Bài này giải phức tạp quá, mình post lên đây mọi người cùng tham khảo và giúp mình với.
Hai người chơi cờ thỏa thuận với nhau là ai thắng trước một số ván nhất định thì sẽ thắng cuộc. Trận đấu bị gián đoạn khi người thứ I còn thiếu m ván thắng, người II thiếu n ván thắng. Vậy phải phân chia tiền đặt như thế nào là hợp lý? Biết rằng xác suất thắng mỗi ván của mỗi người đều là 0,5

Nếu chơi tiếp cho đến chung cuộc thì, xác suất người thứ nhất thắng là

$p_1=\frac{1}{2^m}+\frac{C_m^{m-1}}{2^{m+1}}+\frac{C_{m+1}^{m-1}}{2^{m+2}}+\frac{C_{m+2}^{m-1}}{2^{m+3}}+...+\frac{C_{m+n-2}^{m-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{M}{2^{m+n-1}}$

trong đó $M=2^{n-1}+2^{n-2}C_m^{m-1}+2^{n-3}C_{m+1}^{m-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{m-1}=\sum_{k=0}^{n-1}2^kC_{m+n-k-2}^{m-1}$

Và xác suất người thứ hai thắng là

$p_2=\frac{1}{2^n}+\frac{C_n^{n-1}}{2^{n+1}}+\frac{C_{n+1}^{n-1}}{2^{n+2}}+\frac{C_{n+2}^{n-1}}{2^{n+3}}+...+\frac{C_{n+m-2}^{n-1}}{2^{m+n-1}}=\frac{N}{2^{m+n-1}}$

trong đó $N=2^{m-1}+2^{m-2}C_n^{n-1}+2^{m-3}C_{n+1}^{n-1}+...+2^0C_{m+n-2}^{n-1}=\sum_{k=0}^{m-1}2^kC_{m+n-k-2}^{n-1}$

Vậy tiền sẽ được chia cho người thứ nhất và người thứ hai theo tỷ lệ $M:N$, với $M$ và $N$ xác định như trên.
 

Mình có người nhờ giải cho bài toán sau:

Có 10 bịch kẹo đánh số thứ tự từ 1 -> 10, mỗi bịch có số kẹo lớn hơn 20 viên kẹo.
Cậu bé lấy kẹo từ 10 bịch kẹo bỏ vào 5 ngăn riêng biệt, mỗi ngăn chỉ có 1 viên kẹo. ( lấy ngẫu nhiên từ bịch nào cũng được, có thể nhiều ngăn chứa kẹo lấy ra từ 1 bịch).
Cậu ta lại lấy 3 viên kẹo bất kì từ 3 bịch kẹo khác nhau trong số 10 bịch kẹo.
Bài toán đặt ra là tính xác suất để trong 3 viên kẹo lấy ra có ít nhất 1 viên giống với viên kẹo trong 5 ngăn kẹo đã lấy lần đầu. (nghĩa là được lấy ra cùng 1 bịch kẹo).

Nhờ các anh em cùng hộ 1 tay

Bổ sung đề bài : Có 10 bịch kẹo, mỗi bịch chứa một loại kẹo KHÁC NHAU...

------------------------------------------------

Bắt chước ý tưởng của thầy Thanh, ta có :

$S=s_1+s_2+s_3+s_4+s_5=\dfrac{3p_1}{10}+\dfrac{8p_2}{15}+\dfrac{17p_3}{24}+\dfrac{5p_4}{6}+\dfrac{11p_5}{12}$

Trong đó :

$p_1=\frac{10}{10^5}=\frac{1}{10^4}$

$p_2=\frac{C_{10}^2(2^5-C_2^1)}{10^5}=\frac{27}{2000}$

$p_3=\frac{C_{10}^3(3^5-C_3^1.2^5+C_3^2)}{10^5}=\frac{9}{50}$

$p_4=\frac{C_{10}^4(4^5-C_4^1.3^5+C_4^2.2^5-C_4^3)}{10^4}=\frac{63}{125}$

$p_5=\frac{C_{10}^5(5^5-C_5^1.4^5+C_5^2.3^5-C_5^3.2^5+C_5^4)}{10^5}=\frac{189}{625}$

$\Rightarrow S=0,83193$.
 

Nếu xem hai chiếc tất của mỗi đôi là khác nhau thì số cách phải nhân với $2^5$, và bằng

$\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=1263360$.

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

(Cách khác)

Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại tất chiếm $2$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :

    - Chọn $k$ loại tất trong số $5$ loại tất : $C_5^k$ cách.

    - Với mỗi loại tất (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $2$ chiếc giống nhau, xem như $1$ chiếc duy nhất. Như vậy, từ $10$ chiếc ban đầu, nay chỉ còn $10-k$ chiếc

    - Sắp xếp ngẫu nhiên $10-k$ chiếc đó : Có $\frac{(10-k)!}{(2!)^{5-k}}=\frac{2^k(10-k)!}{32}$ cách

    $\Rightarrow M_k=C_5^k\ \frac{2^k(10-k)!}{32}$

    Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là

    $M_0-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{10!}{2^5}+\sum_{k=1}^{5}C_5^k\frac{(-1)^k2^k(10-k)!}{32}$

   $=\frac{1}{32}\sum_{k=0}^{5}C_5^k(-2)^k(10-k)!=39480$.

Bài cũ (thầy Namdung : Bài này thú vị đấy. Không có ai giải à? Mọi người có vẻ ngán tổ hợp nhỉ? ):

Tính số cách treo 5 đôi tất trên một dây phơi sao cho không có hai chiếc tất nào cùng đôi được phơi cạnh nhau.

Đề bài OP tại https://diendantoanh...một-bài-tổ-hợp/

Xem như hai chiếc tất trong cùng một đôi là giống nhau.

Bài toán tương đương với : "Có bao nhiêu cách xếp tất cả các chữ số $1,1,2,2,3,3,4,4,5,5$ thành một hàng sao cho không có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau ?"

---------------------------------------------------

Đa thức Laguerre cho mỗi loại chữ số là

$P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$

$\Rightarrow$ Số cách xếp (cũng là số cách treo $5$ đôi tất thỏa mãn yêu cầu đề bài) là

$\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )^5dt=39480$ cách.

Mình nghĩ lời giải đầu tiên là đúng rồi. Và đáp án là $687377215$ tam giác.

----------------------------------------------

Gọi 3 cạnh tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$)

Thử tính riêng số tam giác có $a=2019$ (ký hiệu là $S_{2019}$

Dễ thấy $b$ chỉ có thể từ $1010$ đến $2019$ :

- Nếu $b=1010$ thì $c$ chỉ có thể là $1010$ ($1$ giá trị)

- Nếu $b=1011$ thì $c$ chỉ có thể từ $1009$ đến $1011$ ($3$ giá trị)

- Nếu $b=1012$ thì $c$ chỉ có thể từ $1008$ đến $1012$ ($5$ giá trị)

- .............................................................

- Nếu $b=2019$ thì $c$ chỉ có thể từ $1$ đến $2019$ ($2019$ giá trị)

$\Rightarrow S_{2019}=1+3+5+...+2019=1010^2=1020100$ tam giác.

@chanhquocnghiem: Nếu giải bài này theo cách "truyền thống " thì lời giải có đồ sộ lắm không anh?

$\textbf{TH A}$ Không có chữ số $0$

1) Có $6$ chữ số lẻ :

  a) Có đúng $5$ chữ số lẻ giống nhau (gọi tắt là dạng $1l_1/5l_2$) : $6P_5^2=120$ số

  b) Dạng $3l_1/3l_2$ : $C_5^2.\frac{6!}{3!3!}=200$ số.

  c) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/3l_4$ : $C_5^1C_4^3.\frac{6!}{3!}=2400$ số.

2) Có đúng $4$ chữ số lẻ :

  a) Dạng $1l_1/3l_2$ : $4P_5^2.\frac{6!}{2!3!}=4800$ số.

  b) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/1l_4$ : $4C_5^4.\frac{6!}{2!}=7200$ số.

3) Có đúng $2$ chữ số lẻ :

  a) Dạng $4c_1/1l_1/1l_2$ : $4C_5^2C_5^2.2!+4P_5^2.5=1200$ số.

  b) Dạng $2c_1/2c_2/1l_1/1l_2$ : $C_4^2.\frac{4!}{2!2!}\left ( C_5^2 \right )^2.2!+C_4^2.\frac{4!}{2!2!}.P_5^2.5=10800$ số

4) Không có chữ số lẻ :

  a) Dạng $2c_1/2c_2/2c_3$ : $C_4^3.\frac{6!}{2!2!2!}=360$ số.

  b) Dạng $2c_1/4c_2$ : $P_4^2.\frac{6!}{2!4!}=180$ số.

  c) Dạng $6c_1$ : $4$ số.

TH A có $27264$ số.

$\textbf{TH B}$ Có chữ số $0$ :

1) Có đúng $2$ chữ số chẵn (là $2$ chữ số $0$) :

  a) Dạng $1l_1/3l_2$ : $P_5^2\left ( \frac{6!}{2!3!}-\frac{5!}{3!} \right )=800$ số.

  b) Dạng $1l_1/1l_2/1l_3/1l_4$ : $C_5^4\left ( \frac{6!}{2!}-5! \right )=1200$ số.
2) Có đúng $4$ chữ số chẵn (gồm $2$ hoặc $4$ chữ số $0$)

  a) Có $4$ chữ số $0$ :

   + Hai chữ số lẻ cạnh nhau : $P_5^2=20$ số.

   + Hai chữ số lẻ cách nhau : $5.4.4=80$ số.

  b) Có $2$ chữ số $0$ :

   + Hai chữ số lẻ cạnh nhau : $4\left ( 3P_5^2+3P_5^2.5 \right )=1440$ số.

   + Hai chữ số lẻ cách nhau : $4\left ( 3.5.4.4+3C_5^2C_5^2.2! \right )=3360$ số

3) Có $6$ chữ số chẵn (gồm $2$ hoặc $4$ chữ số $0$)

  a) Dạng $2c_1/2c_2/2c_3$ (với $c_1=0$) : $C_4^2\left ( \frac{6!}{2!2!2!}-\frac{5!}{2!2!} \right )=360$ số

  b) Dạng $2c_1/4c_2$ (với $c_1=0$) : $C_4^1\left ( \frac{6!}{2!4!}-\frac{5!}{4!} \right )=40$ số

  c) Dạng $4c_1/2c_2$ (với $c_1=0$) : $C_4^1\left ( \frac{6!}{2!4!}-\frac{5!}{3!2!} \right )=20$ số

TH B có $7320$ số.

Tổng cộng có $27264+7320=34584$ số.

"Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện $0$ lần hoặc số lẻ lần ?

-------------------------------------------------------------------------

Trước hết ta tính số xâu $M$ có kích thước $6$, lập từ $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ sao cho bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần hoặc $0$ lần.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( 1+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )^5\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!} \right )^5$

$M=6!\left [ x^6 \right ]f(x)=38425$.

Trong $M$ xâu đó, gọi số xâu bắt đầu bằng $0$ là $N$. Ta tính $N$.

Hàm sinh $g(x)=\left ( x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )\left ( 1+x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!} \right )^5\left ( 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!} \right )^4$

$N=5!\left [ x^5 \right ]g(x)=3841$.

Số số thỏa mãn yêu cầu đề bài là $M-N=34584$.

-Trong số 135766: chữ số 9 đâu có xuất hiện đâu.
- Trong số 599999: các chữ số 1,3,7 không xuất hiện thì xét làm gì...
Một khi một chữ số chẵn (/chữ số lẻ) có trong số đó thì sẽ xuất hiện số chẵn (/số lẻ lần).
- Tự hỏi : số chỉ có 6 chữ số mà xét tất cả các chữ số chẵn, chữ số lẻ , làm sao mà thỏa được !?

Nếu vậy thì đề bài nên sửa lại :

"Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện $0$ lần hoặc số lẻ lần ?"

Như vậy thì không thể nào hiểu nhầm được

Nhiều chứ anh! Chẳng hạn, các số sau (và các hoán vị của chúng) là hợp lệ :
135766, 777333, 242488, 599999,490740,..v.v...

"...bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện số lẻ lần"

Vậy trong số 135766, chữ số 9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       trong số 777333, các chữ số 1,5,9 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       trong số 599999, các chữ số 1,3,7 xuất hiện $0$ lần $\rightarrow$ không hợp lệ.

       v.v...

1/ Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn 0,2,4,6,8 xuất hiện số chẵn lần, còn bất kỳ chữ số lẻ 1,3,5,7,9 xuất hiện số lẻ lần ?

Cách 1 :

Gọi số chữ số chẵn là $p$, số chữ số lẻ là $q$.

Dễ thấy rằng $p$ chẵn, $q$ lẻ  $(1)$

Mặt khác $p+q=6$         $(2)$

$(1)$ và $(2)$ mâu thuẫn với nhau $\Rightarrow$ không có số nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

---------------------------------------------

Cách 2 :

Gọi $S_n$ là số số có $n$ chữ số trong đó bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần (ta cần tìm $S_6$)

      $X_n$ là số xâu kích thước $n$ lập từ $\left \{ 0,1,2,...,9 \right \}$ sao cho bất kỳ chữ số chẵn nào cũng xuất hiện chẵn lần và bất kỳ chữ số lẻ nào cũng xuất hiện lẻ lần.

Trước hết ta tính $X_n$

Ta có hàm sinh :

$f(x)=\frac{(e^x+e^{-x})^5}{2^5}.\frac{(e^x-e^{-x})^5}{2^5}=\frac{(e^{2x}-e^{-2x})^5}{2^{10}}$

       $=\frac{1}{2^{10}}\sum_{k=0}^{\infty}\left [ 10^n-5.6^n+10.2^n-10.(-2)^n+5.(-6)^n-(-10)^n \right ]\frac{x^n}{n!}$

$\Rightarrow X_6=\frac{1}{2^{10}}\left [ 10^6-5.6^6+10.2^6-10.(-2)^6+5.(-6)^6-(-10)^6 \right ]=0$

Mà $S_6\leqslant X_6\Rightarrow S_6=0$.

- Lời giải chân phương. Thank you.
Nhân đây, cho em hỏi : $k$ là số nguyên không âm hay là số nguyên dương? Vì theo kết luận của anh thì :
- Nếu $k$ nguyên không âm: thì trường hợp $n=4k-1=-1$ khi $k=0 $
- Nếu $k$ nguyên dương :thì không có trường hợp $n=0,1,2$ .

$k$ là số nguyên, xác định theo $n$. Với mỗi $n\neq 0$ chỉ xác định được $1$ giá trị $k$ duy nhất. Thế thôi !

1/ Có bao nhiêu xâu kích thước n lập từ $\left \{ 0,1,2,3 \right \} $ sao cho tổng số chữ số 0 và số chữ số 1 là số chẵn. (Tdụ : trong xâu có p số 0 và q số 1 thì p+q là số chẵn)

Với mỗi $k$ ($0\leqslant k\leqslant \frac{n}{2}$) :

- Chọn $2k$ vị trí trong số $n$ vị trí : Có $C_n^{2k}$ cách.

- Mỗi vị trí (trong $2k$ vị trí đã chọn) điền chữ số $0$ hoặc $1$ : Có $2^{2k}$ cách.

- Mỗi vị trí còn lại điền chữ số $2$ hoặc $3$ : Có $2^{n-2k}$ cách.

$\Rightarrow$ Số xâu thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$a_n=(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...).2^{2k}.2^{n-2k}=2^{n-1}.2^n=2^{2n-1}$.

1/ Có bao nhiêu xâu n chữ số lập từ $  \left \{0,1,2,3  \right \}$ sao cho tổng số các chữ số 0 và số các chữ số 1 là bội số của 4.

Với mỗi $k$ ($0\leqslant k\leqslant \frac{n}{4}$) :

- Chọn $4k$ vị trí trong số $n$ vị trí : Có $C_n^{4k}$ cách.

- Mỗi vị trí (trong $4k$ vị trí đã chọn) điền chữ số $0$ hoặc $1$ : Có $2^{4k}$ cách.

- Mỗi vị trí còn lại điền chữ số $2$ hoặc $3$ : Có $2^{n-4k}$ cách.

$\Rightarrow$ Số xâu thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$a_n=(C_n^0+C_n^4+C_n^8+...).2^{4k}.2^{n-4k}=2^n\sum C_n^{4k}$

Biết rằng

$\frac{\sum C_n^{4k}}{2^n}=\left\{\begin{matrix} \frac{2^{2k-1}+(-1)^k}{2^{2k+1}} && n\in \left \{ 4k-1;4k \right \},k\neq 0\\ \frac {2^{2k}+(-1)^k}{2^{2k+2}}&&n=4k+1\\ \frac{1}{4}&&n=4k+2\\ 1&&n=0\end{matrix}\right.$

Suy ra

$a_n=\left\{\begin{matrix} 2^{6k-3}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ] && n=4k-1,k\neq 0\\ 2^{6k-1}\left [ 2^{2k-1}+(-1)^k \right ]&&n=4k,k\neq 0\\2^{6k}\left [ 2^{2k}+(-1)^k \right ]&&n=4k+1\\2^{8k+2}&&n=4k+2\\1&&n=0 \end{matrix}\right.$
 

Bài 2:
@chanhquocnghiem Đúng vậy anh ạ, các số hạng là sự trộn lẫn giữa đa thức và hàm mũ nên ta phải phân thành các trường hợp :
- $n=0,1,2$: hệ số của $x^n/n!$ là $3^n$
- $3\leq n<6$: là $3^n-\frac {n(n-1)(n-2)2^{n-3}}{2}$
- $6\leq n <9$ hoặc $ n>9$ : là $3^n-\frac {n(n-1)(n-2)2^{n-3}}{2}+\frac {n(n-1)...(n-5)}{12}$
- $n=9$ :là $$3^9-\frac {9.8.7.2^6}{2}+\frac {9.8.7.6.5.4}{12}-\frac{9!}{216}=19683-16128+30240-1680=32115$$
Cuối cùng, số các xâu thỏa yêu cầu là :
$$a_n=\begin {cases}
3^n && 0\leq n < 3,\\
3^n-\frac {n(n-1)(n-2)2^{n-3}}{2}&&3\leq n < 6,\\
3^n-\frac {n(n-1)(n-2)2^{n-3}}{2}+\frac {n(n-1)...(n-5)}{12}&&6\leq n <9 \text{ hoặc } n>9,\\
32115&&n=9.
\end{cases}$$
====
Oops! Sao $a_9$ lớn quá ta ?...

Khi $n=9$ thì chỉ có $6915$ cách thôi !
 

2/ Có bao nhiêu xâu tam phân kích thước n mà không có chữ số nào xuất hiện đúng 3 lần.

Ta có hàm sinh

$f(x)=\left ( e^x-\frac{x^3}{6} \right )^3=e^{3x}-\frac{x^3}{2}.e^{2x}+\frac{x^6}{12}.e^x-\frac{x^9}{216}=$

    $=\sum_{m=0}^{\infty}3^m.\frac{x^m}{m!}-\frac{x^3}{2}\sum_{p=0}^{\infty}2^p.\frac{x^p}{p!}+\frac{x^6}{12}\sum_{q=0}^{\infty}\frac{x^q}{q!}-\frac{x^9}{216}$

$\textbf{TH1}: n=9$

Khi đó số xâu thỏa mãn là $3^9-\frac{1}{2}.2^6.P_9^3+\frac{1}{12}.P_9^6-\frac{9!}{216}=6915$

$\textbf{TH2}:n\neq 9$

Khi đó số xâu thỏa mãn là $n!.\left [ x^n \right ]f(x)$, và bằng

$3^n-\frac{1}{2}.2^{n-3}.\frac{n!}{(n-3)!}+\frac{1}{12}.\frac{n!}{(n-6)!}=3^n-2^{n-4}P_n^3+\frac{P_n^6}{12}$

(quy ước $P_i^j=0$ nếu $j> i$)
 

1/ Có bao nhiêu cách chia 10 bi đỏ và 15 bi xanh cho 4 cậu bé sao cho mỗi bé được nhiều nhất 5 bi mỗi loại biết rằng bi chỉ khác nhau về màu sắc và có thể có bé không được viên bi nào.

Hàm sinh $f(t)=(1+t+t^2+...+t^5)^4=(1-t^6)^4\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3t^k=(1-4t^6+6t^{12}-...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3t^k$

+ Bước 1 : Chia $10$ bi đỏ cho $4$ bé, mỗi bé từ $0$ đến $5$ bi.

         Số cách là $\left [ t^{10} \right ]f(t)=C_{13}^3-4C_7^3=146$.

+ Bước 2 : Chia $15$ bi xanh cho $4$ bé, mỗi bé từ $0$ đến $5$ bi.

         Số cách là $\left [ t^{15} \right ]f(t)=C_{18}^3-4C_{12}^3+6C_6^3=56$.

Vậy đáp án là $146.56=8176$ cách.

2/ Tính số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=2n$ sao cho $x_1>x_k$.

$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+...+x_k=2n\\x_i\in \mathbb{N}\\x_1> x_k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1+y_2+...+y_k=2n+k\\y_i\in \mathbb{N}^*\\y_1> y_k \end{matrix}\right.$

Giữa các số nguyên từ 1 đến 2n+k có 2n+k-1 vạch ngăn.

+ Nếu $y_k=1$ : Vạch thứ 2n+k-1 được chọn, vạch thứ 1 không được chọn $\rightarrow C_{2n+k-3}^{k-2}$ nghiệm

+ Nếu $y_k=2$ : Vạch thứ 2n+k-2 được chọn, vạch thứ 1,2 không được chọn $\rightarrow C_{2n+k-5}^{k-2}$ nghiệm

+ Nếu $y_k=3$ : Tương tự $\rightarrow C_{2n+k-7}^{k-2}$ nghiệm

+ ........................................................

Vậy đáp án là $C_{k-1}^{k-2}+C_{k+1}^{k-2}+C_{k+3}^{k-2}+...+C_{2n+k-5}^{k-2}+C_{2n+k-3}^{k-2}=\sum_{m=0}^{n-1}C_{k+2m-1}^{k-2}$.
 

1/Có bao nhiêu số nguyên dương n chữ số có tổng các chữ số là 11.

Ta có hàm sinh $f(x)=(x+x^2+...+x^9)(1+x+x^2+...+x^9)^{n-1}=$

   $=\frac{x(1-x^9)(1-x^{10})^{n-1}}{(1-x)^n}=(x-x^{10})(1-C_{n-1}^1x^{10}+...)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+n-1}^{n-1}x^k$

Đáp án là $\left [ x^{11} \right ]f(x)=C_{n+9}^{10}-C_n^{1}-C_{n-1}^1=C_{n+9}^{10}-2n+1$ (số)

Có 7 viên bi đỏ, 6 viên bi vàng, 5 viên bi đen. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 viên bi từ những viên bi trên sao cho có đủ 3 màu, biết rằng các bi cùng màu thì giống nhau.

Lời giải 1 :

Gọi số bi đỏ, bi vàng, bi đen lần lượt là $x,y,z$.

Xét phương trình $x+y+z=10$      $(*)$

Số bộ nghiệm nguyên dương của $(*)$ là $C_9^2=36$.

Trong $36$ bộ nghiệm đó, số bộ nghiệm có $x=8$ cũng là số bộ nghiệm của pt $y+z=2$, và bằng $1$.

                                           số bộ nghiệm có $y=7$ cũng là số bộ nghiệm của pt $x+z=3$, và bằng $2$

                                           số bộ nghiệm có $y=8$ cũng là số bộ nghiệm của pt $x+z=2$, và bằng $1$

                                           số bộ nghiệm có $z=6$ cũng là số bộ nghiệm của pt $x+y=4$, và bằng $3$

                                           số bộ nghiệm có $z=7$ cũng là số bộ nghiệm của pt $x+y=3$, và bằng $2$

                                           số bộ nghiệm có $z=8$ cũng là số bộ nghiệm của pt $x+y=2$, và bằng $1$

Vậy đáp án là $36-1-2-1-3-2-1=26$ cách.

==========================

Lời giải 2 :

Ta có hàm sinh $f(x)=(x+x^2+...+x^7)(x+x^2+...+x^6)(x+x^2+...+x^5)=$

    $=x^3.\frac{1-x^7}{1-x}.\frac{1-x^6}{1-x}.\frac{1-x^5}{1-x}=\frac{x^3(-x^{18}+...-x^7-x^6-x^5+1)}{(1-x)^3}=$

    $=x^3(...-x^7-x^6-x^5+1)\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+2}^2x^k$

Đáp án là $\left [ x^{10} \right ]f(x)=-C_2^2-C_3^2-C_4^2+C_9^2=C_9^2-C_5^3=26$ cách.

Xin tiếp bước để mưu cầu được một kết quả "tường minh" hơn...
Ta có số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_1+x_2+x_3+x_4=12n+5$       $(1)$
là $C_{12n+4}^{3}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_2+x_3+x_4=12n+5-k$ là $C_{12n+4-k}^{2}$.
Số nghiệm nguyên dương của phương trình $x_3+x_4=12n+5-2k$ là $12n+4-2k$.
Suy ra phương trình  $2x_1+x_3+x_4=12n+5$        $(2)$
có $\sum_{k=1}^{6n+1}(12n-2k+4)=2C_{6n+2}^{2}$ nghiệm.
Phương trình $x_1+x_4=12n+5-2k$ có $6n-k+2$ nghiệm.
Phương trình $2x_1+x_4=12n+5-2k-1$ có $6n-k+1$ nghiệm.
Suy ra số nghiệm của $(2)$ sao cho $x_3=k>6n+2$ là :
$$\sum_{3n+2}^{6n+1}(6n-k+2)+\sum_{3n+1}^{6n}(6n-k+1)=2C_{3n+1}^{2}$$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_1=x_2$ và $x_i \leq 6n+2$ là $2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}$.
Số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ là $4n+1$ và số nghiệm của phương trình này sao cho $x_4>6n+2$ là $2n$.
Cho nên số nghiệm của $3x_1+x_4=12n+5$ sao cho $x_1\leq 6n+2$ và $x_4\leq 6n+2$ là $2n+1$.
Theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm của $(1)$ sao cho $x_i$ là các số nguyên dương phân biệt bằng :
$\begin {align*}
\left ( C_{12n+4}^{3}-4C_{3n+3}^{3} \right )-C_{4}^{2}\left ( 2C_{6n+2}^{2}
-4C_{3n+1}^{2} \right )+2C_{4}^{3}(2n+1)
=12n(12n^2+3n-1)
\end{align*}$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương phân biệt và bằng :
$C_{4}^{2}\left (2C_{6n+2}^{2}-4C_{3n+1}^{2}  \right )-12\left (2n+1  \right )=12n(9n+4)$
Số nghiệm của $(1)$ sao cho có đúng 2 nghiệm nguyên dương phân biệt là $4(2n+1)$.
Vậy số nghiệm cần tính là :
$$\begin {align*}
&\frac {12n(12n^2+3n-1)}{24}\\
&+\frac {12n(9n+4)}{12}+\frac {4(2n+1)}{4}\\
&=\boldsymbol {\frac {(n+1)(12n^2+9n+2)}{2}}
\end {align*}$$

Theo kết quả của bạn, nếu bỏ $17$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi và không quá $8$ viên) thì chỉ có $23$ cách. Nhưng mình có thể liệt kê ra nhiều hơn, chẳng hạn :

            $A$                $B$                $C$              $D$             cách

            $1$                 $1$                $7$               $8$                1

            $1$                 $1$                $8$               $7$                2

            $1$                 $2$                $6$               $8$                3

            $1$                 $2$                $7$               $7$                4

            $1$                 $2$                $8$               $6$                5

            $1$                 $3$                $5$               $8$                6

            $1$                 $3$                $6$               $7$                7

            $1$                 $3$                $7$               $6$                8

            $1$                 $3$                $8$               $5$                9

            $1$                 $4$                $4$               $8$                10

            $1$                 $4$                $5$               $7$                11

            $1$                 $4$                $6$               $6$                12

            $1$                 $4$                $7$               $5$                13

            $1$                 $4$                $8$               $4$                14

            $1$                 $5$                $3$               $8$                15

            $1$                 $5$                $4$               $7$                16

            $1$                 $5$                $5$               $6$                17

            $1$                 $5$                $6$               $5$                18

            $1$                 $5$                $7$               $4$                19

            $1$                 $5$                $8$               $3$                20

            $1$                 $6$                $2$               $8$                21

            $1$                 $6$                $3$               $7$                22

            $1$                 $6$                $4$               $6$                23

            $1$                 $6$                $5$               $5$                24

            $1$                 $6$                $6$               $4$                25

            $1$                 $6$                $7$               $3$                26

            $1$                 $6$                $8$               $2$                27

         (và còn rất rất nhiều cách nữa)

2/ Có bao nhiêu tam giác có chu vi là 300 và các cạnh là số nguyên dương

Gọi độ dài các cạnh của tam giác là $a,b,c$ ($a\geqslant b\geqslant c$). Ta có $100\leqslant a\leqslant 149$.

$\mathbf{TH1}$ $a$ chẵn ($a=2k$ với $k$ từ $50$ đến $74$)

$b+c=300-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-149 giá trị $\Rightarrow 3k-149$ tam giác

$\textbf{TH2}$ $a$ lẻ ($a=2k+1$ với $k$ từ $50$ đến $74$)

$b+c=299-2k\Rightarrow 150-k\leqslant b\leqslant 2k+1\Rightarrow b$ có thể lấy 3k-148 giá trị $\Rightarrow 3k-148$ tam giác

Vậy đáp án là $\sum_{k=50}^{74}(3k-149)+\sum_{k=50}^{74}(3k-148)=\sum_{k=50}^{74}(6k-297)=6\sum_{k=50}^{74}k-25.297=1875$ tam giác

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 12n+5 viên bi giống nhau vào 4 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất 1 viên và không quá 6n+2 viên bi.

Số cách bỏ $12n+5$ viên bi giống nhau vào $4$ hộp khác nhau (hộp nào cũng có bi) là $M=C_{12n+4}^3$ cách

Trong $M$ cách đó, gọi số cách có một hộp chứa $k$ bi ($6n+3\leqslant k\leqslant 12n+2$) là $N_k$.

+ Bỏ $k$ bi vào một hộp tùy ý : $4$ cách.

+ Bỏ $12n+5-k$ bi vào $3$ hộp còn lại (hộp nào cũng có bi) : $C_{12n+4-k}^2$ cách.

$\Rightarrow N_k=4C_{12n+4-k}^2$ cách.

Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu đề bài là

$M-\sum_{k=6n+3}^{12n+2}N_k=C_{12n+4}^3-4\left ( C_{6n+1}^2+C_{6n}^2+C_{6n-1}^2+...+C_2^2 \right )=C_{12n+4}^3-4C_{6n+2}^3$

2/ Có bao nhiêu xâu nhị phân gồm m bit 0 và n bit 1 có k run bit 1. Biết rằng run là dãy gồm 1 hoặc nhiều bit giống nhau và liên tiếp nhau, thí dụ : xâu  0110010111 có 3 run bit 1.

Chia xâu gồm $n$ bit $1$ thành $k$ nhóm (phân biệt thứ tự từ trái sang phải), mỗi nhóm có ít nhất $1$ bit $\rightarrow C_{n-1}^{k-1}$ cách

Giữa $k$ nhóm đó có k-1 khoảng giữa và $2$ khoảng biên.

Điền $m$ bit $0$ vào các khoảng sao cho thỏa mãn yêu cầu đề bài. Số cách điền chính là số bộ nghiệm nguyên của hệ

$\left\{\begin{matrix}b_1+g_1+g_2+g_3+...+g_{k-1}+b_2=m\\b_1,b_2\in \mathbb{N};g_1,g_2,...,g_{k-1}\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

và bằng $C_{m+1}^k$

Vậy đáp án là $C_{n-1}^{k-1}C_{m+1}^k$.

——
Thời gian gần đây mình bận dạy … Tập Làm Văn (lớp 5) cho tụi bạn của con gái! Ngày xưa điểm Văn của mình có bao giờ được 7 đâu Còn Toán tụi nó chê không thèm học!

Không ngờ diễn đàn của mình cũng có thầy dạy văn nữa ! Ngưỡng mộ thật, đúng là "hàng hiếm" đó nha, xin bái phục ! Ngày xưa mình sợ nhất môn văn