Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR:
$\frac{52}{27}\leq a^2+b^2+c^2+2abc < 2 $

bạn nhớ BĐT $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}, xy\geq 1$ ko??
áp dụng BĐT đó, rồi khảo sát theo 1 biến có $\leq 1$... thế là xong..!!
P/s: chúc các bạn thành công..!!

Bạn có thể làm tường minh được không ạ?
Cmar ơn

Xin lỗi mọi người.. nhưng đã ai có đáp án cụ thể chưa ạ????

Cho x,y,z >0 và xyz=1. tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{x+3}{(x+1)^{2}}+\frac{y+3}{(y+1)^{2}}+\frac{z+3}{(z+1)^{2}}$

các bạn ơi giải giúp mình bài này với
khó quá

có ai đã làm được bài này chưa

bai' nay' kho' day'

có ai có cách giải nào khác không chỉ giúp cho mình với

các bạn có thể làm tường minh ra giúp mình không?

giải phương trình lượng giác sau: $sin3x+ \sqrt{3}cos3x+sin2x+ \sqrt{3}cos2x= sinx+ \sqrt{3}cosx$

bạn Bexiu làm sai rồi từ dòng thứ sáu trở xuống

Ta sẽ chứng minh $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$
Theo AM-GM ta có $$6\sqrt{ab}\le 3.(\frac{a}{2}+2b)$$
$$6\sqrt[3]{abc} \le 2(\frac{a}{4}+b+4c)$$
$$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$$
$$P\ge \frac{2}{\frac{4}{3}(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
$$=\frac{3}{2(a+b+c)}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$$
Đặt $t=\sqrt{a+b+c}>0$ ta có $P \ge \frac{3}{2t^2}-\frac{3}{t}=f(t)$
Ta có:
$$f'(t)=\frac{3(t-1)}{t^3}$$
$\Rightarrow $ $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=1$ và bằng $\frac{-3}{2}$.
Vậy $P_{Min}=\frac{-3}{2}$. Đẳng thức xảy ra tại $a+b+c=1,\frac{a}{4}=b=4c$ $\square$

Bạn có thể nói rõ hơn về ý tưởng để chứng minh phần đâu ko ạ?

Phương trình đã cho tương đương :

$4x^{2}-2x-1=0$

và pt còn lại ta xét hàm vế trá trên khoảng $x\geq \frac{-1}{2}$

Ta có pt :$f(t)$ = $t+\frac{t+1}{2t+\sqrt{2x+1}} với x\geq \frac{-1}{2}$

              $f'(t)$ = 1 + $\frac{2x+\sqrt{2x+1}-(x+1)(2+\frac{1}{\sqrt{2x+1}})}{(2x+\sqrt{2x+1})^{2})}$

 

              Nhận xét : $\frac{2x+\sqrt{2x+1} -(x+1)(2+\frac{1}{\sqrt{2x+1}})} > 0$ với mọi $x\geq \frac{-1}{2}$

==> pt còn lại vô nghiệm..hay pt có nghiệm của $4x^{2}-2x-1=0$

Ai có thể giúp em giải quyết bài toán này không ạ???????

Phương trình đã cho tương đương :

$4x^{2}-2x-1=0$

và pt còn lại ta xét hàm vế trá trên khoảng $x\geq \frac{-1}{2}$

Ta có pt :$f(t)$ = $t+\frac{t+1}{2t+\sqrt{2x+1}} với x\geq \frac{-1}{2}$

              $f'(t)$ = 1 + $\frac{2x+\sqrt{2x+1}-(x+1)(2+\frac{1}{\sqrt{2x+1}})}{(2x+\sqrt{2x+1})^{2})}$

 

              Nhận xét : $\frac{2x+\sqrt{2x+1} -(x+1)(2+\frac{1}{\sqrt{2x+1}})}$ > 0 với mọi $x\geq \frac{-1}{2}$

==> pt còn lại vô nghiệm..hay pt có nghiệm của $4x^{2}-2x-1=0$

Bạn ơi sao mình vẻ hình ra chỉ có 1 điẻm chung thôi hả???????? khó hiểu quá

Trên hệ trục toạ độ Oxy cho 2 đt $(C) (x-1)^2+y^2=4$ và $(C') x^2+y^2-4x+3=0$. Biết (C) cắt (C') tại A,B ($x_A < x_B$) . Viết ptđt qua $B $cắt 2 đường tròn tại $M,N$ sao cho tam giác $AMN$ có $S_MAX$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề:
$$\frac{(x^{4}+y^{4})^{3}}{x^{6}+y^{6}}\geq \frac{(x+y)^6}{16}\,\,\,\,\forall x,y>0$
Anh có thể nói rõ hơn về phương hướng để chứng minh cái bổ đề trâu bò này không ạ???? Quá khó so vs khả năng quy định, nhưng theo em cái gì nó cũng pair có phương pháp của nó nên mong anh chỉ dạy thêm ạ!
-----------------------------
Mình đã nói ở trên là đoán thôi bạn ạ! Nhưng mình chắc chắn những bđt thế này phân tích ra có nhân tử $(x-y)^2$

Ai có thể giúp em bải bài này được không ạ?????????

Ai gợi ý hướng làm bài này em vs ạ

(C) cắt (C') tại 2 điểm A và B mà

Nếu đúng thì mình chém luôn nhá :
Ta có : $\ b^ {2011} + 1+1+1+. . . .+ 1 \geq 2011b (AM-GM) $ ( $\ 2010 $ số 1 nha )
hay $\ b^{2011} +2010 \geq 2011b $
Tương tự $\ c^{2012} +2011 \geq 2012c $
$\Rightarrow P \geq a+2011b+2012c -4021 $
Do $\ c \geq b \geq a $ nên $\ P \geq \dfrac{4024}{3} (a+b+c) -4021 $
Từ gt $\Rightarrow a+b+c= \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \dfrac{9}{a+b+c} (Cauchy-schwarz)$
$\Rightarrow a+b+c \geq 3 $
$\Rightarrow P \geq 3 $
Đã xong . . . .

bạn ơi nhưng vì sao lại có thể suy ra lớn hơn hoặc bằng 4024/3(a+b+c) mình ko hiểu
bạn có thể nói rõ hơn ko?

Cho $0<a b c$ và $\dfrac{a^{2}-1}{a}$+$\dfrac{b^{2}-1}{b}$+$\dfrac{c^{2}-1}{c}$=0.
tìm giá trị nhỏ nhất của P=$a+b^{2011}+c^{2012}$

các bạn giải thích thắc mắc giúp mình đi