Ta có $\frac{1-x^{2}}{x+yz}=\frac{1-x^{2}}{x(x+y+z)+yz}=\frac{(1-x)(1+x)}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{4(1-x^{2})}{(2x+y+z)^{2}}=\frac{4(1-x)}{1+x}$
Tương tự ta có $VT\geq 4\left ( \frac{2}{1+x}+\frac{2}{1+y}+\frac{2}{1+z}-3 \right )\geq \frac{8.9}{3+x+y+z}-12=6$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

BĐT bạn dùng lúc đầu là gì vậy

Mọi người giúp mình với

câu 1 , ta nhân căn bậc 4 của 4 vào 2 vế

ở VT có a^3 ( a+b+c ) > a^4 =>  căn bậc 4 của 4  * VT > 4 => dfcm

mình hiểu ý bạn nhưng bạn trình bày rõ đoạn căn bậc 4 của 4  * VT > 4   được không

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR:

$\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}>2\sqrt{2}$

Bài 2: Tìm GTNN và GTLN của $A=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Biết x, y là các số thực thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=x^{2}+y^{2}$

Bài 3: Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=1$

CMR: $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2$

Bài 4: Cho hai số x, y thỏa mãn: $x^{4}+y^{4}-3=xy(1-2xy)$

Tìm GTNN và GTLN của $A=xy$

Bài 5: Cho $x>0,y>0,x+y=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}$

Bài 6: Cho a, b dương

CMR: $(a+b)^{2}+\frac{a+b}{2}\geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 7: Cho x, y thỏa mãn: $\sqrt{x+2}-y^{3}=\sqrt{y+2}-x^{3}$

Tìm GTNN của biểu thức: $A=x^{2}+2xy-2y^{2}+2y+2106$

Bài 8: Cho biểu thức $A=(4x^{5}+4x^{4}-5x^{3}+5x-2)^{2}+2015$

Tính A khi $x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$

Bài 9: Giải phương trình

$\frac{4}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$

Bài 10: Giải phương trình

$7x^{2}+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Bài 11: Cho x, y dương. Tìm GTNN của:

$A=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$

câu 3 nhân cả tử cả mẫu với x => Cauchy

chi tiết hộ mình với bạn ơi

Có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2x^{3}}{2\sqrt{x^{2}(1-x^{2})}}\geq \frac{2x^{3}}{x^{2}+1-x^{2}}=2x^{3}$
Tương tự ....
Nhưng không có dấu = đâu

Cảm ơn bạn, bạn giúp mình c5 được không

câu 3 nhân cả tử cả mẫu với x => Cauchy

Bạn không đánh công thức ra cũng được nhưng ít nhất bạn hãy giải thích cho mình là dùng cauchy thế nào được không

bài 8 sao chưa ai làm vậy, mọi người giúp mình bài 8 nữa được ko 

Ai giải chi tiết cho mình với, bài 10 và bài 3 với

Câu 5
Ta có
$P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}+\frac{1}{xy} = \frac{1}{(x+y)^{2}-3xy}+\frac{1}{xy} =\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwart ta có
$P=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}$
Min $P=4+2\sqrt{3}$
Áp dụng hệ thức Viét tình ra x,y

Bạn ơi đó là bất đẳng thức Cauchy sao? Đó là Svacxo chứ nhỉ...

Câu 5
Ta có
$P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}+\frac{1}{xy} = \frac{1}{(x+y)^{2}-3xy}+\frac{1}{xy} =\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwart ta có
$P=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=4+2\sqrt{3}$
Min $P=4+2\sqrt{3}$
Áp dụng hệ thức Viét tình ra x,y

Bạn ơi mình giải ra số thập phân, bạn cho mình kết quả chính xác được không?

có ai đó giúp mình Bài 10 với

a) $\widehat{AMB}= \widehat{ANB}=90^0 \Rightarrow K,M,I,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KI.$

b) $KA.KM=KN.KB$ và bằng phương tích của $K$ tới $(O).$

c) Gọi $O'$ tâm $(KAB)$ thì theo kết quả quen thuộc $KI=2OO'.$

Lại có $\widehat{MAN}= \frac{ \widehat{MON}}{2}= \frac{60^0}{2}=30^0 \Rightarrow \widehat{AO'B}=2 \widehat{AKB}=120^0.$

Do đó $\widehat{AO'O}=60^0 \Rightarrow OO'= \frac{AO}{ \sqrt{3}}= \frac{R}{ \sqrt{3}} \Rightarrow KI= \frac{2R}{ \sqrt{3}}.$

d) Theo câu c) thì $\widehat{AKB}=60^0 \Rightarrow (AKB)$ cố định.

Vậy $K$ di chuyển trên $(AKB)$ cố định, lại có $AB$ cố định nên $S_{KAB}$ lớn nhất khi $K$ là trung điểm cung lớn $AB$ của $(AKB).$

Khi đó hiển nhiên $M,N$ là giao điểm $BO',AO'$ với nửa đường tròn $(O).$

$KI=2OO'.$ ???? Xin lỗi nhưng tại sao ạ? với lại, AO = R/2.

 

@halloffame:

_ $AO$ là bán kính của đường tròn $(O,R)$ thì nó phải bằng $R.$

_Cách chứng minh $KI=2OO':$ lấy $I'$ đối xứng $I$ qua $O.$ Khi đó thì $IBI'A$ là hình bình hành nên $I'A \parallel IB \perp KA.$

Tương tự $I'B \perp KB \Rightarrow K,A,I',B$ nội tiếp đường tròn đường kính $I'K \Rightarrow O'$ trung điểm $KI'.$

Do đó $OO'$ là đường trung bình $\Delta I'KI \Rightarrow KI=2OO'.$

Cho nửa đường tròn $(O,R)$ đường kính $AB.$ Vẽ dây $MN=R(M$ ở trên cung nhỏ $AN).$ Hai dây $AN$ và $BM$ cắt nhau tại $I,AM$ cắt $BN$ tại $K.$