cho $3$ số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2(a+b+c)$. Tìm $GTLN$ của

$Q=\frac{a-1}{a^{2}+4b}+\frac{b-1}{b^{2}+4c}+\frac{c-1}{c^{2}+4a}$

Bạn kiểm tra lại đề bài thử nhé, cụ thể xét các bộ số $(a,b,c)=(0.5,-0.062500...001,c)$ với $c$ thoả mãn phương trình: $a^2+b^2+c^2=2(a+b+c)$

Lần lượt thay $b$ bằng các số : $-0.062501,0.0625001,..$ thì ta thấy $Q$ càng tiến đến vô cùng.

Do đó không tồn tại giá trị lớn nhất của biểu thức $Q$

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}+x\overrightarrow{AC}=0$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABM$. Biết: $\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{AB}=\frac{-a^2}{9}$.

Giá trị của $x$ là bao nhiêu? 

Hình chữ nhật hay và hình vuông vậy bạn ? 

Bài  12: [IMO 2004] Trong tứ giác lồi $ABCD$ đường chéo $BD$ của nó không phải là phân giác của góc $\angle{ABC}$ và $\angle{CDA}$. Một điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ và thoả mãn: $\angle{PBC}=\angle{DBA}$ và $\angle{PDC}$ và $\angle{BDA}$.

 

Chứng minh rằng $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi $AP=CP$.

Bài 11: [IMO 1990] Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thoả : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y},\forall x,y\in \mathbb{Q}^{+}$

Mùa đông đến rồi, sợ diễn đàn lạnh lẽo, nên mình tạo topic này có tên : "Mỗi ngày một bài toán IMO", mục đích chính là để post lại các bài IMO đã qua để mọi người cùng thảo luận cho vui, học hỏi là chính, có thể đóng góp nhiều lời giải khác nhau để nâng cao kiến thức. 

 

Không có gì hơn, có mấy điều, mong các bạn chú ý :

 

+ Không được spam tránh gây loãng topic

 

+ Mỗi ngày, mình sẽ đăng một bài, nên nếu bạn nào có ý định đề nghị bài nào đó hay thì có thể gửi qua tin nhắn của mình trên diễn đàn cũng được nhé

 

Ngoài ra, mình khuyến khích các bạn có thể dẫn một số bài liên quan hoặc tương tự đến những bài IMO này để mọi người có thể mở rộng thêm những kiến thức về bài toán IMO được nhắc tới.

 

Một lần nữa không có gì hơn, mình mong các bạn tham gia nhiệt tình sôi nổi để diễn đàn không bị cô đơn giữa mùa đông sắp đến nhé ! 

 

Để mở đầu, mình bắt đầu một bài như sau:

 

Bài 1: [IMO 1990] Cho $n\ge 3$ là một số nguyên và xét tập hợp $E$ gồm có $2n-1$ điểm nằm trên một đường tròn. Giả sử rằng có đúng $k$ điểm được tô màu đen. Một cách tô màu như thế được gọi là "tốt' nếu như có ít nhất một cặp điểm màu đen sao cho phần trong của một trong hai cung nhận nó làm đầu mút chứa chính xác $n$ điểm của $E$. Hãy xác định giá trị bé nhất của $k$ sao cho với mọi cách tô màu $k$ điểm của $E$ đều là tốt. 

Bài 15: [IMO 1986] Cho $d$ là một số nguyên dương khác $2,5$ và $13$. Chứng minh rằng có thể tìm được hai số nguyên dương $a$ và $b$ từ tập hợp $\left\{,2,5,13,d\right\}$ sao cho $ab-1$ không phải là số chính phương.

Bài 10: [IMO 1966] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, còn $\alpha, \beta, \gamma$ tương ứng là ba góc đối diện với ba cạnh trên. Chứng minh rằng, nếu $a+b=tan(\frac{\gamma}{2})(a*tan(\alpha)+b*tan(\beta))$, thì tam giác đang xét là tam giác cân.

Bài 14: [IMO 1985] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh $AB$ của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng minh rằng: $AD+BC=AB$

Bài 13: [IMO 1987] Cho $n$ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên không âm $k$, kí hiệu $p_n(k)$ là số các hoán vị của tập hợp $\left\{1,2,...,n\right\}$, mà có đúng $k$ điểm cố định. Chứng minh rằng: $\sum\limits_{k=0}^{n}k*p_n(k)=n!$

 

Chú ý. Một hoán vị $f$ của tập hợp $S$ là một song ánh đi từ $S$ vào $S$. Một phần tử $i\in S$ được gọi là điểm cố định của hoán vị $f$ nếu như $f(i)=i$

Bài 3: [IMO 1985] Cho một tập hợp $M$ gồm $1985$ số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn $26$. Chứng minh rằng $M$ chứa ít nhất một tập con bốn phần tử mà tích của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên.

Bài 9: [IMO 1988] Cho $n$ là một số nguyên dương và $A_1,A_2,...,A_{2n+1}$ là các tập hợp con của tập hợp $B$. Giả sử rằng: 

 

(a) Mỗi $A_i$ có đúng $2n$ phần tử.

 

(b) Mỗi $A_i\cap A_i(1\le i<j\le 2n+1)$ chứa đúng một phần tử.

 

(c) Mọi phần tử của $B$ đều thuộc vào ít nhất hai tập con $A_i$.

 

Hỏi rằng với những giá trị nào của số $n$ thì chúng ta có thể đánh dấu mọi phần tử của $B$ bởi các số $0$ và $1$ sao cho mỗi $A_i$ có đúng $n$ phần tử được đánh số $0$

Bài 2: [IMO 2002] Hãy xác định tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ với mọi $x,y,z,t\in \mathbb{R}$

Bài 5: [IMO 1995] Hãy xác định giá trị lớn nhất của $x_0$ sao cho tồn tại một dãy các số thực dương $x_0,x_1,...,x_{1995}$ thoả mãn $x_0=x_{1995}$ và với mọi $i=1,2,3,...,1995$ thì: $x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}$

Bài 4: [IMO 1994] Với bất kỳ một số nguyên dương $k$ nào ta ký hiệu $f(k)$ là số các phần tử của tập hợp $\left\{k+1,k+2,...,2k\right\}$ mà trong biểu diễn ở cơ số $2$ (hệ nhị phân)  thì có đúng ba số $1$

 

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $m$ tồn tại ít nhất một số nguyên $k$ sao cho $f(k)=m$

 

b) Xác định tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có đúng một số nguyên dương $k$ thoả mãn $f(k)=m$

Bài 8: [IMO 1987] Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ nào từ tập hợp các số nguyên không âm vào chính nó thoả mãn $f(f(n))=n+1987$ với mọi $n$.

Bài 7: [IMO 1978] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và với các cạnh $AB,AC$ ở các điểm $P,Q$ tương ứng. Chứng minh rằng: Trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ chính là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 6: [IMO 1963] Chứng minh rằng: $cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2\pi}{7}+cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{2}$

Xin chào mọi người ạ, mình lập topic này để tổng hợp lại các bài toán THCS chưa có lời giải trên diễn đàn để mọi người mình cùng trao đổi ạ mong mọi người nhiệt tình ủng hộ ạ

 

 

Bài 1: Cho hình lục giác $ABCDEF$ có các cặp cạnh đối song song. Phía ngoài dựng các tam giác đều trên mỗi cạnh. CMR:Tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều tạo thành 1 hình lục giác có các cặp cạnh đối song song.

Nguồn: https://diendantoanh...nh-ly-napoleon/

 

Bài 2: Cho hình vuông cạnh 50. Một đường gấp khúc nằm trong miền hình vuông thỏa mãn điều kiện mọi điểm trong hình vuông đều có khoảng cách đến đường gấp khúc nhỏ hơn hoặc bằng 1. CMR độ dài đường gấp khúc lớn hơn 1248

Nguồn: https://diendantoanh...inh-học-tổ-hợp/

 

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, M la một điểm trên CD( khác C,D). CMR:  MA+MB<max {CA+CB;DA+DB}

Nguồn: https://diendantoanh...16099-giup-voi/

 

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A , góc $BAC=45^0$. nội niếp đường tròn $(O;R)$. Tia $AO$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $D$ khác A. Lấy diểmM trên cung nhỏ AB( M khác A, B).Dây MD cắt dây BC tại I.Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME= MB. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt MC tại điểm thứ hai K.
1. Chứng minh rằng:
a)BE song song với DM.
b) Tứ giác DCKI nội tiếp.
2. Không dùng máy tính hoặc bảng lượng giác, hãy tính theo R thể tích của hình do tam giác ACD quay 1 vòng quay cạnh AC sinh ra.

Nguồn: https://diendantoanh...ang-xom-ơi-cứu/

 

Bài 5: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn và có các cặp cạnh đối song song. Chứng minh rằng tổng 3 cặp cạnh đối của lục giác bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa 3 cặp cạnh đối của lục giác bằng nhau

Nguồn: https://diendantoanh...ay-về-lục-giac/

 

Bài 6: Cho $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$ ,$M$ cung $BC$ không chứa $A$ . Xác định vị trí của $M$ để $MA+MB+MC$ max

Nguồn: https://diendantoanh...ic/16000-begin/

 

Bài 7: Cho hình bình hành $ABCD$ cố định.Tìm trong mặt phẳng tập hợp các diểm $M$ sao cho: $MA^2+MB^2+MC^2+MD^2$ không đổi

Nguồn : https://diendantoanh...699-một-bai-dễ/

Bài 8: Cho ngũ giác lồi $ABCDE$. $BE$ cắt $AD,AC$ ở $M,N$ . $CE$ cắt $AD,BD$ ở $R,Q$. $AC$ cắt $BD$ ở $P$ .Biết diện tích các tam giác $AMN,BNP,CPQ,DRQ,EMR$ bằng 1.Tính diện tích $MNPQR$

Nguồn: https://diendantoanh...ưng-cung-ko-dễ/

 

Bài 9: Cho $(O)$ đường kính $AB$, trên cung $AB$ lấy $C,D$ sao cho cung $AD$ lớn hơn cung $AC$.Trên cung $AB$ còn lại lấy điểm $E$ , CE AD tại I,OI EB tại K. CMR : $KD$ vuông góc với $CD$

Nguồn: https://diendantoanh...-hinh-hinh-hoc/

 

Bài 10: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn $(O)$ qua B và C cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Một đường tròn (T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc vói cung EF của đưởn tròn (T) tại M (tiếp xúc ngoài). Chứng minh phân giác góc BMC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nguồn: https://diendantoanh...-cho-mấy-be-ne/

 

Bài 11: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $a$. Trên 2 cạnh $CD$ và $DA$ lấy lần lượt $2$ điểm $E, F$
sao cho $EF=1$. Chứng minh rằng $EA+EB+EC+ED \ge \sqrt{2}+1$

Nguồn: https://diendantoanh...-nghen-anh-chị/

 

Bài 12: CMR:
a) Mọi đa giác lồi với S=1 đều có thể đặt đc vào 1 hbh có S=2
b) Tồn tại tam giác với S=1 không đặt đc vào bất kì hbh nào có S<2

Nguồn: https://diendantoanh...9-dố-mọi-người/

 

Bài 13: Cho hai đường tròn (O)và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B dây CD của đường tòn (O) tiếp xúc với (O’)tại M .Tia AM cắt (0) tại N. CMR:  đường tròn ngoại tiếp tam giác BMD tiếp xúc với DN

Nguồn: https://diendantoanh...9-ha-nội-93-94/

 

Bài 14: Cho tam giác ABC có A = 30 độ và C=60 độ. Xác định vị trí các điển M,N,P trên các cạn tam giác sao cho tam giác MNP đều và đạt chu vi nhỏ nhất.

Nguồn: https://diendantoanh...9-ha-nội-93-94/

 

Bài 15: Cho tam giác ABC, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp.
BD, CE phân giác trong. Tồn tại M trên BC sao cho tam giác MDE đều.
CMR:  AH = AO

Nguồn: https://diendantoanh...bai-thi-hd-nữa/

 

Bài 16: Cho góc xOy và một điểm M nằm trên cạnh Oy (M khác O ) Tìm điểm I trên Oy sao cho (I;IM) tiếp xúc với đường thẳng chứa tia Ox

Nguồn: https://diendantoanh...-9-ha-nội-9293/

 

Bài 17: Cho tứ giác ABCD trong đó chu vi tam giác ABD lớn hơn chu vi tam giác CDB Hỏi có thể tìm được hay không một điểm M sao cho MC > MA + MB + MD không tạo sao ?

Nguồn: https://diendantoanh...-9-ha-nội-9293/

 

Bài 18: Có một pháo đài hình tam giác ABC có các trạm gác là A, I, K, B, L, M, C, N, P sao cho I, K thuộc AB và AI = IK = KB; L, M thuộc BC và BL = LM = MC; N, P thuộc CA và CN = NP = PA. Qua thời gian, pháo đài và các trạm gác hầu như bị hủy hoại, chỉ còn các trạm gác I, L, N. Hãy dựng lại các trạm gác còn lại.

Nguồn: https://diendantoanh...-lại-dựng-hinh/

 

Bài 19: Ngày xưa có một tòa thành có dạng là một tam giác ABC. Người ta xây 9 trạm gác trên ba cạnh AB, BC, CA như sau : Trên AB là 4 trạm A, I, K, B sao cho AI = IK = KB. Trên BC là 4 trạm gác B, L, M, C sao cho BL = LM = MC. Trên CA là 4 trạm gác C, N, P, A sao cho CN = NP = PA. Qua thời gian các trạm gác và tòa thành dần bị hủy hoại, chỉ còn các trạm I, L, N. Hãy dựng các trạm gác còn lại.

Nguồn: https://diendantoanh...-lại-dựng-hinh/

 

Bài 20: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp=1, chu vi ABC =16.Tính 3 cạnh?

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/18592--/

 

Bài 21: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ 2 tam giác đều BE và EDF ra ngoài hình bình hành. Gọi M,I,K là các trung điểm của DB,AF,AE. Tính góc IMK

Nguồn: https://diendantoanh...bai-lớp-8-thoi/

 

Bài 22: Cho tam giác ABC ,góc A> 90 độ, AH BC . Dựng AD AB , AD=AB ; AE AC , AE=AC. Lấy M thuộc ED sao cho MD=ME.
a, AM= ? (dễ thui)
b, CM: A,H,M thẳng hàng
(cách lớp 7 thì càng tốt)

Nguồn: https://diendantoanh...iản-như-dan-rổ/

 

Bài 23: Cho tam giác ABC bất kỳ.1 đường thẳng l cắt các cạnh AC,BC tương ứng tại E,F
CMR:đường thẳng l đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC $\frac{BC.AE}{CE}+\frac{AC.BF}{CF} = AB$

Nguồn: https://diendantoanh...ột-bai-kha-hay/

 

Bài 24: Cho hv ABCD.AB=a.
M,N là TĐ AB,AD.
DM cắt AC tại I
NI cắt MC tại K
DK cắt NC tại R
Tính RC

Nguồn: https://diendantoanh...pic/18777-tinh/

 

Bài 25: Cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB và BC lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm BD,GE và FH đồng quy

Nguồn: https://diendantoanh...-menalaus-seva/

 

Bài 26: Trên mp có 2 đg thg a,b vuông góc với nhau tại O,
A là một điểm ko nằm trên 2 đg thg đó.
Một góc vuông xAy có 2 cạnh Ax,Ay cắt a,b tại B,C.
Gọi M là điểm đối xứng của A qua BC.
Tìm quỹ tích của M khi góc A quay quanh đỉnh A

Nguồn: https://diendantoanh...0194-bai-hay-2/

 

Bài 27: Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài hai tam giác ABE,ACF vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: MA vuông góc với EF

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/19598--/

 

Bài 28: Cho tam giác ABC, vẽ ra ngoài 3 tam giác đều ABE,ACF,BCK. Gọi G là trọng tâm tam giác BCK. Chứng minh rằng GA vuông góc với EF

Nguồn: https://diendantoanh.../topic/19598--/

 

Bài 29: Cho tam giac ABC. Tìm góc A sao cho: phân giác góc A đồng quy tại D với qua B vaC biết góc CBD=1/3 góc CBA va BCD=1/3 góc ACB

Nguồn: https://diendantoanh...lam-ho-tui-nhe/

 

Bài 30: Cho tam giác ABC với A1,B1,C1 bất kì thuộc ba cạnh tương ứng
A2,B2,C2 lần lượt là trung điểm của  AA1,BB1,CC1
CMR: S(A1B1C1)=4S(A2B2C2)

Nguồn: https://diendantoanh...94-lại-bai-nữa/

 

Bài 31: cho đt (O) và 2 đường kính AB,CD không vuông góc.M,N lần lượt thuộc CO,DO sao cho OM=ON.AM và AN cắt đường tròn (O) lần lượt tại E,F. EFgiao với CD tại I. tìm quĩ tích I

Nguồn: https://diendantoanh...-bai-kho-1-day/

 

Bài 32: cho goc xoy co dinh.A la diem di dong tren Ox,B di dong tren Oy sao cho AB=m(khong doi).Chung to trung diem I cua AB di dong tren 1 duong co dinh.

Nguồn: https://diendantoanh...p-quy-tich-day/

 

Bài 33: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi K là trung điểm đường cao. Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC. Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N

Nguồn: https://diendantoanh...4-một-bai-toan/

 

Bài 34: Cho hình vuông ABCD cạnh a.M là 1 điểm di động trên AC.ME,MF vuông góc với AD,DC.
C/m:a,BM vuông góc với EF
b,S của BDEF kô đổi với M di động trênAC
c,Xác định M sao choS của tam giác BEF nhỏ nhất

Nguồn: https://diendantoanh.../21633-kho-lắm/

 

Bài 35: Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài nó. Hai đường tròn (O) và (O') cùng đi qua A và tiếp xúc d tai B, C tương ứng .Biết góc BAC = 90 độ, CMR :
a) (O) và (O') tiếp xúc nhau tại A
b) trung tuyến AM của tam giác ABC là tiếp tuyến chung của (O) và(O') tại A

Nguồn: https://diendantoanh...ễn-thanh-hoang/

 

Bài 36: Cho tam giác ABC co AD, BE, CF là ba đường phân giác, I là tâm đường tròn nội tiếp. CMR : Tam giác ABC cân tại A nếu hai đường tròn nội tiếp trong hai tam giác sau là bằng nhau :
a) IAF và IAE
b) IBF và ICF
c) IBD và ICD

Nguồn: https://diendantoanh...ng9imariecurie/

 

Bài 37: Cho tam giác ABC đều có cạnh là a . Một đường thẳng qua trực tâm G cắt lần lượt BC,AC,AB tại P,Q,R với điểm P ở ngoài tam giác với PC>PB. Chứng mình rằng: 1/GQ = 1/GR+1/GP

Nguồn: https://diendantoanh...3-tam-giac-deu/

 

Bài 38: cho t/giác đều ABC,1 điểm H trong đó .HBC=40o,HCB=35o tính BAH

Nguồn: https://diendantoanh...opic/21378-hay/

 

Bài 39: Cho CH và CM là các đường cao và trung tuyến trong tam giác không tù ABC. Phân giác gócABC cắt CH và CM lần lượt tại P và Q, biết rằng:  góc ABP= góc PBQ = góc QBC
CMR:
a/Tam giác ABC vuông
b/ BP=2CH

Nguồn: https://diendantoanh...pic/21377-giải/

 

Bài 40: Cho đường tròn (O) , có BC là một dây bất kì ;Một điểm A di động trên đường tròn.H là trực tâm của tam giác ABC . Xác định A sao cho (HA+HB+HC) max

Nguồn: https://diendantoanh...uen-qen-day-ma/

 

Bài 41: tam giác ABC. M bất kì thuộc đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm vị trí M để MA^2+MB^2+MC^2 đạt max, min

Nguồn: https://diendantoanh...-lam-dc-ko-nhỉ/

 

Bài 42: Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB CD. E chuyển động trên đường tròn, trên OE lấy M sao cho OM bằng tổng khoảng cách từ E đến các đường thẳng AB và CD.Tìm quỹ tích M.

Nguồn: https://diendantoanh...64-thử-ti-thoi/

 

Bài 43: Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:

AM/AB = BN/BC = CP/CD = DQ/DE = ER/EF = FS/FS.

CMR: Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua một điểm cố định

Nguồn: https://diendantoanh...9-dung-kt-thcs/

(Còn cập nhật)

✨Ps: Bài nào được giải mình sẽ tô màu đen đậm để nhận diện ạ

Bài 44: cho tam giác ABCD và O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
tìm M thuộc mặt phẳng để (MA+MB+MC+MO)min

Nguồn: https://diendantoanh...13-bai-cực-trị/.
tìm M thuộc mặt phẳng để (MA+MB+MC+MO)min

Bài 45: Cho tam giác ABC , D thuộc BC
CMR: $AB^2.CD + AC^2.BD+ AD^2.BC = CD.BD.BC$

Nguồn: https://diendantoanh...giup-em-thanks/

Bài 46: CMR : Trong một tứ giác toàn phần , đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác đồng quy. (Điểm Miquel)

Nguồn: https://diendantoanh...22406-hinh-học/

 

(Còn cập nhật)

Mình xin đóng góp hình đề 1 ạ

💦Mình xin chào tất cả toàn thể anh(em) trong diễn đàn ạ, chỉ còn vài tuần nữa thôi là khắp các tỉnh thành sẽ diễn ra kì thi THPT vào lớp 10, nên hôm nay mình quyết định lập một TOPIC được mang tên: "ÔN THI VÀO LỚP 10 (2024-2025)" nhằm giúp cho mọi người có thể giao lưu, học hỏi lẫn nhau, nhằm củng cố lại những kiến thức đã học, cũng như phát triển thêm khả năng tư duy những bài toán khó hơn ở các dạng toán khác nhau, hy vọng được mọi người đón nhận và ủng hộ ạ.

 

💦Nội quy của topic:

 

* Mọi người có thể đăng những đề hoặc bài toán hoặc vấn đề mà mình đang vướng để mọi người có thể trao đổi và giải đáp

* Tuyệt đối không đăng các bài nhằm mục đích gây rối hoặc spam

* Mọi người cố gắng viết các công thức toán học bằng công cụ Latex

* Đối với lời giải các bài hình học, thì các bạn cố gắng đăng hình kèm theo để mọi người tiện theo dõi ạ

 

✨Cuối cùng, mình xin chúc mọi người sức khoẻ và đạt được kết quả tốt nhất trong kì thi sắp tới ạ !!!

 

🎶Mình xin bắt đầu với ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG TOÁN 9 - TRƯỜNG THCS PHÚ LA - QUẬN HÀ ĐÔNG (2022-2023)

Nguồn: FB

Bài 5: Lời giải:

Điều kiện xác định: $x\ge \frac{2}{3}$

Ta có: $\sqrt{x}+\sqrt{3x-2} = x^2+1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

 $\sqrt{x}\le \frac{x+1}{2}(1)$

 $\sqrt{3x-2}\le \frac{3x-2+1}{2}(2)$

Cộng (1) và $(2)$ vế theo vế ta được: $\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}\le 2x$

Hay $x^2+1\le 2x \iff (x-1)^2\le 0$

Mặt khác: $(x-1)^2\ge 0$ nên từ đây ta suy ra được: $(x-1)^2=0$ hay $x=1$

Thử lại thoả mãn

 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=1$

Mình xin đăng đề thứ 2 ạ:

Mình xin đăng tiếp đề số 3

 

 

Mình xin tiếp tục đề số 4: