1. Let ~ be the equivalence relation (x_{1}, x_{2}) ~ (y_{1}, y_{2}) iff x_{2}=y_{2}, on R^{2}. Then R^{2}/~ is homeomorphic to R.

2. Let D be the decomposition of the plane into concentric circles about the origin. Prove that D is homeomorphic to {x R|x 0}.

3. Find a counterexample for:
"E X is disconnected iff there are disjoint open subsets H and K in X, each meeting E, such that E H K."

Thank you,

(Mình không biết hết các từ Toán tiếng Việt nên phải viết bằng tiếng Anh, mong các bạn thông cảm)

Có vài bài này hy vọng nhận được lời giải thích.

Bài 1:
A cyclic group of order 15 has an element x such that the set http://dientuvietnam...ex.cgi?x^{13n}: n is a positive integer}, how many elements does it have?

I. 3
II. 5
III. 8
IV. 15
V. infinite

Bài 2:
Let p and q be distinct primes. Suppose that H is a proper subset of the integers and H is a group under addition that contains exactly three elements of the set {}. Determine which of the following are the three elements in H.

I.
II.
III.
IV.
V.

Chào các bạn và các anh chị

Mình đang theo đuổi Cử nhân Toán Lý thuyết, trình độ thấp nhưng mà yêu thích thì đi theo thôi.

Cá nhân mà nói, mình thấy rất ... khó chịu khi nghe những lời chất vấn "sao lại chọn Toán?" rồi "học Toán để làm gì?". Qua lịch sự về Toán học và các ngành khoa học khác, rồi những công trình nghiên cứu, ..., mình có thể trả lời rằng "học Toán để làm tất cả mọi thứ!"

Học Toán để có thể tư duy tốt hơn, nói cách khác là "thông minh" hơn. Có lẽ bây giờ phần lớn học sinh chỉ muốn có kết quả luôn cho nên họ đòi hỏi Toán học phải đem lời cho họ, một thứ gì đấy nhìn được, sờ nắn được thì mới muốn học. Nhưng rất buồn là không thể. Toán học không đem lại "cái gì đấy", mà Toán học biến bạn thành "một người khác" đấy. Thử nhìn lại xem, từ bé mà không học Toán, liệu bạn có sống được không? Hay chỉ là một thằng ngố?

Cũng như việc tập thể dục, ai chẳng muốn khoẻ mạnh, người gọn gàng..., nhưng không có thuốc thần kỳ nào giúp bạn được, bạn phải luyện tập, hàng ngày. Học Toán là để luyện tập cho bộ não của mình vậy. Mà nếu đã có một bộ não tốt, bạn đã sẵn sàng để làm mọi công việc

Còn về Toán học cao cấp, mình cũng chưa rõ để làm gì, học vì yêu thích thôi. Chứ nếu biết rõ để làm gì hoặc là dùng được nó thì trình độ hơi bị cao quá. Đã là ngành học nghiên cứu thì e rằng, không có con đường tắt.

Thân,