Không biết bạn kiếm đâu ra bài này. Đầu tiên là $3$ số chắc khác nhau chứ không thì cái này hiển nhiên. Cái này liên quan định lý Roth về cấp số cộng, nôm na là một tập $S$ gồm một vài số nguyên dương không lớn hơn số $N$ nào đó không chứa $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng sẽ "rất nhỏ", cụ thể $lim_{N\to\infty}sup\frac{|S|}{N}=0$. Để chứng minh người ta thường sử dụng giải tích Forier hay những công cụ cao cấp khác hoặc sơ cấp nhưng rất lằng nhằng và khả năng cao không áp dụng được vào bài này. Đưa số liệu lớn kiểu này chả khác nào bảo mọi người hãy chứng minh định lý Roth đi.

Và hơn nữa, dùng cái trick quen thuộc này thì sẽ thấy đề bài sai. Đề bài có thể hiểu là với mỗi $20001$ số nguyên dương không lớn hơn $200010000$, luôn có $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng. Xét tổng cộng $2^{16}-1=65535>20001$ số gồm các số khi biểu diễn trong cơ số $3$ thì chỉ chứa số $0$ hoặc $1$ và không quá $17$ số. Các số này không vượt quá $3^{16}+3^{15}+...+3^2+3+1=64570081<200010000$ và dễ thấy không tồn tại $3$ số khác nhau lập thành cấp số cộng (để đễ hình dung hãy thử với cơ số $10$). Vậy đề sai.

đồng tình với quan điểm của bạn
nhưng mình thấy đề bài này có người giải trên facebook như sau ( cụ thể là trên Page: Thế Giới Toán Học), bạn có thể đóng góp ý kiến giúp mình:

Cho A là tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 200010000, tập A mất đi 99,99% các số bất kì, chứng minh rằng trong những số còn lại luôn có 3 số lập thành cấp số cộng

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau trong đó số 1 phải đứng trước số 2, số 5 phải đứng trước 7?