80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

80/

C/m BĐT $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ (*):

Từ BĐT $\sum a^2 \geq \sum ab$ (đã c/m) ta có $\sum a^2 + 2\sum ab \geq \sum ab + 2\sum ab$, tức là $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

(*) đc c/m.

Ta có $\frac{a}{pb+qc}=\frac{a^2}{(pb+qc)a}=\frac{a^2}{pab+qca}$

$\Rightarrow  \sum \frac{a}{pb+qc}=\sum \frac{a^2}{pab+qca} \geq \frac{(a+b+c)^2}{pab+qca+pbc+qab+pca+qab}$ (BĐT Schwarz)

Hay $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)(p+q)}$ (nhóm các số ở mẫu vào theo từng cặp thích hợp)

Áp dụng BĐT (*) ta có $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(p+q)}=\frac{3}{p+q}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu = khi a = b = c > 0.

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ với x; y ; z > 0, từ abc = 1 ta cũng có xyz = 1.

Biến đổi $\frac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}.(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}$ (do xyz = 1)

$\Rightarrow  \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum(y+z)}(Schwarz) \\ =\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}(Cauchy)=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu = khi a = b = c = 1.

 

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

Ta có $(3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha)^2 \leq [3^2+(\sqrt{3})^2].(\sin \alpha^2+\cos \alpha^2)=12$

$\Rightarrow -12 \leq 3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha \leq 12$

$\Rightarrow Max P = 12$ 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$

 

Cách 2: Cauchy 5 số

$x^5+4=x^5+1+1+1+1 \geq 5x \Rightarrow x^5+y^5 \geq 5x + 5y - 2.4 = 5.2 - 8 = 2$

Dấu = khi x = y = 1.

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y \\ =(y^3-6y^2+9y)-(x^3+x^2) \\ =y(y-3)^2-x^2(x+1) \\ =(3-x)x^2-x^2(x+1) \\ =2x^2(1-x) \geq 0$ 

ta cần cm

$\sum x^{4}y\leq \sum x^{5}$

 

Chỗ màu đấy có thể làm gọn lại như sau:

Ta có $\frac{x^{7}}{x^{2}+y^{2}}=x^{5}-\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.x^4y \geq x^{5}-\frac{1}{2}.\frac{4x^5+y^5}{5}=\frac{3}{5}.x^5-\frac{1}{90}y^5$

Từ đó có $\sum \frac{x^{7}}{x^{2}+y^{2}} \geq \sum (\frac{3}{5}.x^5-\frac{1}{90}y^5)=\frac{\sum x^5}{2}$

Nốt mấy bài cũ mn nhé:

Ừ, đúng rồi, đề là CM như thế đó.

P/s: Mình cũng đã học về sigma đâu!!

Cho mình hỏi đề 112 có phải CM : $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{a+d+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+d}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

Ở chỗ mình cấp 2 ko được học về zich ma.

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}= \sum {{}\frac{a}{\sqrt{a(b+c+d)}}}\geq \sum \frac{a}{\frac{a+b+c+d}{2}}= \sum \frac{2a}{a+b+c+d}$

P/s: Không biết có đúng không?     

Bài này trong pic đã có rồi, bạn đăng trùng.

P/S: chịu khó đọc lại 17 trang của pic đi bạn, không thì cũng phải 14 trang gần đây bạn nhé!

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

 

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

 

mã là gì thế, giải thích hộ tớ vs

 

 

Tại sao anh nhóm vào giỏi thế, có mẹo nào k, chỉ giúp e vs, e k đủ thông minh để tự nhóm đc như thế

 

Sao lại chọn $\frac{3}{2}$ ạ, a lấy ở đâu $\frac{3}{2}$  thế ạ?????

 

Rất mong đc nghe mọi người giải thích hộ ạ

 

 

Mã là max (lỗi gõ tiếng việt thôi )

Bạn chỉ cần nhân phá ra là đc, k cần mẹo gì ở đây cả.

Chỗ này là kĩ thuật giải BPT loại đơn giản (BPT bậc III).

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

Chỗ này là sao hả Hoàng????

Thiếu dấu = và thiếu phân thức, lẽ ra phải là $\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab} \geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab}$ (BĐT Schwarz)

76) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

Xét tổng $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b) \\ =a^4-a^3-a+1+b^4-b^3-b+1 \\ =(a-1)(a^3-1)+(b-1)(b^3-1) \\ =(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)$

Dễ thấy $a^2+a+1>0;b^2+b+1>0$ nên có $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b)\geq 0$

Mà có $a+b \geq 2$ nên $2-a-b \leq 0$ $\Rightarrow a^4+b^4-a^3-b^3 \geq 0 \Rightarrow a^4+b^4 \geq a^3-b^3$ (đpcm) 

Dấu = khi a = b = 1.

P/S: toàn quên cái dấu = nên phải sửa bài viết suốt   

66) Cho $a;b;c$ là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $6$. Tìm Min $A=3(a^2+b^2+c^2)+2abc$

Sao không phải là max????

19) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

Đặt $x=\frac{1}{a};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ (x, y, z > 0). Mà abc = 1 nên xyz = 1.

$\Rightarrow a+b=z(x+y) \Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}=\frac{x^2}{y+z}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4})-\frac{x+y+z}{2}$

Mà $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x$ (Cauchy cho 2 số) nên $\Rightarrow \sum (\frac{x^2}{y+z} + \frac{y+z}{4}) \geq x+y+z$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3(b+c)} \geq (x+y+z)-\frac{x+y+z}{2}=\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ (Cauchy cho 3 số)

$\Rightarrow$ đpcm.

21) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$

 

Ta c/m BĐT phụ $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b)$ với a, b > 0:

(C/m tương đương) $a^5+b^5 \geq a^2b^2(a+b) \Leftrightarrow a^5-a^3b^2+b^5-a^2b^3 \geq 0$ 

$\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^2-b^2) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2) \geq 0$ (luôn đúng do a, b > 0)

Khi đó: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{1}{ab(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = 1$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng bên trong)

17) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$

 

Tương tự bài 14 trên:

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{1-b-c+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{(b-1)(c-1)}} \leq \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}} \leq \sum \frac{1}{2}.(\frac{bc}{b-1}+\frac{bc}{c-1})=\frac{1}{2}$

16) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4}$

1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

 

Đây là BĐT Schur bậc 3, có nhiều cách c/m BĐT này nhưng mình chọn cách thường dùng nhất - Cauchy. Ở trên đã có 1 cách, đây là cách 2:

Ta có $\sum a^3+3abc \geq \sum ab(a+b) \Leftrightarrow  abc \geq \sum (a+b-c).$ (*)

Giả sử $a\ \geq b \geq c$ thì xét b + c - a < 0, lúc này (*) luôn đúng.

Xét b + c - a > 0 thì áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: $(b+c-a)(a+b-c) \leq \frac{(b+c-a+a+b-c)^2}{4}=b^2$

$\Rightarrow \sum (a+b-c)^2 \leq (abc)^2$

Khai căn 2 vế ta đc đpcm.

2) Tìm Min; Max của $A=xy$ biết $x;y$ nguyên dương và $x+y=2005$.

 

- Xét $x=y=\frac{2005}{2}$ (không thỏa mãn do x, y nguyên dương)

- Xét $x\neq y$, giả sử x > y thì ta biến đổi $A=xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{2005^2-(x-y)^2}{4}$ (**)

x, y nguyên dương và x > y; x + y = 2005 nên $1 \leq y<x \leq 2004 \Rightarrow 1 \leq x-y \leq 2003$

$\Rightarrow$ từ (**) thì có Min A = 2004 khi x = 2004, y = 1 (hoặc ngược lại); Max A = ... = 1005006 khi x = 1003; y = 1002 (hoặc ngược lại) 

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

Áp dụng bài số 9 trên ta có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}} \geq 2$

Cho d = c, thay vào các mẫu thì ta được $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{a}{a+b+c}} \geq 2$

Tương tự 9 thì ở đây dấu = cũng k xảy ra.

Dấu = tại $a=0; b=c$

 

Cả hai đều sai, xét hết các BĐT con ra thì dấu bằng khi a = b + c, b = c + a và c = a +b, tức a +b + c = 2(a + b + c), điều này k xảy ra vì a, b, c >0.

 

 

Không thỏa mãn thì tìm ra A làm gì?

Đang xét các T.h của x và y mà chú. 

6) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}$

C/m gì đấy?

10) Cmr: $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}\forall a;b;c>0$

$a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2=ab(a+b)$

$\Rightarrow a^3+b^3+abc \geq ab(a+b+c) \Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \frac{1}{ab(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3+b^3+abc} \leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)} = \frac{1}{abc}$ (đưa $\frac{1}{a+b+c}$ ra ngoài rồi quy đồng mẫu các phân thức bên trong lên)