$\bigstar$ VD 7:
$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)}^2\geq 3$
em xin chém câu này theo cách hơi ngu một tẹo nhé
dễ thấy là bđt viết lại thành $ \sum {\dfrac{1}{a+1}} + \sum {\dfrac{2}{(a+1)^2}} \ge 3$
Ta sẽ dồn về một biến để đánh giá . Không mất tính tổng quát có thể giả sử $ab \ge 1 $ => $c \le 1$
Ta có đánh giá sau : $ \dfrac{1}{1+a} +\dfrac{1}{1+b} \ge \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}} = \dfrac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}$
Và :$ \dfrac{1}{(a+1)^2} +\dfrac{1}{(b+1)^2} \ge \dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$
Đặt $\sqrt{c}=t$ thì bây giờ sau khi khai triển ta chỉ cần CM : $\dfrac{2t}{t+1}+\dfrac{t^2}{t^2+1} +\dfrac{2}{(t^2+1)^2} \ge 2$
Khai triển thì được $(t-1)^2(t^2+t+2) \ge 0$ bđt cuối hiển nhiên
tanconggioihan nội dung
Có 9 mục bởi tanconggioihan (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
#513867 TOPIC: Xoay quanh $\sum \frac{1}{x^2+x+1}...
Đã gửi bởi tanconggioihan on 19-07-2014 - 10:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
#513854 TOPIC: Xoay quanh $\sum \frac{1}{x^2+x+1}...
Đã gửi bởi tanconggioihan on 19-07-2014 - 09:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\bigstar $ VD1:
$$\frac{1}{a^{2}-a+1}+\frac{1}{b^{2}-b+1}+\frac{1}{c^{2}-c+1}\leq 3$$
để ý ta đã có : $$\frac{1}{a^{2}+a+1}+\frac{1}{b^{2}+b+1}+\frac{1}{c^{2}+c+1} \ge 1$$
nên ta chỉ cần CM : $\sum {( \dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{a^2-a+1})} \le 4$
BĐt này tương đương $ \sum {\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1}} \le 2$
Bđt này quy về bđt quen thuộc $$\frac{1}{a^{2}+a+1}+\frac{1}{b^{2}+b+1}+\frac{1}{c^{2}+c+1} \ge 1$$
#499192 Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2...
Đã gửi bởi tanconggioihan on 15-05-2014 - 15:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
4)
$(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3$
$=a^3-3a^2+3a+b^3-3b^2+3b+c^3-3c^2+3c-3$
$=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+b(b^2-3b+\frac{9}{4})+c(c^2-3c+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}(a+b+c)-3$
$=a(a-\frac{3}{2})^2+b(b-\frac{3}{2})^2+c(c-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$$\geq \frac{-3}{4}$
Dấu = có khi: $2$ số bằng $\frac{3}{2}$ và một số bằng $0$
câu này nè có (a-1)+(b-1)+(c-1)=0 thì suy ra được $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=3(a-1)(b-1)(c-1)$ rồi đánh giá được k nhỉ
#494127 [Violympic9] Các bài toán violympic lớp 9 cho kì thi quốc gia sắp tới.
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 13:02 trong Cuộc thi VIOlympic (Cuộc thi do Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức)
13) Giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ trong hệ $Oxy$. Biết $M\in Ox$; $A(11;-7);B(4;6)$
Vì $M\in Ox$ nên M(t;0)
Khi đó $MA= \sqrt{(t-11)^2+7^2}$
$MB=\sqrt{(4-t)^2+6^2}$
sử dụng bất đẳng thức Minkowski $MA+MB \ge \sqrt{(t-11+4-t)^2+(7+6)^2}=\sqrt{218}$
Vậy Min $MA+MB=\sqrt{218}$
#494126 [Violympic9] Các bài toán violympic lớp 9 cho kì thi quốc gia sắp tới.
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 12:54 trong Cuộc thi VIOlympic (Cuộc thi do Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức)
10) Cho $a;b>0$ thỏa : $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+ab-3=0 & & \\ a+b\leq 2 & & \end{matrix}\right.$
Tìm Min $A=a^2-ab+b^2$(a,b>0)
khi đó $P=a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab=3-2ab$
vì a,b>0 nên a+b>0 => $(a+b)^2 \le 4$
mà $4 \ge (a+b)^2 \ge 4ab$ nên $ab \le 1$
=>$ P \ge 3-2 =1$
Min P=1 <=> a=b=1
#494112 [Violympic9] Các bài toán violympic lớp 9 cho kì thi quốc gia sắp tới.
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 11:59 trong Cuộc thi VIOlympic (Cuộc thi do Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức)
8) Cho pt: $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$
Gọi $(x_1;y_1);...;(x_n;y_n)$ là tất cả nghiệm nguyên của pt.
Tính $x_1+x_2+...+x_n$
đưa về dạng $(x^3-y)^2+x^6 =320$
dễ thấy x nguyên và $-2 \le x \le 2$
ta lần lượt thay vào thì có nghiệm x=-2 ; x=2 là thỏa mãn (với x nguyên )
nên $x_1+x_2+..+x_n=0$
#494106 [Violympic9] Các bài toán violympic lớp 9 cho kì thi quốc gia sắp tới.
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 11:45 trong Cuộc thi VIOlympic (Cuộc thi do Bộ giáo dục và đào tạo tổ chức)
6) Số ước nguyên của số $1339$ là ...
6) Có: $1339=13.103$
Vậy có 4 ước tự nhiên hay 8 ước nguyên.
#494102 $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a...
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 11:32 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$
$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$
$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\geq 2a$
Cộng vế với vế ta có:
$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$
Áp dụng BĐT Bunyacopxki ta có:
$a+b+c\geq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
$\Rightarrow dpcm$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
sao lại thế hả anh
bất đẳng thức cuối ngược cmn dấu rồi
#494099 Cho $0\leq x,y,z\leq 2$ và x+y+z=3. Tìm GTLN của P=x^2+y^...
Đã gửi bởi tanconggioihan on 20-04-2014 - 11:26 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $0\leq x,y,z\leq 2$ và$ x+y+z=3$. Tìm GTLN của$ P=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$
sử dụng dồn biến
giả sử x=max{x,y,z}
khi đó dễ thấy $1 \le x \le 2$
P=$x^2+y^2+z^2$
=$x^2+(y+z)^2-2yz$ $\le x^2+(3-x)^2$ =$2(x-1)(x-2)+5$ $\le 5$
Mãx P=5 tại x=2;y=0;z=1 và hoán vị
- Diễn đàn Toán học
- → tanconggioihan nội dung