nguồn: của mình

ai rãnh thì đánh lại giùm !! thanks       

BĐT đc viết lại $ \sum \frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2} $  
Ta có đánh giá $\frac{11b^3-a^3}{ab+4b^2}  \le 3b-a$ vì $(b-a)^2(b+a) \ge 0$ 
Suy ra $MAX_{VT}=2(a+b+c)=2(x+2y+3z)=6$

làm sao bạn có được đánh giá như vậy ?? chỉ mình với cám ơn       

Sao mình nhớ trong đề thi là 'tìm tất cả các ước số nguyên tố của $a^2 + b$ mà không đồng dư modulo $7$' nhỉ? Mà không sao cả, đợt đó mình chú tâm bài bđt với cả cũng bận ôn thi nên quên cả hạn gửi bài  . Đây là lời giải của mình cho bài toán trên.
$$\begin{cases} (a^{2} + b)\mid (c^{2} + a) \\ (a^{2} + b)\mid (b^{4} - c^{2}) \end{cases} \implies (a^{2} + b)\mid (b^{4} + a) \implies (a^{2} + b)\mid (b^{8} - a^{2}) \implies (a^{2} + b)\mid ((b^{8} - a^{16}) + (a^{16} - a^{2}) \implies (a^{2} + b)\mid a^{2}(a^{14} - 1)$$
Dễ thấy $\text{gcd}(a^{2} + b; a^{2})\mid \text{gcd}(b; a^{2})\mid \text{gcd}(a^{2}; b^{2})\mid (\text{gcd}(a; b))^{2} = 1 \implies \text{gcd}(a^{2} + b; a^{2}) = 1$
$$\implies (a^{2} + b)\mid (a^{14} - 1)$$. Gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $a^2 + b$:
TH1: $p = 7$. Dễ thấy $\text{gcd}(p; a) = 1$, do đó theo định lý Fermat bé: $1 \equiv a^{14} \equiv a^{2} \pmod{7}$. Từ đó có $7\mid (a^{2} - 1)$. Theo bổ đề LTE thì $v_{7}(a^{14} - 1) = v_{7}(a^{2} - 1) + 1$. Do đó $v_{7}(a^{2} + b) \le v_{7}(7(a^{2} - 1))$
TH2: $p \neq 7$. Nếu $p\mid \frac{a^{14} - 1}{a^{2} - 1}$, thì theo một bổ đề cũ: "Cho $L$ là một số nguyên dương và $p$ là một số nguyên tố sao cho $L\mid \frac{x^{p} - 1}{x - 1}$ thì $L \equiv 0; 1 \pmod{p}$". Cho ta $p \equiv 0; 1\pmod{7}$, điều này vô lí. Do vậy mọi ước nguyên tố không đồng dư $0, 1$ modulo $7$ của $a^{2} + b$ là ước nguyên tố của $a^{2} - 1$
Từ đây ta đi đến kết luận $(a^{2} + b) \mid 7(a^{2} - 1)$. Đặt $7(a^{2} - 1) = L(a^{2} + b) \iff (7 - L)(a^{2} + b) = 7(b + 1)$. Dễ thấy $L \ge 6$
$a^{2} + b = \frac{7(1 + b)}{7 - L} \implies \frac{7(1 + b)}{7 - L}\mid 7(b^{2} - 1) + 7(c + 1) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L}\mid 7(c + 1) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L}\mid 7(c^{2} - 1) + 7(1 + a) \implies \frac{7(b + 1)}{7 - L} \mid 7(a + 1)$. Từ đó có:
$$\frac{7(a + 1)}{a^{2} + b} \in \mathbb{Z}_{+}$$.
Thử từ $1$ đến $8$ có các nghiệm $(1; 1; 1); (6; 13; 370)$. Do $a, b, c$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên chỉ có $(1; 1; 1)$ là bộ nghiệm duy nhất.

cho em hỏi làm sao chứng minh được cái bổ đề cũ ở TH2 vậy anh     em cám ơn     

 bn cho mình hỏi lm sao đặt đc a+b+c=1 vậy

cậu có thể vào link này để xem: http://diendantoanho...fracbcdfracca/ 

dạ cái này quả thật rất hay, lúc cầm cuốn GGTH đập vào mặt cái bài này ùi nên thấy rất mê, em cứ tưởng là bài viết của thầy CẨn nữa chứ,