Do đó ta có

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$ $(2)$

 

Hướng giải quyết của e như sau:từ phương trình trên ta qui đồng mẫu số 2 vế.sau đấy ta có thể tự do gán $x$=bi để lấy nghiệm dễ dàng.

Do đó ta có

$\frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\frac{x_{2}}{x-b_{2}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1=\frac{-(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$ $(2)$

Với mỗi $i$ trong đó $i=1,2,...,n$ ta nhân hai vế của $(1)$ với $x-b_{i}$ ta được

$x_{i}+(x-b_{i})\left ( \frac{x_{1}}{x-b_{1}}+\cdots +\frac{x_{i-1}}{x-b_{i-1}}+\frac{x_{i+1}}{x-b_{i+1}}+\cdots +\frac{x_{n}}{x-b_{n}}-1 \right )=-\frac{(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{n})}{(x-b_{1})(x-b_{2})...(x-b_{n})}$

Bằng cách thay $x=b_{i}$ ta được $x_{i}=-\frac{(b_{i}-a_{1})(b_{i}-a_{2})...(b_{i}-a_{n})}{(b_{i}-b_{1}...(b_{i}-b_{i-1})(b_{i}-b_{i+1})...(b_{i}-b_{n})}$ với $i=1,2,...,n$

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình trên.

 

Theo e,cách giải này sai rồi a.ở trên ta đã nhân 2 vế của PT vs $x$-bi tức là đã ngầm hiểu rằng x#bi nên ở duới ko thể gán giá trị bi cho $x$ được.

A ơi, chỗ này phép nhân đâu có nghĩa. (2x2) (2x1) (2x2)...

$YUXVYV$ anh Đức viết nhầm đấy bạn.

Cảm ơn mọi người đã ủng hộ topic .Chúng ta tiếp tục nào

Bài 2:Cho $A,B$ là các ma trận thực.$A$ là ma trận phản đối xứng,$B$ là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo đều dương .Cmr:$Det(A+B)>0$

Bài 3:Cho $A$ là ma trận thực vuông cấp $n$ có giá trị riêng thực thuộc$ \left ( 0,1/2 \right )$.Chứng minh rằng:$\frac{det(A))}{det(I-A)}< \left ( \frac{n}{2n-2tr(A))} \right )^{n}$

Công lực mình cũng chưa đủ, với lại thì không chỉ là toàn ma trận, nhưng mình thấy các bạn toàn ôn dạng này, đây là 1 trong những dạng khó, đề năm nay câu đấy sai nhưng cũng khó, không biết các bạn ôn kĩ phần ánh xạ tuyến tính hay vector chưa nhưng mình thấy trên box toàn là ma trận với định thức à, trong khi ma trận chỉ là 5 điểm trong đề thi, còn những cái khác tận 25 điểm, lâu không ôn đại số nên kiến thức quên hết rồi, cũng chỉ dám làm mấy bài dễ thôi, mấy bài khó đề hề luyện lại từ đấu

Về ánh xạ tuyến tính:mình có lập topic thảo luận ,cũng nhiều bài hay ,nhưng thấy ko ai tham gia cả nên ,rất mong bạn và các bạn khác cùng tham gia trao đổi ,tại đây:http://diendantoanho...-xạ-tuyến-tính/

Ngoài ra mình cũng tập hợp nhiều bài toán về phần này, tại đây:http://www.facebook..../OLYMPICTOANSV/

Bài 4:Cho $A$ là ma trận thực:$r(A)=r(A^{2})=t$,chứng minh rằng:$r(A^{k})=t$ với $k\in N^{*}$

Bài $1$

Mình thử sức xem

   Do $trA>2$ nên tồn tại một giá trị riêng của $A$ có môdun lớn hơn $1$.(nếu ngược lại $\left | trA \right |=\left | \lambda _1+\lambda _2 \right |\leq  \left | \lambda _1 \right |+\left | \lambda _2 \right |\leq 2 (!)$)

khi đó $A^n (\forall n\in N^*)$ sẽ có ít nhất một gtr có môdun lớn hơn $1$ suy ra dpcm

Thực ra bài này chỉ cần giải đơn giản thôi,chỉ cần chỉ ra nó có giá trị riêng khác 1 là được rồi,không cần đến khái niệm module đâu,Vạn sự khởi đầu nan mà

Cũng có thể giả sử phản chứng đều được .

Mình thấy vậy là chi tiết rồi mà!

vì ma trận đơn vị luon có gtr bằng $1$ hay tất cả các gtr của nó đều có môdun bằng $1$.mà chúng ta đã chứng minh được tồn tại ít nhất là một gtr của $A^n$ có môdun lớn hơn $1$ thì kết luận đpcm thôi ma!

p/s:mình còn yếu lắm mong bạn chỉ dạy thêm!!

một điều lưu ý nhỏ là ma trận đơn vị đơn thuần là có gtr bằng 1 thôi nhé,còn nếu nói đến gtr có module là 1 thì chỉ với các ma trận mà lũy thừa là mt đơn vị $I$

nói như bạn thi chỉ cần gtr khác một thì luỹ thừa $n$ lên sẽ không thể là ma trận đơn vị đúng không????

vậy $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1& 0\end{smallmatrix}\bigr)$ có gtr bằng $\pm i\neq 1$ nhưng luỹ thừa 4 là ma trận đơn vị đó (ma trạn này là minh hoạ cho câu nhận xét của bạn chứ ma trận này khong thoả ycbt).mình dùng môdun vì sợ có ma trận có các gtr là số phức căn của $1$ thôi (tức môdun bằng $1$) khi đó luỹ thừa nào đó nó là ma trận đơn vị đó

Hiểu nhầm ý mình rồi bạn ,ý mình là nói luôn cái mt $A^{n}$ kìa .Còn về cái module thì quá rõ ràng

Bài 1:  Cho $A\in M_{2}(\mathbb{R})$ sao cho $\text{tr(A)}> 2$.Chứng minh rằng: $A^{n}\neq I$ $ \forall n\in \mathbb{N}^*$

Nhận thấy đây là 2 trang web toán hay bao gồm nhiều bài toán khó hơn nữa tập hợp nhiều bro toán.Cũng mong được cùng nhau trao đổi , góp phần nào đó cho box "TOÁN CAO CẤP",làm cho nó thêm phần sôi động,mình xin mạnh dạn tập hợp các bài toán hay để up lên mọi người cùng giải,trao đổi.Mình sẽ cố gắng up lên hằng ngày,mong được sự hợp tác,trao đổi kiến thức cùng mọi người.Một lưu ý nhỏ là: hầu như những bài toán này đều chưa có lời giải

Và như tittle thì chúng ta sẽ cùng nhau bàn về ma trận nói riêng,đại số tuyến tính nói chung trong topic này

AoPS Forum tại đây:http://www.artofprob...forum.php?f=218

MATHEMATICS tại đây:http://math.stackexc.../linear-algebra

$A$ là ma trận cấp $n$ à bạn

có đề đại số không bạn

http://www.facebook....&type=1

lời giải

.Mình xin được làm rõ tí như sau:ma trận $A$ như bạn đề cập ở trên chính là ma trận phản đối xứng,tập hợp các ma trận này tạo thành một không gian con của không gian các ma trận cấp n.$V$ là một không con của $M_{n}^{R}$ mà các phần tử nó đều luỹ linh,$2$ không gian con này giao nhau chính là phần tử $0$ hay còn gọi là tổng trực tiếp(giải quyết bài toán của bạn) .Rồi từ đó ,dùng đẳng thức chiều ta giải quyết bài toán 2012.Đấy là mình giải thích tí ý kiến cuả m,còn lời giải bài toán của bạn,m nghĩ tham khảo lời giải thì tốt hơn là m đi nhắc lại .Rất vui được chia sẻ và mong được hợp tác với bạn.

thực ra đây là điểm rơi ý tưởng cho câu 2b ,câu không gian vecto trong đề OLP SV 2012,bạn có thể tham khảo lời giải

xin lỗi nhé,mình nhầm

Bài này lập luận tí xíu là ra

$AB$ và $BA$ có cùng Giá trị riêng mà $AB$ có tất cả các Giá trị riêng là $0$ nên $BA$ cũng có tát cả các Giá trị riêng là $0$ suy ra $BA$ luỹ linh (đpcm)

p/s: Mở rộng tí xíu $A,B$ là ma trận cùng cấp $n$.Cmr $(AB)^n=0$ khi và chỉ khi $(BA)^n=0$

Với điều kiện $(AB)^2=0$ thì kết luận của bạn mới đúng với ma trận bậc 2

Mở rộng theo hướng này thì sao nhỉ?

$A,B \in M_n(\mathbb{R}), n \ge 3$. Từ $(AB)^2=0$ có suy ra được $(BA)^2=0$ hay không?

do trên nên mở rộng sai luôn rồi bạn

Ý là nếu $detA=0$ thì tồn tại một giá trị riêng bằng 0 thôi chứ. Viết như vậy hiểu là mọi giá trị riêng đều bằng 0.