1/ Cho đoạn thẳng AB=2a cố định. Điểm M chuyển động sao cho tam giác AMB vuông tại M. H là hình chiếu của M trên AB. D và E lần lượt là hình chiếu của H trên MA và MB. Xác định vị trí điểm M sao cho ME.MD lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a.

Cho đoạn thẳng AB=2a cố định. M là một điểm di động sao cho tam giác AMB nhọn. Gọi N là hình chiếu của M trên AB, H là trực tâm tam giác AMB. Xác định vị trí M sao cho tích NH.NM có giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo a.

C/m định lý: Trong tam giác vuông, tổng độ dài 2 cạnh góc vuông nhỏ hơn tổng độ dài cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền đó.

Cho hình thoi ABCD có AB=8cm, góc D=120 độ, BE vuông góc AD (E thuộc AD), BF vuông góc với CD (F thuộc CD). Tính AE và DF.   

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1/ (x²+y²)/y

2/ 8/x+3/y

Cho x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$x+1+\frac{1}{x-1}$

Cho $0<x\leqslant 2$

Tìm giá trị lớn nhất của:

A=$\frac{x}{4+2y+xz}+\frac{y}{4+2z+yx}+\frac{z}{4+2x+zy}$

Bài 1/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

$(a+b+c)^{3}-(a+b-c)^{3}-(b+c-a)^{3}+(c+a-b)^{3}$

Bài 2/ Tìm y:

$8y^{6}+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}$

1/ Cho $a+b+c=3$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant a+b+c$

2/ Cho $a,b\neq 0$.Chứng minh $a^{4}+b^{4}+\left ( \frac{a^{2}b^{2}+1}{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}$

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD=AC. Lấy M là trung điểm BD. Gọi E là 1 điểm tuỳ ý trên AM ($E \neq A$). So sánh AB+AC và EB+EC.

Ta dễ c/m được $\angle EDC=\angle BAC$ (Do $\triangle CED\approx \triangle CAB(\angle C chung,\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA})$

Tương tự ta có $\angle BDF=\angle BAC$

Từ đây suy ra $\angle BDF=\angle EDC$

Nên $\angle HDF=\angle EDH$=$90^{\circ}-\angle EDC$

Suy ra DH phân giác $\angle$EDF.Tương tự EH,FH cũng là phân giác

Hay H là giao 3 đường phân giác $\triangle DEF$

Thank nhé, nhưng bạn có thể dùng tính chất trục đối xứng không?

Cho tam giác ABC nhọn có AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H. Dùng tính chất đối xứng trục, chứng minh tam giác DEF có H là giao điểm 3 đường phân giác.

vì$a^{5}+b^{5}= a^{3}+b^{3}$

nếu a, b khác 0$\Rightarrow$vô lí

$\Rightarrow$ a=b=0

thay a=o vào $a^{2}+b^{2}$ ta có:
$0^{2}+0^{2}=0> 1+0$ hay $a^{2}+b^{2}=0> 1+ab$(đpcm)

--------------------------------------------------------------------------

đúng thì like, tks

Vẫn tồn tại a=-1;b=1 thỏa a⁵+b⁵=a³+b³

Cho $a,b>0$ và $a^{5}+b^{5}=a^{3}+b^{3}$. CMR: $a^{2}+b^{2}\leqslant 1+ab$

 

điều kiện là a,b>0 mà bạn

 

thk m` nhầm

Câu 2 VT của bất đẳng thức thiếu a rồi

VD: nếu lấy $a=b=c=\frac{4}{3}$ thì bất đẳng thức sai.

Nếu $a=b=c=\frac{4}{3}$, ta có:

$b+c=\frac{8}{3}=\frac{72}{27}$

Còn: $abc=\left ( \frac{4}{3} \right )^{3}=\frac{64}{27}$

Suy ra: $b+c>abc$ (vẫn đúng với giả thiết)

1/ Cho $a,b> 0$ thoả $ab>a+b$. Chứng minh rằng: $a+b> 4$

2/ Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Chứng minh rằng: $b+c\geqslant abc$

Cho $a^{3}+b^{3}=2$. CMR: $a+b\leqslant 2$

Cho tứ giác ABCD, gọi O là trung điểm cạnh BC và E là điểm đối xứng của D qua O. Một điểm M di động trên cạnh AD, đường thẳng EM cắt OA tại I. Từ I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại K và H.

CMR $\frac{AB}{AK}+\frac{AC}{AH}-\frac{AD}{AM}$ có giá trị không đổi.

Cho tam giác ABC. Lấy điểm P thuộc miền trong tam giác ABC sao cho góc PAC và góc PBC bằng nhau. Kẻ PL vuông góc BC, PM vuông góc AC. Gọi D là trung điểm AB. Chứng minh DL=DM.

1/ Cho tam giác ABC đều, trực tâm H, đường cao AD, M thuộc BC. Vẽ ME vuông góc AB và MF vuông có AC. I là trung điểm AM. CMR HM đi qua tâm đối xứng hình thoi EIFD.

2/ Về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác APB vuông cân tại P và CAN vuông cân tại N. Gọi M là trung điểm BC. CMR tam giác MNP vuông cân.

Cho tam giác ABC có góc A bằng tổng góc B và 2 lần góc C. Biết 3 cạnh của tam giác là 3 số tự nhiên liên tiếp, tính AB, BC, CA.

Cho tam giác ABC có a,b,c lần lượt là độ dài 3 cạnh. Gọi x,y,z lần lượt là độ dài 3 đường phân giác trong tam giác ABC. C/m: 1/x+1/y+1/z>1/a+1/b+1/c.

Cho các số a, b, c, d thỏa mãn:

$a^{2}+b^{2}+\left ( a-b \right )^{2}=c^{2}+d^{2}+(c-d)^2$.

Chứng minh rằng: $a^{4}+b^{4}+(a-b)^{4}=c^{4}+d^{4}+\left ( c-d \right )^{4}$

Ta có: $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)-2ab=2(c^2+d^2)-2cd \Rightarrow a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd$

$\Rightarrow a^4+b^4+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3=c^4+d^3+3c^2d^2-2c^3d-2cd^3$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+3a^2b^2-2a^3b-2ab^3)=2(c^4+d^3+3c^2d^2-2c^3d-2cd^3)$

$\Rightarrow a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$ (đpcm)

Cho $A=\frac{(\sqrt{3x}-1)^{2}}{\sqrt{3x}-2}$.

Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.