Chắc bạn chưa để ý chỉ số chạy phải không?

mk k hiểu , b giải thích cho mk đi

Chỉ số chạy là $k$, đâu có gì để giải thích phải không?

thế thì phải bằng 1/n^3 chứ

Mấy bài toán này bạn tự nghiên cứu hay là bài toán từ môn học nào mà "gớm" thế

bài về nhà của thầy bạn ạ !

Ta có 

\[ u_n- v_n \le \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}\le u_n\, \forall n\in \mathbb{N}.\]

 

Nhận xét: $\lim u_n= \frac{\pi}{4}$, và $\lim v_n= 0$ vì

\[0\le v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3 \le \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2}\right)^3=\frac{1}{n^2}, \, \forall n\in \mathbb{N}.\]

Dùng định lý kẹp, suy ra

\[ \lim \sum_{k=1}^n \sin\frac{n}{n^2+k^2}= \frac{\pi}{4}.\]

tại sao $\sum_{k=1}^{n}(\frac{n}{n^{2}})^{3}$=$\frac{1}{n^{2}}$ vậy bạn ?

Tổng gồm n số hạng, mỗi số hạng đều bằng $\frac{1}{n^3}$. Do đó tổng bằng $\frac{1}{n^2}.$

à ừ , mình hiểu rồi , thank b nhé !

Thanks!

 

Ban đầu mình bấn loạn! Chỉ thấy quen với $ \lim\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$. Thêm thằng $\lim$ vào, hết sức lạ lẫm!

ừ , bạn nhìn còn biết chứ mk thì chả hiểu gì 

Bài 2 (Câu b)

"Nếu" bỏ cái $\sin$ thì ta dễ dàng dùng tích phần để chỉ ra

$\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx= \frac{\pi}{4},$

trong đó $u_n= \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}.$

 

Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n\left( \frac{n}{n^2+k^2}\right)^3.$

Dễ thấy $\lim v_n=0.$

 

Áp dùng BĐT $x-\frac{x^3}{6} \sin x \le x \forall x\in (0, \pi/2).$

Suy ra giới hạn cần tìm là $ \frac{\pi}{4}.$

mk k hiểu từ chỗ đặt v_n , bạn giải thích rõ hơn đc k ?

mọi người giúp mk với ạ ! thank all

Bài 1: 

Đặt $u_n= \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ với $n \in \mathbb{N}.$

 

Khi đó  $u_n=  \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{n}\right)}.$

Và $\ln u_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n \ln{\left(1+\frac{k}{n}\right)}\right).$

Dùng tổng Riemann, ta suy ra $\lim \ln u_n = \int_0^1 \ln{(1+x)}dx=2\ln2-1.$

 

Vì thế $\lim u_n =\frac{4}{e}.$

ok câu a mk hiểu rồi , thank b nhé !

Nguyên tắc chung: dùng tính liên tục của hàm số. Tìm $a$ và $b$ sao cho $f(a)f(b)\le 0.$

 

Câu b: Cần cẩn thận giữa $<$ và $\le$.

Câu a: 

 

Trường hợp $m=0$: Dễ thấy.

Trường hợp $m\neq 0$. Phương trình tương đương $\frac{3}{m}\sin x +\frac{4}{m} \cos x +x -\frac{2}{m}=0.$

Phương trình này có nghiệm vì $f(x)=\frac{3}{m}\sin x +\frac{4}{m} \cos x +x -\frac{2}{m}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$,  $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$.a

bạn ơi tại sao ở đây lại kết luận đc luôn là pt có ít nhất 2 nghiệm thế ?

Nguyên tắc chung: dùng tính liên tục của hàm số. Tìm $a$ và $b$ sao cho $f(a)f(b)\le 0.$

 

Câu b: Cần cẩn thận giữa $<$ và $\le$.

Câu a: 

 

Trường hợp $m=0$: Dễ thấy.

Trường hợp $m\neq 0$. Phương trình tương đương $\frac{3}{m}\sin x +\frac{4}{m} \cos x +x -\frac{2}{m}=0.$

Phương trình này có nghiệm vì $f(x)=\frac{3}{m}\sin x +\frac{4}{m} \cos x +x -\frac{2}{m}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$,  $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$.

mà sao bài kia bạn lại tính lim mà k phải là chọn điểm ?

Bạn viết định nghĩa $\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ giúp mình!

giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a, +$\infty$ ) . ta nói rằng hàm số f có giới hạn -$\infty$ khi x dần đến -$\infty$ nếu với mọi dãy số( $x_{n}$ ) trong khoảng  (a, +$\infty$ ) mà lim$x_{n}$ =-$\infty$ ta đều có $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x_{n})=-\infty$

Không đúng! Bạn thử tra lại sách nhen! Sau khi viết ra định nghĩa, bạn sẽ thầy có một giá trị $a\in \mathbb{R}$ sao cho $f(a)<0.$

thôi bạn nói luôn đi 

b,

Đặt $f(x)=ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)$

Do $f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên R.

Xét  $f(a)=bc(a-b)(a-c)$ 

       $f(b)=ac(b-a)(b-c)$

       $f(c)=ab(c-a)(c-b)$

suy ra $f(a).f(b).f(c)<0$. Mặt khác, $f(a)+f(b)>0$, $f(b)+f(c)>0$, $f(c)+f(a)>0$.

Do đó tồn tại 2 trong 3 số $f(a), f(b), f(c)$ trái giấu, giả sử là $f(a), f(b)$. Khi đó $f(a).f(b)<0$ suy ra pt $f(x)=0$ có No ..

giúp nốt câu a đi bạn ! mà bạn ơi bạn có thể ns cách làm  những dạng bài như thế này giúp mình được không ?

Từ giới hạn đó sẽ suy ra sự tồn tại các điểm mà mình mong muốn!

là sao ? mk chưa hiểu lắm

giúp với , bài tập phần giới hạn mà mk chả hiểu gì

CMR các pt sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số 

a) 3sinx +4 cosx +mx -2 =0

b) ab(x-a )(x-b) +bc (x-b)(x-c) +ca (x-c)(x-a )=0

Không sai ở đâu cả, cứ truy hồi như vậy thì sẽ ra $1+a_1+...+a_{n}$ chính là kết quả bài toán.

nhưng mình có ra 1+a₁+...+a_n đâu ?!

Không nên áp dụng rập khuôn như thế. Ở bài này công thức là $D_{k}=D_{k-1}+a_{n-k}$ với $k=\overline{2,n}$. Công thức kia chỉ là một kiểu truy hồi thôi. 

ok ! mà còn công thức nào khác nữa không vậy ?

Vì bạn viết sai thôi. Ta có $D_{n}=D_{n-1}+a_{1}=D_{n-2}+a_{2}+a_{1}=...=D_{1}+a_{n-1}+...+a_{1}=1+a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}$

mk thấy có công thức là D_n=p.D_n-1 + q.D_n-2 , nếu q=0 thì D_n= p^n-1.D₁ mà kia là  1.D_n-1 nên mình tưởng ra như vậy 

$\begin{vmatrix} 1+a_{1} &a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1}& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} &... & a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1 & a_{2}& ... & a_{n}\\ 0& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ 0&a_{2} & ... &1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1} & 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ . & . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} & ...& 1+a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1+a_{2} & a_{3}& ... & a_{n}\\ a_{2}& 1+a_{3} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ a_{2}& a_{3} & ... & 1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0& 1 & ... &0 \\ .& . & ...& .\\ 0& 0&... & 1 \end{vmatrix}$=D_n-1+a₁=1+2a₁

_{làm thế này thì sai ở đâu ạ ?}

Đặt $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{2n+(2k-1)}$.

Ta có 

$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}$.

Phân hoạch đoạn $[0,1]$ thành $n$ đoạn với các điểm đầu mút là $x_k= \frac{k-1}{2},\forall k=1, 2, ..., (n+1).$

Xấp xỉ tích phân Riemann bởi các điểm giữa, ta thấy ngay (nhờ sự khả tích của hàm $f(x)= \frac{1}{1+x}$)

$\{u_n\}$ hội tụ và $\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx.$

sao x_k lại ra như vậy hả bạn ?

Bạn nên đọc lại lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.

mình chưa học bạn ạ

 giúp mk bài này với các bạn ơi ?

Đặt $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{2n+(2k-1)}$.

Ta có 

$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}$.

Phân hoạch đoạn $[0,1]$ thành $n$ đoạn với các điểm đầu mút là $x_k= \frac{k-1}{2},\forall k=1, 2, ..., (n+1).$

Xấp xỉ tích phân Riemann bởi các điểm giữa, ta thấy ngay (nhờ sự khả tích của hàm $f(x)= \frac{1}{1+x}$)

$\{u_n\}$ hội tụ và $\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx.$

x_k= $\frac{2k-1}{2n}$ chứ nhỉ ?