Posted by
Góp một bài cho topic.
Bài 479. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{{\sqrt {xy + x} }} + \frac{y}{{\sqrt {xy + y} }} = 2\sqrt {\frac{{x + y}}{{x + y + 2}}} \hfill \\ x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = \frac{{{x^2} + 4\left( {y - 1} \right)}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
ĐK: $x\geq 1, y\geq 1$
Pt(1)$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{x}{y+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{y}{x+1}}-\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )=0$
$\Leftrightarrow \frac{\frac{x}{y+1}-\frac{x+y}{x+y+2}}{\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}}}+\frac{\frac{y}{x+1}-\frac{x+y}{x+y+2}}{\sqrt{\frac{y}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}}}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)(x+y+1)\left ( \frac{1}{(y+1)\left ( \sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )}-\frac{1}{(x+1)\left ( \sqrt{\frac{y}{x+1}}+\sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}} \right )} \right )=0$
$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\left ( \sqrt{\frac{x+y}{x+y+2}}-\frac{1}{\sqrt{y(x+1)}+\sqrt{x(y+1)}} \right )=0$
TH1: $x=y$
Thay vào pt(2) ta được: $4x\sqrt{x-1}=x^{2}+4x-4$
Đặt $\sqrt{x-1}=t\geq 0\Rightarrow x=t^{2}+1$
Thay vào pt ta được: $(t-1)^{4}=0$
$\Leftrightarrow t=1\Rightarrow x=2$(TM)
TH2: $\sqrt{x+y}\left ( \sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(x+1)} \right )=\sqrt{x+y+2}(*)$
$(*)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x+y+2}{x+y}}=\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(x+1)}$
Với $x,y\geq 1$ ta luôn có: $VT\leq \sqrt{2}, VP\geq 2\sqrt{2}$
$\Rightarrow$ Pt(*) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)=(2;2)$
