Nguồn: Phạm Minh Kiến Phú nhóm Học toán 9 cùng thầy Hồng Trí Quang

Nguồn vov

Câu 1 $\frac{xy}{x+y}=z=>\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{(x+y)^2}}=\sqrt{\frac{x^4+y^4+3x^2y^2+2x^3y+2xy^3}{(x+y)^2}}=\sqrt{\frac{(x^2+y^2+xy)^2}{(x+y)^2}}=\frac{x^2+y^2+xy}{x+y}$ là số hữu tỉ.

Câu 2 b) 1) Vì $m,n \in S$,ta giả sử $m=a^2+3b^2$, $n=c^2+3d^2$ với $a,b,c,d$ là các số nguyên.

$=>m.n=(a^2+3b^2).(c^2+3d^2)=a^2c^2+3b^2c^2+3d^2a^2+9b^2d^2=(a^2c^2-6acbd+9b^2d^2)+3(b^2c^2+2abcd+d^2a^2)=(ac-3bd)^2+3(bc+ad)^2$

$=>m.n \in S$

2) Vì $n$ chia hết cho 2 $=>a,b$ có cùng tính chẵn lẻ

+) Nếu $a,b$ cùng chẵn $=>a^2,b^2$ chia hết cho $4$ nên $n$ chia hết cho $4$

+) Nếu $a,b$ cùng lẻ $=>a^2 \equiv b^2 \equiv 1 (mod4)$ nên $n \equiv 1+3 \equiv 0 (mod4)$ nên $n$ chia hết cho $4$

Vậy ở mọi trường hợp, ta luôn có nếu $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                         KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 

               HÀ TĨNH                                                                                                                                                  NĂM HỌC 2018-2019

        ----------------------------                                                                                                                                  MÔN THI: TOÁN (Chuyên)

       $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                                           Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                                                    -----------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (1,5 điểm) Cho $x,y,z$ là các số hũu tỷ, thõa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$

Chứng minh $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ là số hữu tỷ.

Câu 2. (2,5 điểm) 

a) Giải phương trình $4x^2-3x+2=\sqrt{x+2}$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy-x-y=-5  & & \\ \frac{1}{x^2-2x}+\frac{1}{y^2-2y}=\frac{2}{3} & & \end{matrix}\right.$

Câu 3. (2,5 điểm)

a) Cho phương trình $x^2+2mx-1-2m=0$ ($m$ là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai ngiệm $x_1,x_2$ với mọi $m$. Tìm $m$ để biểu thức $P=\frac{x_1x_2+1}{x_1^2=2mx_2+1-2m}$ đạt giá trị nhỏ nhất

b) Cho  $3$ số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.

Chứng minh $\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}} \leq \frac{3}{2}$.

Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$ cố định ($O \not \in AB$). $C$ là điểm di động trên đoạn $AB$ ($C$ không trùng với $A,B$ vầ trung điểm $AB$). Đường tròn tâm $P$ đi qua điểm $C$ và tiếp xác với đường tròn $(O)$ tại $A$, đường tròn tâm $Q$ đi qua điểm $C$ và tiếp xác với đường tròn $(O)$ tại $B$. Các đường tròn $(P), (Q)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $M$. Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A,B$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh $MC$ là tia phân giác của góc $AMB$ và các điểm $A,M,O,B,I$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh khi điểm $C$ thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MPQ$ thuộc môt đường thẳng cố định.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho $a_1 < a_2 < a_3 <...<a_n<...$ với ($n \in \mathbb{N^*}$) là những số nguyên dương và không có hai số nào liên tiếp. Đặt $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một số chính phương $b$ thỏa mãn $S_n \leq b \leq S_{n+1}$

Nguồn facebook Nguyễn Đoan‎ nhóm Trường Người Ta

Nguồn: facebook Trần Minh's Madridista nhóm học toán 9 cùng thầy Hồng Trí Quang

Lời giải và bình luận đề điều kiện lớp 10 năm học 2018-2019 do các tác giả Trần Nam Dũng - Võ Quốc Bá Cẩn - Nguyễn Lê Phước - Nguyễn Mạnh Linh thực hiện. Mời mọi người cùng tham khảo.

https://drive.google...jJPPSj7_0O/view

Nguồn: facebook Hữu Đạt

Nguồn: facebook Bùi Xuân Tiên

$\frac{(x+y)^2}{x+y-4} \geq 16$

Câu 3b) Với $x,y$ là các số thực lớn hơn $2$, ta có:

$\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2} \geq \frac{(x+y)^2}{x+y-4}$

Ta cần chứng minh $\frac{(x+y)^2}{x+y-4} \geq 16$

$<=>(x+y)^2 \geq 16(x+y)-64$

$<=>(x+y-8)^2 \geq 0$ luôn đúng

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=4$

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM NĂM HỌC 2018-2019

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút

(Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên toán)

Câu 1 (2 điểm)
a) Cho các số thực $x,y$ khác $0$ và thỏa mãn $x^2y+xy^2=x^2-xy+y^2$. Chứng minh rằng
$\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2$. Từ đó suy ra $\frac{1}{x^3} +\frac{1}{y^3} \leq 16$
b) Giải phương trình $3(x^2-3x+1)+\sqrt{3(x^4+x^2+1)}=0$
Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $x^2y^2=x^2+2xy+8y^2$
b) Cho $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng $x^2+3y^2$ với $x,y$ là các số nguyên, tức là $S=$ { $n \in \mathbb{N} \mid n=x^2+3y^2$ trong đó $x,y$ là các số nguyên}. Chứng minh các tính chất sau của dãy $S$.
1) Nếu $m \in S$, $n \in S$ thì $m.n \in S$
2) Nếu $n \in S$ và $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$.
Câu 3 (2 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhọ nhất của biểu thức $P=\sqrt{x-1}+\sqrt{6-3x}$ khi $1 \leq x \leq 2$.
b) Chứng minh rằng với $x,y$ là các số thực lớn hơn $2$ thì $\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2} \geq 16$
Câu 4 (2 điểm).Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và ba đường cao $AD, BE, CF$. Gọi $M,N,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $AEF, BDF$ và $CDE$. Phân giác trong góc $HCA$ và $HBA$ cắt nhau tại $P$.
a) Chứng minh rằng $BC= AH.tan\widehat{BAC}$
b) Chứng minh $P$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.
c) Chứng minh tam giác $MNK$ và tam giác $DEF$ bằng nhau.
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Kẻ các cát tuyến $SAB$ và $SCD$ đến $(O)$ ($A$ nằm giữa $S$ và $B$,$C$ nằm giữa $S$ và $D$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $OS$ tại $S$ và cắt các đường thẳng $BC$ và $AD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng $OE=OF$.
Câu 6 (1 điểm) Có $6$ đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận. Trong mỗi trận đấu, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm, Kết thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả lời.

Nguồn: Tạp chí Olypmic - trở lại

 Câu 2:

$\sqrt{x+3}+x^2+4x=7$ ĐKXĐ $x \geq -3$

$<=>\sqrt{x+3}-2+x^2+4x-5=0$

$<=>\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2} +(x-1)(x+5)=0$

$<=>(x-1)(\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+x+5)=0$

Mà $x \geq -3=>\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}+x+5 \geq 0$

$=>x=1$

Câu 3 là câu 4a) đề thi học sinh giỏi tỉnh bến tre năm nay và đã có lời giải tại đây. 

http://thcs-hoangxua...2017-2018-1993/

Nguồn: MInh Hoang (nhóm học toán 9 cùng thầy Hồng Trí Quang)

Nguồn: Việt Anh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                         KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 

               HÀ TĨNH                                                                                                                                                  NĂM HỌC 2018-2019

        ----------------------------                                                                                                                                  MÔN THI: TOÁN 

  $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                                 Thời gian làm bài: 90 phút

                                                                                                                                                                            

                $\boxed{\text{MÃ ĐỀ 01}}$                                                                                                     ----------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

 a) $P=\sqrt{45}-\sqrt{5}$

 b) $Q=(1+\frac{2}{\sqrt{x}-2}):\frac{x}{\sqrt{x}-2}$ với $x>0$ và $x \neq 4$

Câu 2. (2,5 điểm)

 a) Xác định hệ số $a$ của hàm số $y=ax^2$ ($a \neq 0$) biết đồ thị của nó đi qua điểm $M(\frac{-1}{3} ;1)$ 

 b) Cho phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-m=0$ ($m$ là tham số). Tìm giá  trị của $m$ để phương trình đã cho có 2 nghiêm phân biêt $x_1,x_2$ thỏa mãn $(1+x_1)^2+(1+x_2)^2=6$

Câu 3. (1,5 điểm) Hai người công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong $16$ giờ. Nếu người thứ nhất làm $3$ giờ và người thứ 2 làm $2$ giờ thì họ làm được $\frac{1}{6}$ công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $AB<AC$, nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Vẽ đường kính $AD$ của đường tròn $(O;R)$, đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ ($H \in BC)$ và $BE$ vuông góc với $AD$ ($E \in AD$).

 a) Chứng minh tứ giác $AEHB$ nội tiếp đường tròn.

 b) Chứng minh $AH.DC=AC.BH$.

 c) Gọi $I$ là trung điểm $BC$, chứng minh $IH=IE$.

Câu 5 (1,0 điểm) Cho $a,b$ là các số thức thỏa mãn đẳng thức $(a+2)(b+2)=\frac{25}{4}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$

Nguồn: Nguyễn Hải Nam 

Nguồn: https://olympictoanhoc.blogspot.com/2018/06/de-thi-vao-10-mon-toan-thpt-chuyen-hung-yen-2018-2019.html