Áp dụng bđt sau $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geqslant 2(ab+bc+ac)$

               $\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1 \geqslant (a+b+c)^2=9$

               $\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc \geqslant 4$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho a,b,c>0 .Chứng minh:$\sqrt{\frac{2a}{b+c}}+\sqrt{\frac{2b}{c+a}}+\sqrt{\frac{2c}{a+b}}\leq 3$

Rõ ràng bất đẳng thức đã ch0 sai khi $b,c\rightarrow 0,a\rightarrow +\infty$

BĐT đúng phải là : Ch0 $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

                             $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leqslant 3$

Có thể tham khảo cách giải ở đây http://diendantoanho...2ccaleqslant-3/

ai làm dc bai này k: cho a,b,c la độ dài cac canh cua 1 $\bigtriangleup$ . c la canh nhỏ nhât. c/m a^2+b^2> 5c^2

Làm sao có thể làm được bài này khi đề bài sai

Lấy ngay tam giác Pytago với $a=5,b=4,c=3$

Cảm ơn các bạn. Nhân tiện cho mình hỏi 1 bài nữa. bài này mình làm đc rồi, nhưng phải biến đổi khá dài. Ko biết có cách nào hay hơn ko

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Tìm Min của:

$A = \frac {1}{x+y+z} - \frac {2}{xy+yz+zx}$

Bài này đâu biến đổi dài đâu

Áp dụng AM-GM ta có $xy+yz+zx \geqlant \sqrt{3xyz(x+y+z)}=\sqrt{3(x+y+z)}$

          $\Rightarrow A\geqslant \frac{1}{x+y+z}-\frac{2}{\sqrt{3(x+y+z)}}$

Dự đoán GTNN đạt được khi $x=y=z=1$ nên ta chỉ cần chứng minh 

                               $\frac{1}{x+y+z}-\frac{2}{\sqrt{3(x+y+z)}}\geqslant \frac{-1}{3}$

            $\Leftrightarrow (\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}-\frac{1}{\sqrt{3}})^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm