Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM và CK. Kéo dài BC một đoạn CD=CM và AB một đoạn BF=BK. Nối DK cắt AC tại Q.
Chứng mình F, M, Q thẳng hàng.

Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F .

a)     CMR: B , F , C thẳng hàng

b)    Tứ giác CDEF nội tiếp được

c)     Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE

Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’)

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ).

a)     CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.

b)    CMR :  CA và DB vuông góc với AB

 

Cộng đồng này rất hay ! 

http://hoahoc.org/forum/

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 90⁰ và COD =90 độ. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F .

a)     Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?

b)    CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c)     Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được.

Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đường tròn 

Cho tam giác ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ;  giao điểm của CM , IH là Q.

Cho tam gíac ABC cân tại A, , A  <90⁰, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đ­ường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tư­ơng ứng BC,AB,CA. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao điểm của MC,IH.

a)     Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đ­ược

b)    Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK

c)     Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp đ­ợc. Suy ra PQ//BC

Gọi (O₂) là đư­ờng tròn đi qua M,P,K,(O₂) là đư­ờng tròn đi qua M,Q,H; N là giao điểm thứ hai của (O₁) và (O₂) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M,N,D thẳng hàng.

Cho tam giác ABC(AB>AC ; , BAC  >90⁰). I,K thứ tự là các trung điểm của AB,AC. Các đư­ờng tròn đư­ờng kính AB,AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E, tia CA cắt đ­ường tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a)     Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng

b)    Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

c)     Chứng minh ba đ­ường thẳng AD,BF,CE đồng quy

Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đ­ường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH,DE.

Cho đ­ường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.

1)    Chứng minh AMD=ABC và MA là tia phân giac của góc BMD.

2)    Chứng minh A là tâm đ­ường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

3)    Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đư­ờng tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đ­ường tròn ngoai tiếp tam giác BEF.

Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và ABC = an pha.

Cho tam giác ABC vuông tại A,đ­ường cao AH. Đ­ường tròn đ­ường kính AH cắt các cạnh AB,AC lần l­ợt tại E và F.

1)    CMR: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

2)    C/m: AE.AB = AF.AC

3)    Đư­ờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

4)    C/m nếu diện tích tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.

 

Cho đ­ường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đ­ường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đ­ường tròn( B,C,M,N thuộc đ­ường tròn; AM<AN). Gọi I là giao điểm thứ hai của đ­ường thẳng CE với đ­ường tròn (E là trung điểm của MN).

a)     Chứng minh 4 điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đ­ường tròn.

b)    Chứng minh : AOC = BIC;

c)     Chứng minh : BI//MN

Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn nhất.

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA< IB. Trên đoạn MI lấy điểm E( E khác M và I).Tia AE cắt đ­ường tròn tại điểm thứ hai K.

a)     Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp.

b)    C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM² =AE.AK

c)     C/m: AE.AK+BI.BA=4R²

Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN.

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB cố định và một đ­ường kính EF bất kì (E khác A,B). Tiếp tuyến tại B với đ­ường tròn cắt các tia AE,AF lần l­ợt tại H,K . Từ K kẻ đư­ờng thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M.

a)     C/m tứ giác AEBF là hình chữ nhât

b)    C/m tứ giác EFKH nội tiếp đư­ờng tròn

c)     C/m AM là trung tuyến của tam giác AHK

d)    Gọi P,Q là trung điểm t­ương ứng của HB,BK,xác định vị trí của đ­ường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất.

 

Cho đ­ường tròn (O;R) , đ­ường thẳng d không qua O cắt đ­ờng tròn tại hai điểm phân biệt A,B. Từ một điểm C trên d(C nằm ngoài đư­ờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đ­ờng tròn(M,N thuộc O) . Gọi H là trung điểm của AB, đ­ường thẳng OH cắt tia CN tại K.

1)    C/m 4 điểm C,O,H,N thuộc một đ­ường tròn

2)    C/m : KN.KC=KH.KO

3)    Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều CM,CN,MN.

Một đ­ường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN lần lượt tại E và F.Xác định vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất

Cho đ­ường tròn (O) đ­ường kính AB=2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM,H là giao điểm của AK và MN.

1)    Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp

2)    Tính tích AH.AK theo R.

Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tính GTLN đó?

 

 

Cho đ­ường tròn (O) bán kính AB=2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó(E khác A,B). Đ­ường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K khác A.

1)    C/m hai tam giác KAF và KEA đồng dạng.

2)    Gọi I là giao điểm của đư­ờng trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc (O) tại E và tiếp xúc AB tại F.

3)    Gọi M,N lần lư­ợt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đư­ờng tròn (I;IE). C/m MN//AB

Gọi P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Tìm GTNN của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O).

 

Cho đư­ờng tròn (O) đ­ờng kính AB=2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó(E khác A và B). Đ­ường phân giác góc AEB cắt đoạn AB tại F và cắt đư­ờng tròn (O) tại điểm thứ hai K.

35]b) Gọi I là giao điểm của đ­ường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đ­ờng tròn (O) tại E và tiếp xcs với đ­ường thẳng AB tại F.

35] c) Chứng minh MN//AB ,trong đó M,N lần l­ợt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đ­ờng tròn (I).

35]d) Tính GTNN của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK;Q là giao điểm của MF và BK.

@MOD: bài toán đã có tại : http://diendantoanho...¬ường-phân-gi/. Bạn post bài toán 2 lần.Lock topic!

Cho (O;R) đ­ường kính AB =2R và điểm C thuộc đ­ường tròn đó( C khác A,B). D thuộc dây BC (D khác B,C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E,tia AC cắt BE tại F.

1) C/minh tứ giác FCDE nội tiếp

2) C/minh DA.DE = DB.DC

3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đư­ờng tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE  , chứng minh IC là tiếp tuyến của (O).

4) Cho biết DF =R, chứng minh tagAFB = 2.

Cho tam giác ABC cân tại A lấy E,F lần lượt thuộc AB,AC sao cho AE=AF.CM: BC + EF=2BF

Cho tam giác ABC vuông tại A. AM là p/g . Vẽ BM vg góc với AB. Lấy I thuộc BM sao cho góc xIA=góc AIB. Tia Ix cắt CM tại K. Tính góc KAI ?

Cho tam giác ABC có AE là t/tuyến , I là t/điểm của AE. O thuộc AB sao cho OA=2OB , IO cắt BC tại F.CMR: B là t/điểm của EF

Cho tam giác ABC có AB<AC .D thuộc AC sao cho AD=AB .Gọi M là tđ của BD.

1.  CM : Tam giác ABM = tam giác ADM

2.  CM : AM vuông góc BD

3.  Vẽ AK cắt BC tại K .CM: tam giác ABK=tam giác ADK

4.  Lấy F thuộc tia đối tia BA sao cho BF=BC .CM: 3 điểm F, K , D, thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có p/g của góc B và C giao tại I .Phân giác ngoài của 2 góc B và C giao nhau tại H .CRM: 3 điểm A, I ,H thẳng hàng

           Cho tam giác ABC có M là phân giác ngoài tại C. CMR : MA + MB > CA + CB

Cho tam giác ABC có góc ABC = 120 độ, kẻ đường phân giác BD và CE. đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. 
a/ Cm : góc ADF = góc BDF. 
b/ Cm : D, E, F thẳng hàng.