Lời giải:
G/s tam giác có 3 cạnh ${a}\geq{b}\geq{c}$
Gọi ${S}_{k}$ là số tam giác tm ${a}= {k}\in M$
Theo bđt tam giác:
${b}+{c}> {a}$
$\Rightarrow {a}+1\leq {b}+{c}\leq 2{b}\leq 2{a}$
$\Rightarrow \frac{{a}+1}{2}\leq {b}\leq {a} \quad (1) $
Và ${b}\geq{c}\geq {a}-{b}+1 \quad (2)$
Ta tính ${S}_{2k}$ và ${S}_{2k+1}$
+) Tính ${S}_{2k}$
Từ $(1)\Rightarrow {k}+1\leq {b}\leq 2{k}$
$\Rightarrow {b}\in \left \{ {k}+1;{k}+2;...;2{k} \right \}$
Từ $(2)\Rightarrow$ Số cách chọn $c$ là: ${b}-\left ( {a}-{b}+1 \right )+1=2{b}-{a}=2{b}-2{k}$
$\Rightarrow S_{2k}=\sum_{{b}={k}+1}^{2{k}}\left ( 2{b}-2{k} \right ) =2+4+...+2{k} ={k}\left ( {k}+1 \right )$
+)Tính ${S}_{2k+1}$
Làm tương tự$\Rightarrow{S}_{2k+1} = \left ( {k}+1 \right )^{2}$
$\Rightarrow {S}_{2k}+{S}_{2k+1}$
$= \sum_{k=0}^{1009}\left [ {k}\left ( {k}+1 \right )+\left ( {k}+1 \right )^{2} \right ]$
$= \left ( 1^{2}+2^{2}+...+1009^{2} \right )+\left ( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+1010^{2} \right )+(1+2+...+1009)$

Có bao nhiêu tam giác có độ dài 3 cạnh thuộc tập $\textup{M}= \left \{ 1; 2; 3;...; 2019 \right \}$

Mình đã xem lời giải bài này nhưng hơi khó hiểu và ko được tự nhiên cho lắm. Ai có lời giải nào nữa của bài này( hoặc dạng này) thì cho mk tham khảo nhé( càng nhiều càng tốt  )

                                    Cảm ơn các tiền bối và các bạn trước