Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$
Ghê thật, VMO cơ à
Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$
Ghê thật, VMO cơ à
Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$
Cách 2
Áp dụng Dirichlet ta giả sử $(b^2-1)(c^2-1)\geq 0\Leftrightarrow b^2c^2\geq b^2+c^2-1$
Suy ra $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)=(a^2+2)(b^2c^2+2b^2+2c^2+4)\geq (a^2+2)(3b^2+3c^2+3)=3(a^2+1+1)(1+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)^2$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$
Cách 1(Dirichlet):
Giả sử $(b-1)(c-1)\geq 0\Rightarrow (b^2-b+1)(c^2-c+1)=bc(b-1)(c-1)+b^2+c^2-b-c+1\geq \frac{(b+c)^2}{2}-(b+c)+1=\frac{(3-a)^2}{2}-(3-a)+1=\frac{a^2-4a+5}{2}$
Vậy ta cần đi chứng minh:
$(a^2-a+1)(a^2-4a+5)\geq 2\Leftrightarrow (a-1)^2)(a^2-3a+3)\geq 0$ luôn đúng
Cách 2(Cauchy - Schwarz):
Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow c\leq 1$
Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:
$(a^2-a+1)(b^2-b+1)=\left ( (a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right )\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+(b-\frac{1}{2})^2 \right )\geq\left [ \frac{1}{2}\left ( a-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2}\left (b-\frac{1}{2} \right )+\frac{1}{2} \right ]^2=\frac{(3-c)^2}{4}$
Ta cần đi chứng minh:
$(c^2-c+1)(3-c)^2\geq 4\Leftrightarrow (c-1)^2(c^2-5c+5)\geq 0$ luôn đúng do giả sử $c\leq 1$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Bài 82: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
(Sưu tầm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 23-04-2018 - 18:26
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
bài mạnh hơn bài 77 đây
Bài 80 : Cho a,b,c là các số thực dương
C/m : $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
Mấy bài đối xứng không thuần nhất coi bộ Dirichlet vẫn là an toàn nhất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 24-04-2018 - 12:19
Bài 83: Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^{2}}}$
Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$
Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR:
$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 23-04-2018 - 19:56
Bài 76:
Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn $ abc \ge 0$. Chứng minh bất đẳng thức:$ a^2+b^2+c^2+2abc+4 \ge 2(a+b+c)+ab+bc+ca $ (Lê Khánh Sỹ)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 24-04-2018 - 12:19
Bài 74:
Cho a, b, c là 3 số thực không âm. Chứng minh:
$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ac+c^2} \ge \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $
@Momo123: đề ban đầu chắc bị DOTOANANG gõ nhầm, thử (a,b,c) =(0.11; 0.5; 0.4) vào đề lúc đầu thấy VT<VP mà
$\sum \frac{(a)^{4}}{a^2+b^2+ab}=\sum \frac{(a)^{6}}{a^4+a^3b+a^2b^2}\geq \frac{(\sum a^3)^{3}}{\sum a^4+a^3b+a^2b^2}$
Ta cần chứng minh $\sum (a^4+a^3b+a^2b^2)\leq (\sum a)(\sum a^3)$
<=> $\sum a^2b^2\leq \sum a^3b$
Ta thấy nếu $\sum a^3b\geq \sum a^2b^2$ thì $\sum ab^3\geq \sum a^2b^2$
Mà $\sum (a^3b+ab^3+a^2b^2)\geq 3\sum a^2b^2$
<=> $\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$
Vậy có dpcm
NOTE : SAI RỒI NHÉ CÁC BẠN, MÌNH SẼ CHƯA XÓA LỜI GIẢI VÌ MÌNH ĐANG TÌM CÁCH GIẢI ĐẸP THEO HƯỚNG $SCHWARS$, NẾU KHÔNG TÌM RA MÌNH SẼ XÓA
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 23-04-2018 - 22:54
Little Homie
$\sum \frac{(a)^{4}}{a^2+b^2+ab}=\sum \frac{(a)^{6}}{a^4+a^3b+a^2b^2}\geq \frac{(\sum a^3)^{3}}{\sum a^4+a^3b+a^2b^2}$
Ta cần chứng minh $\sum (a^4+a^3b+a^2b^2)\leq (\sum a)(\sum a^3)$
<=> $\sum a^2b^2\leq \sum a^3b$
Ta thấy nếu $\sum a^3b\geq \sum a^2b^2$ thì $\sum ab^3\geq \sum a^2b^2$
Mà $\sum (a^3b+ab^3+a^2b^2)\geq 3\sum a^2b^2$
<=> $\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$
Vậy có dpcm
Coi lại lời giải đi, cái in đậm này có cả đống phản ví dụ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 23-04-2018 - 21:41
Bài 82: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$
(Sưu tầm)
$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}$
Vậy thì cần cm $\sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$
Theo $AM-GM$ $ab+1\geq 2\sqrt{ab}$ => $\sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{a\sqrt{ab}}{2}$
Như vậy cần cm $\sum a\sqrt{ab}\leq 3=\frac{(a+b+c)^2}{3}$
Ta có bdt $3(\sum x^3y)\leq (x^2+y^2+z^2)^2$ (Vasile)
Như vậy thay $x=\sqrt{a}$ và tương tự thì ta có dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 23-04-2018 - 21:55
Little Homie
Coi lại lời giải đi, cái in đậm này có cả đống phản ví dụ
Sorry nghen, sai rồi để mình xem lại
Little Homie
Mấy bài đối xứng không thuần nhất coi bộ Dirichlet vẫn là an toàn nhất
Không làm giảm tính tổng quát, giả sử $ (a^2-1)(b^2-1) \ge 0 $$ \Rightarrow a^2b^2 \ge a^2+b^2-1 $$ \Rightarrow (a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) \ge (a^2+b^2-1+3a^2+3b^2+9) $Vậy ta cần chứng minh:$ (4a^2+4b^2+8)(c^2+3) \ge 4(a+b+c+1)^2 $$ \Leftrightarrow (a^2+b^2+1+1)(1+1+c^2+1) \ge (a+b+c+1)^2 $ (Luôn đúng theo C-S).Hoàn tất chứng minh.@KhoaLinh: coi lại đề bài 82, hoàn toàn có phản ví dụ đấy
anh xem lại dòng thứ 4 trên xuống còn thiếu đoạn vp cần viết nhân thêm (c^3+3)
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\leq (\frac{3-x-y-z}{3})^{3}=>3\sqrt[3]{xyz}\leq 3-x-y-z\leq 3-3\sqrt[3]{xyz}$
$=>xyz\leq \frac{1}{8}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 23-04-2018 - 23:56
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
Bài 83: Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^{2}}}$
Ta có: P=$\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b^2}{(b+a)(b+c)}}+\sqrt{\frac{4c^2}{(c+a)(c+b)}}$
(Thay ab+bc+ac=1)
=$\sqrt{\frac{a}{2(a+b)}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{b}{2(a+b)}.\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{2c}{c+b}}$
Áp dụng AM-GM:
Suy ra : P$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{2(a+b)}+\frac{2a}{a+c}+\frac{b}{2(a+b)}+\frac{2b}{b+c}+\frac{2c}{a+c}+\frac{2c}{c+b})$
=$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+2+2)=\frac{9}{4}$
Vậy GTLN của P=$\frac{9}{4}$
P/s: Bài này đã làm qua thật may là vẫn còn nhớ
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
Bài 86: cho x,y,z,p,q,r thỏa x+y+z=p+q+r=1 và $pqr \leq \frac{1}{2}$
CMR $px+qy+rz \geq 8xyz$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 24-04-2018 - 21:29
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Bài 87 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$
Chứng minh rằng: $\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}$
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
Bài 87 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$
Chứng minh rằng: $\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}$
Chắc là CM $\leq \frac{3}{2}$
Ta có: $P=\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}$
$\frac{x}{3-yz}\leq \frac{x}{3-\frac{y^{2}+z^{2}}{2}}=\frac{2x}{6-y^{2}-z^{2}}=\frac{2x}{3+x^{2}}\leq \frac{2x}{2+2x}=\frac{x}{1+x}$
$=>P\leq \frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}=3-(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z})$ $\leq 3-\frac{9}{x+y+z+3}\leq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
Bài 88. Cho $abc\,\geqq 1$. Chứng minh rằng: $(a+ \frac{3}{a+ 5})+ (b+ \frac{3}{b+ 5})+ (c+ \frac{3}{c+ 5})\geqq (\frac{3}{2})^{3}$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh