52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 56:Theo Bunhia có:$\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum a^2b-\sum a^3}\geq \sum a^2=1$

(Do áp dụng AM-GM 3 số có:$\sum a^3\geq \sum a^2b$)

Bài 30:Áp dụng bđt $x^5+y^5\geq \frac{(x+y)^5}{16}$

$= > \sum \sqrt[5]{a^5+b^5}\geq \sum \sqrt[5]{\frac{(a+b)^5}{16}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt[5]{16}}=\sqrt[5]{2}\sum a$

Daicagiangho1998 nhớ trích dẫn đề nha.

 

47) Cho $a;b;c>0$ thỏa $abc=2$. Cmr: $\sum a^3\geq \sum a\sqrt{b+c}$

 

48) Cho $a;b>0$ thỏa $a^2+b^2=1$. Tìm Min $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}-\sqrt{\frac{b}{a}}})^2$

49) Cho 2 dãy ${a_n};{b_n}>0$ thoả: $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ ; $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}$.

Cmr: $C_{25}=a_{25}+b_{25}>10\sqrt{2}$

 

50) Cho $a;b>0$. Cmr:

$\sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\leq \frac{a+b}{2}$

 

51) Cho $a;b;c>0$ thoar: $a^2+b^2+c^2=4\sqrt{abc}$

Cmr: $a+b+c>2\sqrt{abc}$

Bài 50:BDT $< = > \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}+\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}< = > (\sqrt{a}-\sqrt{b})^6\geq 0$(Luôn đúng)

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 57:Đặt $\sqrt[3]{b+c-a}=x,\sqrt[3]{a+c-b}=y,\sqrt[3]{a+b-c}=z= > a=\frac{y^3+z^3}{2},b=\frac{x^3+z^3}{2},c=\frac{x^3+y^3}{2}$

BĐT $< = > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum x$

Theo AM-GM có:$y^3+x^3\geq \frac{(y+x)^3}{4}= > \sum \sqrt[3]{\frac{y^3+x^3}{2}}\geq \sum \frac{x+y}{2}=\sum x$

58) Cho $x\in (0;1)$. Tìm Min $A=\frac{4x^2+1}{x^2(1-x)}$

 

59) Cho $x\in (0;3)$. Tìm Max $B=(5x^2-14x-3)(x-3)$

 

60) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c-a}}\geq \sum \sqrt{a}$

 

61) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $|\sum \frac{a-b}{a+b}|<\frac{1}{8}$

 

62) Cho $x\in [0;1]$. Cmr: $\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{1+x}\leq 3$

 

63) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b$

 

64)

a) Cho $x\in [-1;1]$. Cmr: $|4x^3-3x|\leq 1$

b) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n\in [-1;1] & & \\ a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=0 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $a_1+a_2+...+a_n\leq \frac{n}{3}$

 

65) Cho $x;y>0$ thỏa $x^2+y^2=1$. Cmr: $xy+Max(x;y)\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (Giải thích: Nếu $x>y$ thì $Max(x;y)=x$ và tương tự)

 

 

P/s: Anh Daicagiangho1998 học KHTN nên cứ từ từ mà làm thôi, chứ có đề phát đã ăn hết sạch luôn vậy

Bài 65:Bài này khá hay:Giả sử $x=Max(x,y)$

 Theo AM-GM có:$xy\leq \frac{x^2+3y^2}{2\sqrt{3}},x\leq \frac{4x^2+3}{4\sqrt{3}}$

$= > xy+max(x,y)=x+y\leq \frac{2(x^2+3y^2)+(4x^2+3)}{4\sqrt{3}}=\frac{6(x^2+y^2)+3}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Dấu = xảy ra tại $x=\frac{\sqrt{3}}{2},y=\frac{1}{2}$

$144$,(Tự sáng tác ^^) Với $a,b,c>0$ tmđk $3a+5b+8c=1$

CMR; $(1-a)^{3}(1-b)^{5}(1-c)^{8} \geqslant 15^{16}a^{3}b^{5}c^{8}$ 

 

@Viet Hoang 99: Chú ý không kẹp $$ vào trong tiếng Việt có dấu.

Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$

Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$

Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$

Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

 

Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Bài 169:Ta có:$(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}.3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{abc}}}=9= > \sqrt{(\sum \sqrt{a})(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})}\geq 3$

Mà $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{3(\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc})}\leq 3< = = > \sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc}\leq 3< = > \sum (1-\frac{a(b+c)}{a^2+bc})\geq 0< = > \frac{(a-b)(a-c)}{a^2+bc}+\frac{(b-c)(b-a)}{b^2+ac}+\frac{(c-a)(c-b)}{c^2+ab}\geq 0$

Nhưng bđt này luôn đúng vì đây là Schur mở rộng 

Đăng bài đi Việt Hoàng

Bài 45:Ta có:$a+b=a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2= > 4(a+b)\geq (a+b)^2= > a+b\leq 4$(Do $a+b\geq 0$)

$= > Q=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a+b)\leq 4.4=16$

Đẳng thức xảy ra tại a=b=2

52) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=4 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $4\leq \sum \sqrt{a+b}\leq 2\sqrt{6}$

 

53) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác, Cmr: $\sum \sqrt{a+b-c}\leq \sum \sqrt{a}$

 

54) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $2$. Cmr: $\sum a^2<2(1-abc)$

 

55) Xác định dạng tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$ biết $A=\sum \frac{a}{1-2a}$ đạt $min$.

 

56) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Cmr: $\sum \frac{a^2}{1+b-a}\geq 1$

 

57) Cho $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác. Cmr: $\sum \sqrt[3]{a+b-c}\leq \sum \sqrt[3]{a}$

Bài 55:Ta có:$\sum \frac{a}{1-2a}=\sum \frac{a^2}{a-2a^2}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a-2\sum a^2}=\frac{1}{1-2\sum a^2}\geq \frac{1}{1-2.\frac{(\sum a)^2}{3}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$

Bài 5:Theo AM-GM có:$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{b+c}{a}+1)=\frac{1}{2}\sum \frac{a+b+c}{a}= > \sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2\sum a}{\sum a}=2$

 Dấu = xảy ra tại a=0,b=c

Bài 44:Theo Bunhiacopxki co:$\sum \sqrt{2x^2+xy+y^2}=\sum \sqrt{x^2+\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2}\geq \sum \sqrt{x^2+\frac{3(x+y)^2}{4}}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{4x^2+3(x+y)^2}=\frac{1}{2}\sum \sqrt{(2x)^2+(x+y)^2+(x+y)^2+(x+y)^2}\geq \frac{1}{2}\sum \frac{2x+x+y+x+y+x+y}{4}=\frac{1}{2}.\sum \frac{5x+3y}{4}=\sum x=1$

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

3) Tìm Min $A=|11^m-5^n|$ với $m;n$ nguyên dương.

4) Cho $x;y;z;t$ dương thỏa $x+y+z+t=2$

Tìm Min $A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}$

Bài 1:BĐT $< = > x(x-y)(x-z)+y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\geq 0$

Không mất tổng quát giả sử $x\leq y\leq z= > z(z-x)(z-y)\geq 0$

Do đó ta cần CM :$y(y-z)(y-x)+x(x-z)(x-y)\geq 0< = > (x-y)(x^2-xz-y^2+yz)\geq 0< = > (x-y)((x-y)(y+x)-z(x-y))\geq 0< = > (x-y)^2(x+y-z)\geq 0$(Luôn đúng do $x\geq y\geq z$)

Hì, nhầm rồi Daicagiangho1998, giả thiết là $x+y+z+y=2$ mà, nhừng bài của Daicagiangho1998 là $x+y+z+t=1$ rồi. Fix lại đi, $min=16$

 

 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

Uhm mình nhầm chỗ đó nhưng cách làm vẫn đúng

Bài 4:Theo AM-GM có:$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{(x+y+z+t)^2(x+y+z)(x+y)}{4xyzt}\geq \frac{4t(x+y+z).(x+y+z)(x+y)}{xyzt}=\frac{4t(x+y+z)^2(x+y)}{xyzt}\geq \frac{4t.4z(x+y).(x+y)}{xyzt}=\frac{16tz(x+y)^2}{xyzt}\geq \frac{16tz.4xy}{xyzt}=64= > P\geq 64$

 

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

 

Hình như sai rồi

 

31) Cho $\left\{\begin{matrix}a_1;a_2;...;a_n>0 & & \\ a_1+a_2+...+a_n=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1)\geq (n-1)^n$

 

32) Cho $x+y+z=0$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{3+4^x}$

 

33) Cho $a;b;c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm Min $A=\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}$

 

34) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=\frac{3}{4}$. Tìm Min $P=\sum \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$

 

35) Cho $x;y;z>0$ thỏa: $xyz=1$. Tìm Min $A=\sum \frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

 

 Còn mỗi bài này mình giải luôn

Bài 35: $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c= > abc=\sqrt{xyz}=1$.Ta sử dụng bdt Bunhiacopxki và bdt AM-GM như sau:

$= > A=\sum \frac{a^4(b^2+c^2)}{b^3+2c^3}\geq \sum \frac{a^4.2bc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3.abc}{b^3+2c^3}=\sum \frac{2a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^3}{b^3+2c^3}=2\sum \frac{a^6}{a^3b^3+2a^3c^3}\geq 2.\frac{(\sum a^3)^2}{3\sum a^3b^3}=\frac{2}{3}.\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^3b^3}\geq \frac{2}{3}.\frac{3\sum a^3b^3}{\sum a^3b^3}=2= > A\geq 2$

Do đó A Min = 2 khi $a=b=c=1< = > x=y=z=1$

Bài 43:Ta có:$\sum \sqrt{x^2+xy+y^2}=\sum \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}+\frac{(x-y)^2}{4}}\geq \sum \sqrt{\frac{3(x+y)^2}{4}}=\sum \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}=\sqrt{3}(\sum x)=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$

 Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 24: Theo Bunhiacopkxi có:$\sum \frac{a^2}{1+b-a}=\sum \frac{a^4}{a^2+a^2b-a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2+\sum a^2b-\sum a^3}\geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^2}=\sum a^2=1$

(Do áp dụng bdt AM-GM có:$\sum a^3\geq \sum a^2b$)

Hôm nay bước vào ngày thi thứ nhất thì phải đúng ko mọi người 

Anh xem cái đề HSG thái bình là đủ hiểu

 Khó hơn mọi đề bình thường ,hj

Hình như anh Đăng cũng quê Thái Bình thì phải?

Năm nay thi IMO có 3 người quê gốc Thái Bình ,công nhận Thái Bình bá thật ,chiếm 1 nửa luôn

 Mong năm nay anh Hoàn sẽ làm quả HCV thứ 2 và là người thứ 7 hai lần giành vàng liên tiếp

Anh Huy hoàng được vào cả trận chung két Olympia nữa 

Thấy mặt anh Hoàn trên báo THTT số 454 kìa

Ừ ,vì anh ấy đã tham dự IMo năm ngoái rùi mà nên đương nhiên là sẽ có