Bài 95. Cho đường tròn $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua tâm , điểm $A$ di động trên cung lớn $BC$, $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AB,AC$ tại $D,E$. Chứng minh rằng $ED$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $A$ di động.

diendan(134).PNG

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Kẻ $MH$, $BP$, $CQ$ vuông góc với $DE$

Khi $A$ di động thì $\widehat{BAC}$ không đổi hay $\widehat{PBD}=\widehat{QCE}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\alpha$ không đổi 

Suy ra $BP+CQ=(BD+CE).cos\alpha=BC.cos\alpha$ không đổi 

Từ đó ta có: $MH=\frac{BP+CQ}{2}$ không đổi 

Suy ra $DE$ tiếp xúc với đường tròn $(M;MH)$ cố định

p/s: chào mừng bạn Minhcamgia trở lại với Topic 

Cho tớ đóng góp 1 bài nhá:

Bài 89: Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Đường vuông góc với AD tại D cắt AB, AM lần lượt tại X, Y. Đường vuông góc với AB tại X cắt AD tại Z. Chứng minh YZ vuông góc với BC.

Cách khác:

Ta có: $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $I$

Kẻ $IK$ vuông góc với $AB$ suy ra tứ giác $IMBK$ nội tiếp nên $\widehat{IKM}=\widehat{IBM}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\widehat{KAI}\Rightarrow KM \perp AI\Rightarrow KM||XY\Rightarrow YZ||MI\Rightarrow$ đpcm

Bài 88:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $J$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Đường tròn $(O')$ tiếp xúc với $JA,JB$ tại $E,F$ và tiếp xúc trong với $(O)$. CMR: đường thẳng $EF$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$.

Bài này có rồi, bạn sửa thành bài khác đi 

Bài 82: Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp (O), BD là phân giác góc ABC. BD cắt (O) tại E. ĐƯờng tròn (O₁) đường kính DE cắt (O) tại F 

1. CM: đường thẳng đối xứng với BF qua BD đi qua trung điểm AC

2. Giả sử tam giác ABC vuông tại B, $\widehat{BAC}$ = 60 và bán kính của (O) bằng R. Tính bán kính (O₁) theo R

1, 

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, kẻ đường kính $EI$ của $(O)$ suy ra $I,D,F$ thẳng hàng

Ta có: $\widehat{IMD}=\widehat{IAD}=90^{\circ}\Rightarrow AIMD$ nội tiếp 

Từ đó ta có: 

$\widehat{FAE}=\widehat{FIE}=\widehat{DAM}\Rightarrow$ đpcm

2, 

Ta có: $\frac{DC}{AD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{AC}{AD}=\sqrt{3}+1\Rightarrow AD=(\sqrt{3}-1)R\Rightarrow OD=R-AD=(2-\sqrt{3})R$

Áp dụng Pythagoras ta có: $DE^2=DO^2+OE^2=(8-4\sqrt{3})R^2\Rightarrow R_{O1}=\frac{\sqrt{8-4\sqrt{3}}R}{2}$

 

Bài 98: Cho tam giác ABC đều và P nằm trong tam giác. Hạ $PA_{1},PB_{1},PC_{1}$ vuông góc BC,CA,AB.Tìm tập hợp các điểm P sao cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ cân

 

Giả sử tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ cân tại $A_{1}$ thì ta có $A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}$

Xét 2 đường tròn đường kính $BP$ và $CP$ như hình vẽ:

Ta thấy 2 dây $A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}$ và $\widehat{C_{1}BA_{1}}=\widehat{B_{1}CA_{1}}=60^{\circ}$ 

Suy ra 2 đường tròn bằng nhau hay $BP=CP$ suy ra $P$ thuộc trung trực $BC$

Chứng minh tương tự ta có quỹ tích điểm $P$ để $A_{1}B_{1}C_{1}$ cân là 3 đường trung trực của tam giác $ABC$

p/s: Mình sắp đi thi nên chắc mấy ngày này mình sẽ vắng mặt, mong mọi người vẫn sôi nổi như bình thường ....

Bài 97: (Đề PTNK năm 2004-2005): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (C) và M thay đổi trên cung nhỏ BC, N đối xứng M qua qua trung điểm I của AB.

a) CM trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường tròn cố định

b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ KE vuông góc BC. H là trực tâm tam giác ABC. CM DE đi qua trung điểm J của HK.

 

a, Vì $K$ là trực tâm tam giác $ANB$ nên ta có: $\widehat{AKB}=\widehat{ANB}=\widehat{AMB}\Rightarrow$ tứ giác $AKBM$ nội tiếp 

hay $K$ thuộc đường tròn $(O)$ cố định

b, Giả sử $AH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $P$ và cắt $DE$ tại $Q$. Kẻ $KL$ vuông góc với $AC$ thì $Q,L,E$ thẳng hàng (đường thẳng Simson)

Ta có tứ giác $KDBE$ nội tiếp nên $\widehat{DEK}=\widehat{DBK}=\widehat{APK}\Leftrightarrow \widehat{QEK}=\widehat{QPK}$ nên tứ giác $QKEP$ nội tiếp mà $QP$ || $KE$ nên $QKEP$ là hình thang cân. 

Mặt khác $EP=EH$ nên tứ giác $QKEH$ là hình bình hành nên $ED$ đi qua trung điểm $HK$

Sau một mùa hè tôi và bạn Tạ Công Hoàng (taconghoang) đã tổng hợp thành 1 file tài liệu:

https://khoalinhmath...thi-lop-10.html

Bài 24. Cho tam giác $ABC$, $M,N,P$ là các điểm bất kì trên các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng trong các tam giác $ANP, BMP, CMN$ tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4}$ diện tích tam giác $ABC$.

một kết quả khác khi $M,N,P$ là chân các đường phân giác.

Hôm nay là tròn 1 tháng từ khi TOPIC hình học được thành lập. Chúng ta có vẻ là đã trải qua hầu hết các kì thi THPT trên các tỉnh toàn cả nước. TOPIC cũng đã gặt hái nhiều thành công nhất định, chúng ta đã trải qua rất nhiều bài toán hay khác nhau cùng với nhiều lời giải đẹp. Mình xin chân thành cảm ơn sự đóng góp của các thành viên đã giúp cho TOPIC phát triển. Tuy vậy vẫn còn tồn tại khá nhiều bài toán hình hay chưa có lời giải, mình mong các bạn xem lại các bài toán mà các bạn đưa lên, nếu có lời giải thì cần post lên để giúp TOPIC hoàn thiện hơn. Cuối cùng, mình xin tuyên bố kết thúc TOPIC và sẽ không đăng bài lên nữa. Chúc các bạn có một mùa hè vui vẻ, bổ ích, các cuộc thi đã qua rồi hãy gác lại phía sau nhé. Thân mến!

- Khoa Linh -

 

Bài 99: (Đề PTNK năm 2005-2006) Cho tam giác ABC có góc ACB=45, $\angle{ACB}+\angle{BAC}=2\angle{ABC}$ Đường trung trực của AB cắt BC tại M.

a)  Tính $\angle{MAC}$

b) I là tâm đường tròn (AMC). CM tg ABCI nt

 

a,Từ giả thiết $\angle{ACB}+\angle{BAC}=2\angle{ABC};\widehat{ACB}=45^{\circ}$

thì ta dễ dàng tính được: $\widehat{BAC}=75^{\circ};\widehat{ABC}=60^{\circ}$

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{MAC}=15^{\circ}$

b, Ta có: $\widehat{AIC}=2\widehat{ADC}=2(180^{\circ}-\widehat{AMC})=120^{\circ}\Rightarrow \widehat{AIC}+\widehat{ABC}=180^{\circ}$

Suy ra tứ giác $ABCI$ nội tiếp 

Bài 83: Cho $(I,R)$ và $(J,r)$ là hai đường tròn bàng tiếp trong góc $\angle BAC$ và $\angle ABC$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $AB$ tại $N$,$BC$ tại $P$,$AC$ tại $H$.Đường tròn $(J)$ tiếp xúc $BA$ tại $K$,$BC$ tại $Q$,$NM$ là đường kính của $(I)$.CMR $BC,AH,KM$ đồng quy.

 

 $(J)$ tiếp xúc với $BC$ tại $L$.

Ta có: 

$KL\perp AJ\Leftrightarrow KL||AI\Leftrightarrow KL\perp NH\Leftrightarrow KL\parallel HM$

Mặt khác: $\widehat{HIM}=\widehat{NAH}=\widehat{AJL}\Rightarrow \triangle JKL \sim \triangle IHM\Rightarrow \frac{HM}{KL}=\frac{IH}{JM}=\frac{CH}{CL}$

Suy ra $\triangle CHM \sim \triangle CLK(c.g.c)\Rightarrow K,C,M$ thẳng hàng

Từ đó ta có đpcm

Bài 86: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $ADC$ và $ABC$. Đường kính qua $D$ của $(O)$ giao dây cung $AN$ tại $G$. Đường thẳng qua $G$ song song với $NC$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh rằng $BM\perp AK$.

Ta có: $ADCN$ nội tiếp và $NC$ $||$ $GK$ nên $AGKD$ nội tiếp 

Suy ra $\widehat{NGD}=\widehat{CKA}$ mà $\widehat{ACD}=\widehat{AND}\Rightarrow \widehat{NDG}=\widehat{CAK}$

Ta lại có: $\widehat{NDG}=\widehat{OND}=\widehat{DBM}\Rightarrow \widehat{DBM}=\widehat{CAK}$

Từ đó ta có đpcm 

Mình xin bắt đầu bằng hai bài toán sau:

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $(O)$. Trên đoạn $BC$ lấp điểm $M$, trên đoạn $BA$ lấy $N$, trên đoạn $CA$ lấy $P$ sao cho $BM=BN$ và $CM=CP$. 

a, Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$

b, Chứng minh tứ giác $ANOP$ nội tiếp 

c, Tìm một vị trí của $M, N, P$ sao cho độ dài đoạn $NP$ nhỏ nhất

(Đề thi THPT Sư Phạm Ngoại Ngữ Hà Nội 2000-2001)

Bài 2: Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ và cát tuyến $ADE$. $BC$ cắt $DE$ ở K. Chứng minh hệ thức sau:

$\frac{1}{AD}+\frac{1}{AE}=\frac{2}{AK}$

(trích đề thi THPT tỉnh Phú Thọ 2017-2018)

TOPIC tiếp tục với hai bài toán sau:

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm $EF$ và dựng hình bình hành $AEIH$. Chứng minh: $BM$ vuông góc với $IF$ (Sưu tầm)

Bài 5: Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $I$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $I$ lên phân giác góc trong tại $B$ và $C$. 

Chứng minh rằng trung điểm $G$ của $HK$ thuộc trung trực $BC$ (Sưu tầm)

p/s: Các bạn giải bài nên cần có hình vẽ để dễ theo dõi và TOPIC nhìn trông thú vị hơn     

Xin chào các bạn, mình là KHOA LINH. Như các bạn đã biết vừa qua đã có 3 Topic khác bao gồm số học và đại số nhưng lại thiếu hình học. Được sự cho phép của bạn ĐHV THCS MoMo 123 và sự ủng hộ các bạn khác nên mình quyết định lập ra TOPC hình học ôn thi vào THPT chuyên. Hình học là một mảng khó hơn cả so với các phần khác nhưng không vì vậy mà TOPIC sẽ mất đi sự sôi nổi, mình mong muốn TOPIC sẽ phát triển, có nhiều bài hay. Bởi vậy mình đặt ra một số quy định cơ bản sau:

• Trả lời có ý thức, không có spam làm loãng TOPIC. Bài giải phải cần những ý cơ bản đủ để hiểu không cần kĩ quá, nên vẽ hình kèm theo 
• Muốn đưa bài lên TOPIC cần chú ý đánh số bài cho đúng, đầy đủ. Những bài toán đã có lời giải thì các bạn phải chú ý đánh dấu màu đỏ
• Nên đưa những bài có lời giải, nếu sau tối đa 2 ngày không ai giải được thì tác giả bài toán cần đưa ra lời giải
• Đặt "cái đẹp" lên trên "cái khó", bài toán không quá lằng nhằng, quá khó và không vượt chương trình THCS.
• Mỗi lần đưa bài lên TOPIC không đưa quá nhiều bài một lúc, đưa lên đến đâu giải đến đấy
• Ưu tiên cho các bài toán thi vào các trường THPT trên cả nước, nếu biết nguồn gốc thì nên ghi nguồn gốc bài toán đó.
• Không đăng những bài toán trong các tạp chí phát hành trên cả nước mà còn thời hạn gửi bài.

Mặc dù ra muộn nhưng chúc cho TOPIC thành công và phát triển.

 

Bài 84: Cho tam giác đều $ABC$ và $M$ là điểm bất kỳ trên $BC$.Gọi $H,K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $M$ xuống $AB,AC$.Xác định vị trí $M$ để diện tích tam giác $HMK$ lớn nhất.

Ta có: $\widehat{HMK}=120^{\circ}$ không đổi nên để $S_{HMK}$ lớn nhất thì $MH.MK$ phải lớn nhất

Ta lại có: 

$MH.MK=\frac{\sqrt{3}}{2}BM.\frac{\sqrt{3}}{2}MC=\frac{3}{4}MC.MB\leq \frac{3}{16}.BC^2$

Vậy với $M$ là trung điểm $BC$ thì diện tích tam giác $HMK$ lớn nhất

Bài 13 Cho tam giác $\Delta ABC$ có $(I)$ là đường tròn nội tiếp. Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\widehat A$ của $\Delta ABC$ với các cạnh của tam giác.Chứng minh rằng $S_{IBC} > \frac{1}{4} S_{DEF}$

Ta dễ dàng chứng minh được: $BI\parallel DE; IC\parallel DF\Rightarrow \triangle BIC \sim \triangle DEF\Rightarrow \frac{S_{BIC}}{S_{DEF}}=\left (\dfrac{BC}{EF}  \right )^2$

Mặt khác $2BC=BC+BE+CF>EF\Rightarrow \left (\dfrac{BC}{EF}  \right )^2>\dfrac{1}{4}$.

Suy ra đpcm

Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$

Cách 1(Dirichlet):

Giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow (b^2-b+1)(c^2-c+1)=bc(b-1)(c-1)+b^2+c^2-b-c+1\geq \frac{(b+c)^2}{2}-(b+c)+1=\frac{(3-a)^2}{2}-(3-a)+1=\frac{a^2-4a+5}{2}$

Vậy ta cần đi chứng minh: 

$(a^2-a+1)(a^2-4a+5)\geq 2\Leftrightarrow (a-1)^2)(a^2-3a+3)\geq 0$ luôn đúng

Cách 2(Cauchy - Schwarz):

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow c\leq 1$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$(a^2-a+1)(b^2-b+1)=\left ( (a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+(b-\frac{1}{2})^2 \right )\geq\left [ \frac{1}{2}\left ( a-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}\left (b-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]^2=\frac{(3-c)^2}{4}$

Ta cần đi chứng minh: 

$(c^2-c+1)(3-c)^2\geq 4\Leftrightarrow (c-1)^2(c^2-5c+5)\geq 0$ luôn đúng do giả sử $c\leq 1$

Bài 119: Cho các số dương a, b, c sao cho $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq 2$

(Sưu tầm)

Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Cách 2

Áp dụng Dirichlet ta giả sử $(b^2-1)(c^2-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2c^2\geq b^2+c^2-1$

Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=(a^2+2)(b^2c^2+2b^2+2c^2+4)\geq (a^2+2)(3b^2+3c^2+3)=3(a^2+1+1)(1+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$

Cháy lên nào TOPIC ơi

$\boxed{\text{Bài 135}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{8}{a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc} +a^2+b^2+c^2 \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$

 

Ta có:

$\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{8}{(a+b)^2(c+1)}+\frac{(a+b)^2}{4}\geq \frac{4}{\sqrt{2(c+1)}}\geq \frac{8}{c+3}$

Thiết lập các BĐT còn lại ta có đpcm

Bài 82: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

(Sưu tầm)

$\boxed{\text{Bài 82}}$ $x^5-15x^3+45x-27=0$

 

Ta có:

$x^5-15x^3+45x-27=0\Leftrightarrow (x+3)(x^4-3x^3-6x^2+18x-9)=0$

Nếu $x^4-3x^3-6x^2+18x-9=0$ ta có:

$x^4-3x^3+\frac{9}{4}x^2=\frac{33}{4}x^2-18x+9$

$\Leftrightarrow \left ( x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2} \right )^2=\frac{45}{4}(x-1)^2$

Đến đây xuất hiện bình phương các bạn tự giải tiếp nhé ...

 

50) Giải pt: $\sqrt{1-x^2}=(\frac{2}{3}-\sqrt{x})^2$

Bài này khá hay và khó.

Lời giải: 

Điều kiện $0\leq x\leq 1$.

Ta đặt $\sqrt{x}=a;\frac{2}{3}-\sqrt{x}=b$ trong đó $a\geq 0,b\leq \frac{2}{3}$.

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{2}{3} & \\ \sqrt{1-a^4}=b^2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\dfrac{2}{3} & \\ a^4+b^4=1 & \end{matrix}\right.$

Giải hệ đối xứng này ta tìm được $a,b$ rồi tìm $x$. Nghiệm này khá lẻ là $x=\left (\frac{\sqrt{-12+2\sqrt{194}}+2}{6} \right )^2$

p/s: Bài viết thứ 400   

Bài 57: Giải pt:

$\sqrt[3]{x+6}+x^2=7-\sqrt{x-1}$

Bài này nhìn là biết dùng đánh giá là đơn giản nhất   

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Nếu $x>2\Rightarrow VT>6;VP<6$

Nếu $1\leq x<2\Rightarrow VT<6;VP>6$

Suy ra $x=2$ là nghiệm của phương trình.