Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$. Gọi $M=(\frac{5}{2};\frac{1}{2})$ là trung điểm $AB$. $N$ là điểm thuộc $AD$ sao cho $AN=2ND$. $(CN):x+2y-11=0$. Tìm $C$

Chứng minh:

$(1-sinA)(1-sinB)(1-sinC)\leq (1-\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}$

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh rằng:

$\frac{b^{2}c}{a^{3}(b+c)}+\frac{c^{2}a}{b^{3}(c+a)}+\frac{a^{2}b}{c^{3}(a+b)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}=x & \\ \frac{1}{b}=y & \\ \frac{1}{c}=z & \end{matrix}\right.$

BĐT trở thành $\sum \frac{x^{3}}{y(x+z)}\geq \frac{1}{2}(x+y+z)$

Ta có

$\frac{x^{3}}{y(x+z)}+\frac{y}{2}+\frac{x+z}{4}\geq \frac{3}{2}x$

Tương tự cộng vế suy ra đpcm

Bạn có thể không đặt ẩn phụ mà làm theo ý tưởng trên đó được không? Giải thích giúp mình nhé?

Cho x, y là các số thực dương thỏa $x.y\leq 1$

Chứng mình rằng :   $\frac{1}{1+x^{2}} +\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+x.y}$

Cho $a,b,c>0$, $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min của:

P= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}} +\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

ta có

$\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b+1}{8}+\frac{b+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự rồi cộng vế ta được

$VT+\frac{a+b+2}{4}\geq \frac{3}{4}(a+b)$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{2}$

Cho mình hỏi, tại sao lại dùng các đại lượng như $\frac{b+1}{8}$ để cân bằng ạ??

Giả sử $a,b$ là các số thực dương thỏa điều kiện $a+b\geq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{a^{3}}{(b+1)^{2}}+\frac{b^{3}}{(a+1)^{2}}$

Cho $x,y,z>0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(y+z)}+\frac{1}{z(z+x)}\geq \frac{27}{2(x+y+z)^{2}}$

Có min thôi ,k có max ak pạn

ukm, đúng rồi

Cho $a,b,c >0$, thỏa $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của :

P = $\frac{a^{2}b}{(2a+b)^{2}}+\frac{b^{2}c}{(2b+c)^{2}}+\frac{c^{2}a}{(2c+a)^{2}}$

Và tại sao không hạ bậc ba mà lại hạ từ bậc hai vậy nhỉ?

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn$x+y=2$. Tìm giá trị lớn nhất của 

P = $x^{3}+y^{3}+\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$