Bài này bây giờ nghĩ lại rất hay, dù câu trả lời của Bằng làm mình bối rối vì không hiểu gì.

 

Mình nghĩ số 1 tượng trưng cho những ý tưởng cao đẹp, như vĩnh cửu (eterinity), vô hạn (infinity), tuyệt đối (absoluteness), unity (sự tổng thể), hàng đầu (you are number one, man). Môn Toán là môn được những con người thích tìm đến sự chân thật (truth seeking) quan tâm, dù trong hay ngoài ngành. Vì, một cách rất ấu trĩ, mình nghĩ các kết luật Toán học có tính chính xác tuyệt đối, vĩnh cửu và trường tồn.

 

Quan điểm của mình về tri thức cũng như thế giới là mọi lãnh vực tri thức đều là một (oneness). Mọi kiến thức từ Toán đến lịch sử, từ khtn đến nhân văn đều là một. Chỉ vì con người không đủ sức mạnh về thể chất và tinh thần, cũng như khả năng nhận tri để thấu hiểu đồng loạt và tức thời. Do vậy chúng ta mới phải phân nhỏ li ti ra để mà tìm hiểu và nghiên cứu, để rồi ngày nay không ai trong chúng ta có thể hiểu hết phần tri thức mà nhân loại tìm ra hay nghiên cứu ra.

 

Mọi lĩnh vực trí tuệ cũng là vô tận (infinite). Con người đến bao giờ mới thăm hết các hành tinh trong thái dương hệ này, chứ đừng nói là vươn ra ngoài và xa hơn thế để khám phá vũ trụ.

 

Thật đáng thương khi các nhà khoa học thần kinh cố gắng hiểu làm thế nào não bộ phát triển toán học nói chung, họ thường tỏ ra nhầm lẫn toán học với "cảm giác số" (tạm dịch từ number sense). Cái thứ hai là một khoa tri thức rất khác biệt, vốn hoàn toàn tách rời khỏi toán học (có hằng tá ví dụ về những nhà toán học nổi tiếng mà chẳng tý cảm giác số nào). Toán học có nghĩa là tạo ra các cấu trúc và nói riêng, những con số tỏ ra là một cấu trúc thú vị, nhưng nhưng điều đó là khá xa khi kết nối với toán học nói chung.

 

Anh nghĩ sự "nhầm lẫn" này tới từ sự thay đổi lớn lao về tính chất của Toán học (paradigm shift). Có những thời kỳ trước đây mà "cảm giác số", hay "cảm giác ký hiệu Toán" (symbolic feeling) và các quy luật biến đổi chúng đóng vai trò quan trọng trong những kỹ năng mà một nhà Toán học thành công phải có. Đó là những thời kỳ của Newton hay Euler, khi mà những lý thuyết mang tính cấu trúc rất trừu tượng và xa vời tầm với của trực giác chưa xuất hiện. Khi xem qua các bài viết của những nhà Toán học lớn nhất và lỗi lạc nhất thời kỳ này, như Lagrange, Euler, Laplace, những phép biến đổi xuất thần, những mẹo tính toán tinh tế thể hiện qua từng trang của họ. Những kỹ năng và trực giác này vẫn còn nằm lại với các bài toán sơ cấp của các bạn học sinh giỏi THPT. Có nhiều bạn có thể bỏ qua các bước biến đổi và "tính trong đầu". Đây là một khả năng bẩm sinh quan trọng, một tố chất cần thiết để trở thành một học trò giỏi hay xuất sắc Toán.

 

Nhưng để trở thành một nhà nghiên cứu chuyên nghiệp ngày nay thì những trực giác tinh tế như thế không còn là đủ nữa. Đến thế kỷ 19, những khái niệm mang tính cấu trúc mà nay thuộc lĩnh vực Abstract Algebra xuất hiện. Đó là những khái niệm như nhóm, vành, trường. Đây là hạt mầm cho tính cấu trúc mà em đề cập tới. Như các tác giả nổi tiếng Liên Xô viết trong cuốn "Mathematics: Its Content, Method and Meaning", Toán học là lĩnh vực tiến rất sâu vào địa giới của sự trừu tượng, hãy đọc phần quote này:

 

 

(Abstractions of Mathematics) occurs in a sequence of increasing degrees of abstractions, going much further in this direction than the abstractions of other sciences.

 

Vì em là một nhà Toán học đang theo đuổi toán học lý thuyết (hay thuần túy), và vì em đã vật lộn rất nhiều với những khái niệm trong những ngành Toán học khá trừu tượng ở bậc THCS và đại học, em chắc chắn sẽ đồng ý với sự nhận xét này.

 

Những đầu óc lớn lao của Toán học ngày nay là những người phải làm quen với sự trừu tượng cao độ và tính phức tạp đa hình đa dạng của các nền Toán học hiện đại. Anh không hiểu gì về Grothendieck, nhưng ông ấy chắc chắn phải là một thiên tài với bộ óc suy nghĩ hết sức trừu tượng.

 

Thật đáng tiếc khả năng Toán của anh rất hạn chế nên anh bất lực khi chiêm nghiệm bản chất của sự trừu tượng của Toán học. Nhưng đó chính là một trong hai yếu tố nêu trên khiến người ta nhầm tưởng "cảm giác số" là dấu hiệu của sự thành công của một người có khả năng Toán. Hai yếu tố ấy là gì? Là tính cấu trúc hóa và tính trừu tượng cao độ của Toán học ngày nay.

Do you think I should completely throw away the graphs that people explain to me about the band of y represented the epsilon, and the band of x represented the delta.

 

 

You once said that this definition was very intuitive. At my wretched level, it was something that I could not understand intuitively. With the epsilon only definition of a sequence, I could certain understand that.

 

Right now, I feel like just stick to the definition, finding ways to make it work, and call it a day. There is no need to try to understand anything else more than that. 

 

I will create a new thread that asks about a series of progressively abstract definitions of a function, or a map. Really, I got stuck forever in elementary functions. I have a feeling that these definitions applied to something much higher than that.

Hello mọi người!
Mình từng học qua Calculus 1 và đã từng tiếp xúc với khái niệm giới hạn. Trong khuôn khổ chương trình, mình chỉ được giới thiệu qua loa định nghĩa epsilon delta. Mình được cho xem hình ảnh graph của "một đường cong bất kỳ". Vậy thôi!

 

Sau đó là chấp nhận tất cả các luật giới hạn như giới hạn tổng, giới hạn tích, giới hạn thương 2 hàm số. Sau này mình ngồi tự chứng minh các định luật kia với sự hướng dẫn của bạn Nguyễn Mạnh Linh thì thấy rất khó khăn, phải nói cực khó vì không hiểu mình đang làm gì hết cả.

 

Quan trọng hơn khi học, người ta chỉ nói giới hạn tồn tại khi nào, chứ không giải thích gì về việc khi nào và tại sao một giới hạn không tồn tại.

 

Mình muốn hỏi có ai có thể dùng ngôn ngữ đơn giản giải thích ý nghĩa epsilon delta và những trường hợp mà giới hạn không tồn tại được không?

 

Tính mấy cái giới hạn hàm hố đã có wolfram lo, hiểu nó mới khó!

Mình không dám nói gì hết vì kiến thức Toán căn bản của mình rất tệ.

 

Nhưng theo mình biết, $\frac{dy}{dx}$ thời Leibnitz là tỷ lệ đại lượng cực bé (infinitement petit) $y$ trên đại lượng cực bé $x$. Không rõ trong Toán học hiện đại, nó có ý nghĩa gì mới.

Sao không thấy ai nói gì về phương trình đạo hàm và ứng dụng Vật Lý nhỉ?

Xã hội thì cũng không cần quá nhiều người làm toán nên từ phong trào này mà chắt lọc ra vài bạn đi học Toán cũng là quý rồi; nhưng mà cách tư duy ở Toán phổ thông thì đúng là đôi khi lại thấm đậm vào các bạn học nó quá sâu đến nỗi ngạc nhiên với Toán cao cấp (dù không cao cấp lắm!). Diễn đàn hay thay đổi bộ mặt qua từng thời kỳ như sóng vậy, tùy vào từng lứa.

Cần chuyên nghiên cứu Toán có lẽ không nhiều, nhưng cần có kiến thức tổng quát và hiểu Toán căn bản thì rất nhiều. Người ta chắc chắn sẽ suy nghĩ chín chắn hơn nếu được học Toán một cách đúng đắn, mình tin vậy.

 

- Lịch sử toán học: Mr handsome ugly

Lịch sử toán chắc viết thu hẹp, liên quan trực tiếp đến chủ đề đang thảo luận và học tập thôi. Chứ sách vở ngành này viết đến bây giờ đều không đạt chuẩn ok. Thậm chí các tác phẩm được cho xuất bản bởi nhà xuất bản danh giá Springer cũng không chất lượng lắm. Nhìn chung ngành này ít người đầu tư nghiên cứu nghiêm chỉnh. Chắc tại không mấy ai quan tâm nhiều lắm.

Chứ chả nhẽ cho các em làm hình học đại số trong đề thi? Đùa thôi, em pick bất kì một trong các lý do sau thì có thể xem như câu trả lời của anh.

1) Nó vô dụng vì không có ứng dụng gì?
2) Vì thi Olympic cũng vô dụng không kém?
3) Vì các thầy biết nó vô dụng nhưng bỏ thi thì không được?
4) Có vài thầy giả vờ rằng nó không vô dụng?

Em đang hỏi bọn anh theo cách này vì tiền đề là em giả sử cái gì thầy các em làm cũng là đúng, vậy các thầy không dạy các em học toán thì phải biết đặt câu hỏi hay hoài nghi à? Còn em muốn biết sao nó vô dụng theo kiểu cách chứng minh đàng hoàng thì hỏi anh nmlinh16, chắc một post cũng đủ tóm tắt cho em hiểu tại sao rồi.

Mình thấy rất lạ là hình học cổ điển được dạy rất kỳ quặc. Các bài vẽ hình rất phức tạp, hơn nhiều so với thời mình học THPT. Trong khi ứng dụng vào quang học ở Vật Lý không dạy (optics). Đó là cả một chuyên đề của Newton.

Nên giới thiệu các chủ đề sử học trong hình học, rất phong phú và đa dạng, vì toán học Châu Âu chịu ảnh hưởng nặng của hình học Hy Lạp cổ đại. Nên tham khảo các sách cổ như của L'Hopital để làm sáng tỏ liên hệ giữa hình học, đại số và giải tích cố điển.

Nên dạy cách chứng minh định lý Pythagoras, dạy cẩn thận lượng giác, bỏ qua các phương trình lượng giác phức tạp vô ích, dạy căn bản.

Hình học Euclid chắc chắn không vô dụng, vì với các bạn học sinh nhỏ tuổi, nếu dạy đúng cách sẽ khiến các bạn tiếp xúc với suy luận logic sớm nhất. Một nhánh toán học làm nảy sinh ra giải tích và đại số thì không thể vô dụng được.

Bản thân mình đang học lại toán, cảm thấy rất vất vả vì quên hết hình học. Làm như vậy không cảm thụ được nét đẹp toàn diện của toán.

Mình nghĩ Toán phổ thông nên dạy nền tảng, cộng thêm ứng dụng trong Vật Lý, Tin học, Hóa học v.v.

1) cộng trừ nhân chia
2) giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 (giới thiệu định lý Abel-Ruffini)
3) phân tích đa thức thành nhân tử
4) hình học euclid và phi euclid
5) đạo hàm tích phân ( nhấn mạnh ý nghĩa và công dụng của chúng).
6) bất đẳng thức (dùng cho epsilon delta trong giải tích, nên học AM-GM, Cauchy-Schwart, bđt tam giác, một vài bài hay để có kỷ niệm đẹp
7) tập hợp cơ bản
8) dãy và chuỗi số ( hình học, số học, hình-số học)
9) Xác suất

Nên dạy đều cách chứng minh, cách thiết lập mô hình (mathematical modelling), tính toán (computation).

Nên dạy theo kiểu Liên Xô ngày xưa, đan xen các ứng dụng toán học từ các ngành khác, nên tránh dạy kiểu Bourbaki, trừ khi cho học sinh chuyên toán. Quan trọng là tư duy logic, quantitative reasoning.

Mấy bài viết gần đây của mình biến mất hết, hình như bị xóa hay sao ấy.