Bài toán 23. Cho tam giác $ABC$ nhọn với đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $M$ là trung điểm $BC$. Trên $EF$ lấy các điểm $Q,R$ sao cho $MQ⊥AB$ và $MR⊥AC$. Lấy các điểm $S,T$ sao cho $CS||RT⊥DE$, $QS||BT⊥DF$. $K$ là hình chiếu của trung điểm $AH$ lên $HM$. Chứng minh $DK⊥ST$

bài bài này đăng vui thôi

Bài 21. JBMO 2022 mới vừa thi xong : Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$ và chân đường cao đỉnh $A$ là $D$ thỏa mãn $HA=HD$. Dựng tiếp tuyến $l$ của $HBC$ sao cho $l$ cắt $AB,AC$ tại $S,T$. $M,N$ là trung điểm $HB,HC$. Chứng minh $SM||TN$.

Bài toán 20. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm nội tiếp. Đường tròn bàng tiếp góc $B,C$ lần lượt tiếp xúc với $AC,AB$ tại $X,Y$. Gọi $AD,AE$ là đường cao và đường phân giác của tam giác $ABC$. Chứng minh $DE$song song với tiếp tuyến tại $I$ của $(IDE)$.

Bài toán 19. Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp và trực tâm lần lượt là $O,H$. $M$ bất kỳ trên $(O)$, $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $BC$. $P$ là giao thứ hai của $AM$ và $(OMN)$. Chứng minh $HN$ đi qua trực tâm của $AOP$

ý b bài 18 khá vui còn ý a thì a làm lâu rồi( mn check xem thử đúng chưa ạ)

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

lời giải của mình, cũng dùng bổ đề trên để xử lí

Bài 40. Giải phương trình sau trên tập số nguyên dương $\displaystyle 2^{n} +n=m!$

Xét phương trình $\displaystyle 2^{n} +n=m!$, bây giờ, ta sẽ thử từng trường hợp trước để dự đoán. Ta sẽ xét $\displaystyle v_{2}$ của cả hai vế. Kiểm tra trực tiếp một số trường hợp ta nhận thấy chỉ có $\displaystyle m=3,n=2$ duy nhất thỏa mãn. Trường hợp $\displaystyle n$ là lũy thừa của 2, ta đặt $\displaystyle n=2^{a}$. Khi đó $\displaystyle 2^{n} +n=2^{x} +2^{y}$. Xét $\displaystyle m\leqslant 7$ thì không có trường hợp nào thỏa trừ $\displaystyle m=3$. Vậy xét $\displaystyle m >7$ thì khi đó $\displaystyle 7|m!$. Xét modulo 7 thì $\displaystyle 2^{x} +2^{y} \equiv 7( mod\ 7)$ và điều này là vô lí do $\displaystyle 2^{x} \equiv 1,2,4(\bmod 7)$. Tiếp theo ta xét $\displaystyle n=2^{a} .k$ trong đó $\displaystyle k$ lẻ. Vậy $\displaystyle v_{2}\left( 2^{n} +n\right) =a$. Bây giờ, nếu $\displaystyle k\leqslant m$ thì ta có $\displaystyle m!\vdots k$ nên $\displaystyle 2^{n} \vdots k$, mâu thuẫn với tính lẻ của $\displaystyle k$. Tiếp theo, xét $\displaystyle m\leqslant k$ thì khi đó $\displaystyle \frac{m}{2} -1< v_{2}( m!) =\sum _{i\rightarrow \infty }\left\lfloor \frac{m}{2^{i}}\right\rfloor < \frac{m-1}{2-1} =m-1< m$ cho nên ta có $\displaystyle \left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor \leqslant a< m$ dẫn tới $\displaystyle 2^{a} < 2^{m}$ và ta có $\displaystyle 2^{n} =2^{2^{a} .k} \geqslant 2^{\left\lfloor \frac{m}{2}\right\rfloor m} \geqslant m^{m}  >m!$ đúng vì $\displaystyle m\geqslant 7$. Vậy ta có tất cả các nghiệm của phương trình là $\displaystyle ( m,n) =( 3,2)$

Bài toán 17. Cho tam giác $ABC$ với $P$ là điểm bất kỳ. Đường tròn $(PAB),(PAC)$ cắt $CA,AB$ tại $E,F$. Đường tròn $(AEF)$ cắt $AP$ tại $M$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(AEF)$ cắt EF tại $X$. Chứng minh đối xứng của $M$ qua $XP$ nằm trên $(ABC)$.  

bài toán 15

Bài toán 16

lòi giải bài 14

Ôi, đúng là thần đồng toán học, đồ tể giải tích, đệ tử của Pitago, tướng quân đạo hàm, bàn tay vàng bấm máy, siêu thám tử tìm nghiệm, nhà du hành Oxyz, thảm sát số phức, kẻ hủy diệt số thập phân, sứ giả hàm log, tể tướng tiệm cận đứng, cha đẻ của Bunhiacopski, vị vua thống trị xác suất, bá tước tham số m, ông tổ của những bất phương trình, thiết diện lão sư, đường sinh giáo chủ, kẻ vạch trần số pi, sát thủ lượng giác, pháp sư cực trị, người san bằng cạnh huyền, cánh tay phải của Fibonacci, người lật tẩy số ảo, kẻ điều hòa âm dương

Đây là lời giải bài 2 bằng tọa độ số phức : )

Mô hình bài toán 5 rất đẹp và trong lúc làm thì mình có rút ra được 1 số hệ quả như sau đây 

Hệ quả 1. Gọi $\displaystyle O$ là tâm của $\displaystyle BYZC$. $\displaystyle JO$ cắt $\displaystyle IK$ tại $\displaystyle G$ thì $\displaystyle A,T,G$ thẳng hàng.

Bài 14. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nhọn, $\displaystyle BE,CF$ là các đường cao của tam giác đó. Trên $\displaystyle BE,CF$ lấy $\displaystyle M,N$ sao cho $\displaystyle EF=MF=NE$. $\displaystyle MF$ cắt $\displaystyle NE$ tại $\displaystyle K$. Chứng minh trực tâm của $\displaystyle KMN$ nằm trên trung trực $\displaystyle BC$.

bài này mấu chốt là gọi AP cắt (O) tại F thì I là tâm nội tiếp của APF. 

Dạ vâng đây cũng là bổ đề quan trọng để chứng minh bài toán sau:

Bài toán 12. (Sưu tầm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác với $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.

 

Screenshot (1503).png

.

bài 13 

Bài toán 11. (Sưu tầm) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $E,F$ là hai điểm thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $AE,AF$ đẳng giác trong $\measuredangle BAC$. $AI$ cắt $(O)$ tại $J$. $M$ là trung điểm của $IE$. Chứng minh rằng $JM$ và $PI$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$.

Screenshot (1501).png

Một cách khác do mình và 1 anh khác giải

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là giao điểm của $E F, F D, D E$ với $B C, C A, A B$. Ta thấy: $D A$ là đường đối trung tại đỉnh $D$ của tam giác $D E F$ nên tứ giác $D E X F$ là tứ giác điều hòa. Suy ra: $A_{1} X$ là tiếp tuyến của $(I)$. Tương tự, thì: $B_{1} Y, C_{1} Z$ cũng là tiếp tuyến của $(I)$. Suy ra: $A_{1} X, B_{1} Y, C_{1} Z$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(I)$ tai $X, Y, Z$, tương ứng.

Ừ chắc mình viết từ giấy lên nên nhìn sai, nhưng khúc sau biến góc vẫn theo QCA mà đúng k

cách Bài toán 3 của mình thì ngắn hơn chút....

Thực ra việc chứng minh đồng quy ở bài này khá dễ nên xin phép mình không chứng minh
Do đó ta chỉ cần xét một cặp đường thẳng và chứng minh chúng đẳng giác là xong bài
Đưa bài toán về mô hình: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD$, đường kính $AE$. $J$ là tâm bàng tiếp góc $A$. Chứng minh $JD, JE$ đẳng giác trong $\Delta JBC$
Gọi $I$ là tâm nội tiếp của $\Delta ABC$.
Biến đổi góc đơn giản, ta dễ thấy $\widehat{EBJ}=\widehat{ABI}=\widehat{IBC}, \widehat{ECJ}=\widehat{ACI}=\widehat{ICB}$
Do đó nếu ta gọi $I'$ đối xứng với $I$ qua $BC$ thì ta có được $I'$ và $E$ liên hợp đẳng giác trong $\Delta JBC$. Do đó ta cần chứng minh $J, I', D$ thẳng hàng
Gọi $AI$ cắt $BC$ tại $F$ thì ta có $(AF, IJ)=-1$. Mặt khác $II'//AD$ nên hiển nhiên $J, I', D$ thẳng hàng
geogebra-export (2).png

ồ bài này đẹp vậy, mình mới tìm lại được là đề Mexican Math Olympiad 2015

https://artofproblem...1166743p5579017

Một số bài khác hình học thuần túy về đồng quy thẳng hàng khác. Mời mọi người góp ý

Bài toán 11. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle H$ là trực tâm và $\displaystyle D$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BAC$. $\displaystyle BH$ cắt $\displaystyle AC,AD$ tại $\displaystyle E,M$. $\displaystyle CH$ cắt $\displaystyle AB,AD$ tại $\displaystyle F,N$. Đường tròn $\displaystyle ( HMN)$ cắt $\displaystyle ( AEF)$ tại $\displaystyle G$. $\displaystyle AG$ cắt $\displaystyle BH,CH$ tại $\displaystyle P,Q$ tương ứng. Gọi $\displaystyle K$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle G$ của $\displaystyle GAH$ với $\displaystyle EF$, $\displaystyle L$ là giao điểm của trung tuyến qua $\displaystyle H$ của tam giác $\displaystyle HPQ$ và $\displaystyle ( AEF)$. Chứng minh $\displaystyle A,K,L$ thẳng hàng

Bài toán 12. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có trực tâm $\displaystyle H$ và tâm ngoại tiếp là $\displaystyle ( O)$. Gọi $\displaystyle X$ là điểm đối xứng của $\displaystyle A$ qua $\displaystyle BC$. Xét $\displaystyle AO$ cắt $\displaystyle ( OBC)$ tại $\displaystyle Y$. Chứng minh $\displaystyle HY,XO,BC$ đồng quy tại $\displaystyle D$ và $\displaystyle AD$ chia đôi $\displaystyle HO$.

Bài toán 13. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ với $\displaystyle ( I)$ là đường tròn nội tiếp, $\displaystyle D$ là tiếp điểm của $\displaystyle I$ với $\displaystyle BC$. Đường thẳng qua $\displaystyle D$ vuông góc $\displaystyle AI$ cắt $\displaystyle BI,CI$ tại $\displaystyle P,Q$. Chứng minh $\displaystyle BPCQ$ nội tiếp $\displaystyle ( S)$ và $\displaystyle S,A,D$ thẳng hàng.

Bài 5 mọi người làm thử nhé, ý tưởng là chuyển về mô hình tâm nội tiếp bàng tiếp và sử dụng bổ đề sau : (AIa) cắt (O) tại T, AA' là đường kính, A'T cắt đường cao đỉnh A tại V thì IaV vuông góc AV. Tới đây thì chỉ cần biến đổi góc là xong.