Lời giải bài 1 của em khá dài
Lời giải bài 1 : Gọi $I$ là đối xứng của $A$ qua $O$. $S$ là giao của $HM$ với $EF$. $T$ là giao của $HM$ với $(O)$ . Theo một tính chất quen thuộc thì $SD$ đi qua giao 2 tiếp tuyến tại $B$ và $C$ ( kí hiệu là $V$ ) và $H,K,G$ thẳng hàng . Gọi $W$ là chân đường đối trung nằm trên $(O)$ . Khi đó $K,W$ đối xứng nhau qua $BC$ . Gọi $N$ là chân đường cao tại $A$ nằm trên $(O)$.Gọi $U$ là giao của $HQ$ với $BC$ thì $\angle PHQ = \angle PLQ = \angle PDG$ . Suy ra $U \in (PHD)$ . Lại có $\angle SHD = 180^{\circ} - angle DLG = \angle DPG$ nên $S,H,D,P,U$ đồng viên. Gọi giao của $AO$ với $EF$ là $Y$
Ta cần chứng minh $R,H,J,K$ đồng viên, điều này tương đương với $\angle KJR = \angle GHU = \angle YPK$
Ta có $T(HA,XD) = -1$ mà $TH \perp TA$ nên $TH$ là phân giác trong $\angle DTK$. Từ đây có $\angle ITK = \angle DTH = \angle DGH$.
Ta có $\angle SDT = \angle SDG - \angle GDT = \angle SYM - \angle TAK = \angle SYM - \angle THG = \angle SYM - \angle SYK = \angle MYK = \angle TIK$
Kết hợp 2 điều tển ta có $\triangle TSD \sim \triangle TKI \implies \angle TSD = \angle TKI = \angle HUG \implies \triangle HUG \sim \triangle IKT \implies \angle GHU = \angle KIT$
Gọi $A'$ là giao của $AM$ với $EF$. Ta có $\angle KDP = \angle KDH + \angle HDP = \angle KMH + \angle MHA' = \angle MA'Y$ nên $PDKA'$ nội tiếp
Ta có biến đổi góc $\angle SDK = 180 -\angle SDG - \angle KDC = 180 - \angle SA'M - \angle GAA' = 180 - \angle AGA' - 2\angle GAA' $ và $\angle TDA' = 180 -\angle TDG - \angle A'DM = 180 - \angle GAM - \angle GAA'$. Suy ra $\angle TDA' = \angle SDK$, tức là $\angle TDS = \angle A'DK = \angle KPE = \angle GHU$. Ta có điều cần chứng minh