Ta sẽ giải bài toán bằng cách sử dụng phép đối xứng tâm $A$.

 

Đối với tam giác $\triangle ABC$, ta vẽ đường thẳng $AP$ và $AQ$. Khi đó, ta có $\angle AQP = \angle ABC$ và $\angle APQ = \angle ACB$, từ đó suy ra tứ giác $APEQ$ nội tiếp. Gọi $O_1$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle APQ$.

 

Ta thấy rằng $AR$ là đường trung tuyến của tam giác $\triangle BCP$ nên $AR\parallel PQ$. Khi đó, ta có $\angle ASQ = \angle ABC$ và $\angle APQ = \angle ACB$, do đó tứ giác $ASBC$ nội tiếp. Gọi $O_2$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle ASQ$.

 

Tiếp theo, ta thấy rằng $AS$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $PQ$, nên $O_1O_2$ là đường vuông góc với $AS$. Vì thế, đường thẳng $O_1O_2$ sẽ chạm đường tròn $(APQ)$ tại điểm $S$.

 

Sau đó, ta vẽ đường thẳng $ST$ và $SR$, cũng như các đường thẳng song song tới $AB$ và $AC$ qua các điểm $X$, $Y$. Từ đó, ta dễ dàng thấy được rằng $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $XY$, từ đó suy ra $O_2$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle TXY$.

 

Vì $O_1O_2$ là đường vuông góc với cả $PQ$ và $XY$, nên $O_1O_2$ là đường trung trực của cung $ST$ trên đường tròn $(TXY)$. Từ đó, ta có $(TXY)$ tiếp xúc với $(APQ)$ tại điểm $S$, như cần chứng minh.

Để tính xác suất này, ta sẽ chia nhỏ bài toán thành các bước nhỏ hơn.

 

Bước 1: Tính số tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác đều $2020$ cạnh.

 

Chọn một cạnh của đa giác đều $2020$ cạnh, có $2020$ cách chọn. Mỗi cạnh này có $2$ đỉnh kề cạnh, ta cần chọn $2$ trong $2018$ đỉnh còn lại để tạo thành tứ giác. Số cách chọn $2$ đỉnh trong $2018$ đỉnh là $\binom{2018}{2}$. Do đó, số tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác đều $2020$ cạnh là $2020 \binom{2018}{2}$.

 

Bước 2: Tính số cách chọn $4$ đỉnh bất kì từ đa giác đều $2020$ cạnh.

 

Số cách chọn $4$ đỉnh bất kì từ đa giác đều $2020$ cạnh là $\binom{2020}{4}$.

 

Bước 3: Tính xác suất để nhận được tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác.

 

Xác suất cần tính bằng tỉ lệ giữa số tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác và số cách chọn $4$ đỉnh bất kì từ đa giác đều $2020$ cạnh: $$P=\frac{2020 \binom{2018}{2}}{\binom{2020}{4}} \approx 0.1985.$$ Vậy, xác suất để nhận được tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác đều $2020$ cạnh là khoảng $0.1985$.