Câu PTH.
Thay x=0 thì $f(0)=-1$
Thay x=y thì $f(2x)-2f(x)=x^2+1$ (1)
Từ 1 thay x=-x thì $f(-2x)-f(-x)=x^2+1$(2)
Từ (1) và (2) $f(x)-f(-x)=f(2x)-f(-2x)$
Đặt $g(x)=f(x)-f(-x)$ thì
$g(1)=g(2)=....$
Vậy g(x)=c=const hay $f(x)=c+f(-x)$
Từ phương trình thay y=-x thì $f(x)+f(-x)=x^2-2$(3)
Thay vào ta có $f(-x)=\frac{x^2-2-c}{2}$
Với x=0 thì c=0 vậy $f(x)=f(-x)$
Thay lên (3) ta có $f(x)=\frac{x^2}{2}-1$
Thử lại thỏa mãn

Sai ở câu b: Đường thẳng CD đi qua trung điểm của PQ?

Hình như cũng ko đúng. Câu a và b khả năng cao là sai đề. Câu c thì đúng

Bài hình đề bài sai sai. Bạn nào thi sửa lại hộ mình với

Cách của e cho b hình. Hơi dài.
Dễ thấy $RHEF$ điều hòa và $RH \parallel EF$ nên $RS$ chia đôi $EF$. Ta cmr $BP,CQ$ chia đôi $EF$.
Gọi $K$ là giao điểm $BP,CQ$. $G$ là giao điểm $AD,EF$.
Theo định lý Pascal cho 6 điểm $A,D,B,C,P,Q$ có $\overline{K,E,F}$.
Mặt khác dễ thấy $BFEC$ nội tiếp nên $BFGD,CEGD$ nội tiếp.
Có $\angle{BGC}=\angle{BGD}+\angle{CGD}=\angle{BFD}+\angle{CED}=\angle{BKC}$ nên $B,K,G,C$ đồng viên.
Gọi $X$ là giao $BC,EF$.
Có $XB.XC=XE.XF=XG.XK$ mà $(EF,XG)=-1$ nên $K$ là trung điểm $EF$. Ta có đpcm.

cho a, b, c >0 chứng minh
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq 1+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Do tính thuần nhất ta có thể cho $c=1$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$a^2b+b^2+a+ab\geq \sqrt{2ab(a+b)(a+1)(b+1)}$$
Bình phương lên và biến đổi nó tương đương với $a^4b^2+b^4+a^2 \geq 3a^2b^2$
Đúng theo AM-GM