Cho:($(x_{n}):x_{1}=a,x_{n+1}=\frac{n(n+3)x_{n}+8}{(n+1)^{2}} (\forall n\geq 1)$

1.Tìm Số hạng tổng quát

1.Tìm a để dãy hội tụ.Khi đó tính lim $x_{n}$

 

Đặt $v_n= x_n-(2n+6), \, n\in \mathbb{N}.$

Ta có $v_1=a-8, \, v_{n+1}= \frac{n(n+3)}{(n+1)^2}v_n, n\in \mathbb{N}.$

Suy ra $$ v_{n}= \frac{(n-1)!(n+2)}{2(n!)^2}v_1 =\frac{(n+1)(n+2)}{2n} v_1.$$

Tìm

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$

trong đó $E$ là ma trận đơn vị

và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$

 

Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2). 

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

 

 

 

 

 

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E=B+ \sum_{k=2}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

 

Sao lại tiến về ma trận không?

 

Mình nhìn hơi vội! Để mình xử lý lại!

 

 

 

 

 

Nháp: 

Ta có 

$A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}= E+\frac{1}{n}B,$ trong đó $B= \begin{bmatrix} 0 & x\\ -x & 0 \end{bmatrix}$

$A^n-E= \sum_{k=1}^n\frac{C_n^k}{n^k}B^k.$

Đặt $S_n= E+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}B^k.$

 

 

Nhận xét:

1) Dãy $\left\{S_n\right\}$ hội tụ về $S:=e^{B}.$

 

2) Dãy $\left\{A^n-S_n\right\}$ hội tụ về  $0.$

 

(Cần kiểm tra 2.)

 

$A^n-S_n= \sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(\displaystyle\prod_{i=1}^{n-k}(1-\frac{k}{n})-1\right)B^k.$

Đặt $u$ là hàm đưới dấu tích phân. Khi đó, chuyển sang biến $u$, ta nhận được tích phân hàm đa thức.

 

render (4).png

 

Hàm dưới dấu tích phân là $\tan^2\left( \frac{x}{2}\right)$ nên việc tính toán không có vấn đề gì!