Bài toán này hình như đây là lần thứ $3$ mình gặp lại nó và hiện tại mình vẫn chưa có ý tưởng nào khác nên xin phép không bình luận gì nhiều chỉ xin phép nói vài hướng mình đã từng thử:

- Khi dùng wolfram để dò nghiệm (lúc đầu mình nghĩ bài này là một bài đơn giản chỉ việc tìm nghiệm rồi liên hợp thôi) thì hai nghiệm của bài này "rất xấu".

- Khi đó mình định dùng casio để ép tích nhưng mình cho chạy từ $-30$ đến $30$ vẫn không thấy được hệ số nào có thể dùng được cả nên mình đã loại bỏ cách này.

- Sau đó mình thử lập hệ và dĩ nhiên như mọi người đã thấy cách này chưa đi đến đâu (mình dùng "chưa" vì có thể hệ này còn giải quyết được.

- Một phương pháp trục căn khác mình nghĩ đến là bình phương hai vế rồi dùng phép thế Euler nhưng sau khi bình phương ta sẽ thu được bậc $4$ mà sau khi thế sẽ ra đến tận bậc $8$ - điều này không được như mong muốn nên mình chưa thử cách đó.

- Mình từng nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để đánh giá nhưng bất đẳng thức mình không tìm hiểu nhiều nên mong mọi người xem xét - ý tưởng này không hiểu sao nó xuất hiện khi mình nhìn vế phải có dạng $\geq $ còn $x$ trong căn ở vế trái có vẻ như triệt tiêu nhau. Tóm lại chưa thử được cách này.

Khi giải một bài toán mà như vầy đôi lúc mình hay tự hỏi rằng rốt cuộc đề có đúng không? Vì mình không hiểu được mục đích của người chế ra đề với nghiệm như vậy. Đó là câu hỏi mình đặt ra và sẽ tự tìm hiểu, dĩ nhiên đôi khi một bài toán sai dẫn đến một bài toán khác vẫn giải được nhưng đôi khi nó lại dẫn đến một điều vô nghĩa làm tốn thời gian. Và mình thử tìm, kiểm tra ở một số nơi thì tìm được hai bài này làm mình nghĩ đề bài không có vấn đề gì cả mà nó là một dạng nào đó:

 

Bài toán 1. Giải phương trình:

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}+2=x^{2}+2x$$

Bài toán này do VietHoang99 post tại đây. Không biết tác giả có ở đây và đã giải quyết hay có ý tưởng nào cho bài này không?

 

Bài toán 2. Giải phương trình:

$$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$

Bài này được post tại đây.

 

Hi vọng hai bài tương tự như trên giúp được gì đó và mình vẫn chưa tìm được ý tưởng nào hay cho bài này (sẽ tìm các phương pháp hoặc trong báo xem sao). Xin hết!

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC (LÂM ĐỒNG)

 

 

LẦN I

Câu 1 (4 điểm): Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left ( u_{n} \right )$, biết:

$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{1}{2},\,\,\,\, u_{2}=673 & & \\ u_{n+2}=\dfrac{2\left ( n+2 \right )^{2}u_{n+1}-\left ( n^{3}+4n^{2}+5n+2 \right )u_{n}}{n+3},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$

 

Câu 2 (4 điểm): Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $\left ( O \right )$. Tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $d$ là đường thẳng chứa phân giác trong góc $A$ của $\triangle ABC$. Các trung trực của $AB$, $AC$ cắt $d$ tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm $BM$ và $CN$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MNP$, $H$ là trực tâm $\triangle OMN$.

$\qquad a)$ Chứng minh $H$, $I$ đối xứng nhau qua $d$.

$\qquad b)$ Chứng minh $A$, $I$, $S$ thẳng hàng.

 

Câu 3 (4 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

$$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2}\,\,\,\, \forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Câu 4 (4 điểm): Tìm tất cả cặp số nguyên dương $\left ( x;y \right )$ với $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình $2\left ( x^{3}-x \right )=y^{3}-y$.

 

Câu 5 (4 điểm): Cho $n$ là một số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng $4$. Ta tô màu mỗi số trong các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ sao cho $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu xanh, $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu đỏ. Với mỗi cách tô như vậy, gọi $f_{n}$ là số các số nguyên dương bất kì mà ta có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu.

$\qquad a)$ Tìm tất cả các giá trị có thể của $f_{4}$.

$\qquad b)$ Khi $n\geq 8$ chứng minh $f_{n}<2n-3$. Hãy chỉ ra một cách tô thỏa mãn $f_{n}=2n-5$.

 

 

LẦN II

Câu 1 (3 điểm): Giải phương trình trên tập số thực:

$$\sqrt{x^{3}+x^{2}+3x-1}+\sqrt{x^{3}+6x+2}=5$$

 

Câu 2 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=\dfrac{3}{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}+3u_{n}^{2}-9u_{n}+\dfrac{9n+10}{n+1}-1},\,\,\,\, n\in \mathbb{N},\,\,\,\, n\geq 1 & & \end{matrix}\right.$$

$\qquad a)$ Chứng minh $\left ( u_{n} \right )$ bị chặn dưới.

$\qquad b)$ Chứng minh dãy $\left ( u_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn đó.

 

Câu 3 (3 điểm): Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương thỏa

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$$

Chứng minh rằng

$$\dfrac{x}{x^{4}+1+2xy}+\dfrac{y}{y^{4}+1+2yz}+\dfrac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \dfrac{3}{4}$$

 

Câu 4 (3 điểm): Cho $\triangle ABC$ ($AB<AC$) có ba góc nhọn và nội tiếp $\left ( O \right )$. Các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($E\in AC$, $F\in AB$). Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy điểm $T$ trên $\left ( O \right )$ sao cho $\angle ATH=90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle GTO$ cắt $EF$ tại $K$ khác $G$. Chứng minh rằng:

$\qquad a)$ $G$, $T$, $A$ thẳng hàng.

$\qquad b)$ Đường thẳng $OK$ vuông góc với đường thẳng $AT$.

 

Câu 5 (3 điểm): Cho

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1;\,\,\,\, x_{2}=1;\,\,\,\, x_{3}=1 & & \\ x_{n+3}=x_{n+2}x_{n+1}+x_{n} \end{matrix}\right.$$

với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{k}$ chia hết cho $m$.

 

Câu 6 (4 điểm): Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn

$$11^{n}=xy\left ( z^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+y^{2} \right )z$$

 

 

LẦN III

Câu 1 (3 điểm): Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi:

$$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2014 & & \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{4}+2013^{2}}{u_{n}^{3}-u_{n}+4026},\,\,\,\, n\in \mathbb{N^{*}} & & \end{matrix}\right.$$

Đặt

$$v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{u_{k}^{2}+2013},\,\,\,\, \forall n\in \mathbb{N^{*}}$$

Tính $\lim v_{n}$.

 

Câu 2 (4 điểm): $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm $AC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ giao với phân giác góc $\angle BAC$ tại $E$ nằm trong $\triangle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABE$ giao với $BD$ tại $F$ khác $B$. $AF$ giao $BE$ tại $I$, $CI$ giao $BD$ tại $K$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABK$.

 

Câu 3 (3 điểm): Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

$\qquad 1.$ $f\left ( x+y \right )\leq f\left ( x \right )+f\left ( y \right )$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

$\qquad 2.$ $f\left ( x \right )\leq e^{x}-1$ với mỗi $x\in \mathbb{R}$.

 

Câu 4 (4 điểm): Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}-\left ( x+y \right )}=\dfrac{y}{\sqrt[3]{x-y}} & & \\ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )-3\sqrt{2x-1}=11 & & \end{matrix}\right.$$

 

Câu 5 (3 điểm): Trên bảng ô vuông $3\times 3$, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Hàng không có sỏi ứng với $0$ điểm.

$\qquad a)$ Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là $8$.

$\qquad b)$ Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.

 

Câu 6 (3 điểm): Cho $x,y,z\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh rằng

$$\left ( x-x^{2} \right )\left ( y-y^{2} \right )\left ( z-z^{2} \right )\geq \left ( x-yz \right )\left ( y-zx \right )\left ( z-xy \right )$$

 

Topic này dùng để các em THCS khi thi Violympic gặp các bài toán khó dù đã suy nghĩ nhưng không giải được thì post lên đây để mọi người thảo luận và giúp đỡ tránh tình trạng post bài tràn lan và các topic về Violympic khác sẽ được gộp vào đây. Lưu ý: Khi post bài toán phải ghi rõ "lớp - vòng".
==========
Bài toán 1: [Vio 9 - vòng 4] Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $AD$, trực tâm $H$. Biết rằng $\widehat{BCA}<90^\circ$, $AH=14cm$, $BH=HC=30cm$. Tính $AD$?

Bài toán 1: Giải phương trình $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3+\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}$.

Cách giải khác...
Lời giải:
Điều kiện xác định: $x\in \left [ -3;6 \right ]$.
Đặt $\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=t$ (điều kiện chung là $t\geq 0$), khi đó ta có $\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}=\dfrac{t^{2}-9}{2}$ và phương trình trở thành:
$t=3+\dfrac{t^{2}-9}{2}\\ \Leftrightarrow t^{2}-2t+3=0\\ \Leftrightarrow \left ( t+1 \right )\left ( t-3 \right )=0\\ \Leftrightarrow t=3$
Với $t=3$ ta được $\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}=\dfrac{t^{2}-9}{2}=\dfrac{3^{2}-9}{2}=0\Leftrightarrow x=\left \{ -3;6 \right \}$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=-3$ và $x=6$. $\blacksquare$
==========
Bài toán 6: Giải phương trình $4x^{2}+7x+1=2\sqrt{x+2}$.

Bài toán 7: Giải phương trình $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$.

Tiếp nối topic này của anh luxubuhl mình lập topic này để mọi người cùng nhau thảo luận về Phương trình và hệ phương trình - một vấn đề hay, khó thường gặp trong các kì thi. Tuy nhiên, topic này không dừng lại ở việc là các bài toán thi học sinh giỏi mà còn có thể có các bài toán thi thử đại học, thi đại học hoặc từ một nguồn nào đó . Ai có thắc mắc gì về lời giải hoặc ý tưởng có thể post lên đây để mọi người cùng nhau thảo luận. Mong mọi người ủng hộ.
Lưu ý: Bài toán phải được đánh số thự tự rõ ràng, lời giải đầy đủ tuyệt đối không làm tắt (trình bày như một bài kiểm tra), nếu bài toán là thi học sinh giỏi năm 2000 thì cần ghi rõ nguồn và nếu là tự sáng tác thì cũng cần ghi nguồn (đã được kiểm chứng là đúng hay chưa?), không spam, bài làm viết bằng $\LaTeX$, không sử dụng ngôn ngữ chat chit. Tránh post bài tràn lan gây loãng topic.
==========
Bài toán 1: Giải phương trình $\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}=3+\sqrt{\left ( 3+x \right )\left ( 6-x \right )}$.

Bài toán 2: Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{3-x}$.

Bài toán 3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2 && \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=4 &&\end{matrix}\right.$.

-Học viện Quân Y 2001-

Câu 5. Cho biểu thức $Q=a^4+2a^3-16a^2-2a+15$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để Q chia hết cho 16.

Lời giải.

Ta có $Q=\left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )\left (a-3 \right )\left ( a+5 \right )$.

Ta thấy để $Q$ chia hết cho $16$ thì $a$ phải là số lẻ vì nếu $a$ là số chẵn thì $Q$ sẽ là số lẻ nên $Q$ không thể chia hết cho $16$.

Do đó đặt $a=2k+1$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Khi đó $Q=16k\left ( k+1 \right )\left ( k-1 \right )\left ( k+3 \right )$.

Ta thấy $Q$ luôn chia hết cho $16$ với mọi $k$ nguyên.

Do đó với $a=2k+1$ với $k\in \mathbb{Z}$ thì $Q$ chia hết cho $16$.

Câu 6.

b) Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1. Chứng minh rằng:

   $\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{11}{2}$                 

Câu này mình giải vầy không biết đủ chặt chẽ chưa :-? thi vào lớp 10 nên không đạo hàm được :-?

Lời giải.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left ( b-1 \right )}\leq \frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}\leq \frac{ab}{2}$$

Tương tự với $b\sqrt{a-1}$ ta được:

$$\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}=\frac{18}{3ab}+\sqrt{3ab+4}$$

Vậy ta cần chứng minh:

$$\frac{18}{3ab}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{11}{2}$$

Vì $a$, $b$ đều lớn hơn $1$ nên ta đặt $\sqrt{3ab+4}=t>0$ khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\frac{18}{t^{2}-4}+t\geq \frac{11}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{\left ( 2t+5 \right )\left ( t-4 \right )^{2}}{t^{2}-4}\geq 0$$

Bất đẳng thức trên đúng với mọi $t>0$.

Dấu bằng xảy ra khi $t=4$, kết hợp với điều kiện dấu bằng của hai bất đẳng thức ban đầu ta được dấu bằng xảy ra khi $a=b=2$.

Cái này bạn search google là được

https://thunhan.word.../giai-pt-bac-4/

Nhưng ở đây gọn hơn ở chỗ là có dạng

$ax^4+bx^2+cx+d=0$

Bạn phân tích thành dạng

$(x^4+px+q)(x^4-px+r)$ bằng phương pháp đồng nhất hệ số cũng được

Phương trình này hệ số không phải hệ số nguyên nên không thể tách theo kiểu đồng nhất hệ số được.

Hoặc nếu bạn làm được rồi thì bạn ghi ra cho mình và chủ topic biết với được không

Đúng là hệ số không nguyên thì khó giải thật. Thôi, để mình trình bày nốt pp đồng nhất, biết đâu có bài nào hên hên ra hệ số nguyên thì sao

Thực hiên các phép biến đổi, ta được phương trình bậc 6 theo ẩn p như sau

$p^6+2ap^4+(a^2-4c)p^2-b^2=0$

Đặt ẩn phụ rồi giải pt bậc 3, khai căn các nghiệm để tìm p

Từ đó tìm được r và q

Mình thử rồi bạn ơi, bạn giải đến cùng đi là sẽ thấy phương trình bậc ba này nghiệm nó khủng cỡ nào =)) (dùng Cardano luôn nhé).

Làm câu tìm chữ số tận cùng cái, mà ghi tiếng Việt cho rồi
Lời giải:
Ta có:
$\varphi \left ( 100 \right )=40\Rightarrow 2013^{40}\equiv 1\pmod{100}$ (định lí Euler).
$1001\equiv 1\pmod{40}\\ \Rightarrow 1001=4k+1 \ \ \left ( k\in \mathbb{N^{*}} \right )\\ \Rightarrow 2013^{1001}=2013^{4k+1}=\left ( 2013^{4} \right )^{k}.2013\equiv 1.2013\equiv 13\pmod{100}$
-----
Câu hình thì tạm dịch là thế này:

Cho tam giác $ABC$ có $AB=3cm$, $AC=4cm$ và $\widehat{BAC}=60^\circ$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là chân đường phân giác và chân đường trung tuyến kẻ từ $A$ xuống $BC$. Tính diện tích tam giác $AMN$.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $E$. Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt đường tròn tại $F$. Chứng minh rằng $CE=BF$.

Hai câu hình không khó lắm nhỉ
@Toàn: Ừ em, thi chọn thi HOMO

TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU - TỈNH DAK LAK

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2011-2012

Thời gian làm bài: $180'$ (không kể thời gian phát đề)

Bài 1:
a) Giải phương trình $x^{3}+2x-7\sqrt[3]{5x-4}+4=0$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5 \\ x^{2}+y^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=9 \end{matrix}\right.$

Bài 2:
a) Cho tam giác $ABC$, nêu cách dựng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $MA^{2}+2MB^{2}=3MC^{2}$.
b) Cho tứ giác $ABCD$. $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $BC$ cắt $AD$ tại $F$. Chứng minh rằng trực tâm của các tam giác $EBC$, $EAD$, $FCD$ thẳng hàng.

Bài 3:
a) Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng $2013$ sao cho số thứ nhất chia $5$ dư $2$, số thứ hai chia $7$ dư $4$ và tổng bình phương của chúng nhận giá trị nhỏ nhất.
b) Tính tổng nghịch đảo của tất cả các ước số nguyên dương của $10^{20}$.

Bài 4:
a) Cho các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}>a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}$. Chứng minh rằng $a^{100}+b^{100}+c^{100}<3$.
b) Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \left | 3a+2b+5c \right |\leq 289 \\ \left | 5a-7b+2c \right |\leq 578 \\ \left | 7a+3b-8c \right |\leq 578 \end{matrix}\right.$. Chứng minh rằng $\left | c \right |\leq 68$.

Câu 2a:
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Gọi $I$ là điểm thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$, suy ra $I$ cố định.
Biến đổi giả thuyết:
$MA^{2}+2MB^{2}-3MC^{2}=0\\
\Leftrightarrow \left ( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA} \right )^{2}+2\left ( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB} \right )-3\left ( \overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC} \right )=0\\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MO}\left ( \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC} \right )=0$
Áp dụng công thức tâm tỉ cự ta được:
$2\overrightarrow{MO}\left ( \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC} \right )=0\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow{MO}\left ( 3\overrightarrow{OI}-3\overrightarrow{OC} \right )=0\\ \Leftrightarrow 6\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{CI}=0\\ \Leftrightarrow 6\overline{MO}.\overline{CI}=0\\ \Leftrightarrow \overline{MO}.\overline{CI}=0$
Vì $O$, $C$, $I$ cố định và theo hệ thức trên thì suy ra $MO\perp CI$.
Vậy tập hợp các điểm $M$ cần tìm là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $CI$.
===============

Câu 3b luôn nhé
Lời giải:
Ta có $10^{20}=2^{20}.5^{20}$. Do đó để tính tổng nghịch đảo các ước của $10^{20}$ ta sẽ đi tính tổng nghịch đảo của $2^{20}.5^{20}$.
Áp dụng tính chất với $a$, $n$ là các số tự nhiên thì số ước của $a^{n}$ là $n+1$ (tính luôn ước số $1$) ta được:
- Tổng nghịch đảo các ước của $2^{20}$ là: $\sum \dfrac{1}{2^{k}}$ ($k=\overline{0;20}$).
- Tổng nghịch đảo các ước của $5^{20}$ là: $\sum \dfrac{1}{5^{k}}$ ($k=\overline{0;20}$).
Do đó tổng nghịch đảo các ước của $10^{20}$ là:
$$\sum \dfrac{1}{2^{k}}.\sum \dfrac{1}{5^{k}}=\left ( 1+\dfrac{1}{2^{1}}+\dfrac{1}{2^{2}}+...+\dfrac{1}{2^{20}} \right ).\left ( 1+\dfrac{1}{5^{1}}+\dfrac{1}{5^{2}}+...+\dfrac{1}{5^{20}} \right )$$
Đến đây thì "chịu"

Daklak Education and Training Service
Nguyen Du High School

Team Selection Test
Hanoi Open Mathematical Olympicad 2013

Multiple Choice Questions

Question 1: How many divisor of $A=33800$?
A) $12$
B) $36$
C) $15$
D) $28$
E) None of the above

Question 2: How many integral roots of the inequality $\dfrac{\sqrt{x+5}}{x-1}\leq \dfrac{\sqrt{x+5}}{x+3}$?
A) $5$
B) $6$
C) $4$
D) $3$
E) None of the above

Question 3: How many even positive integers which consit $4$ distinct digits belong to set $\left \{ 0;1;2;3;4;5;6 \right \}$?
A) $720$
B) $840$
C) $360$
D) $960$
E) None of above

Question 4: How many diagonal of convex polygon with $10$ sides?
A) $45$
B) $80$
C) $45$
D) $90$
E) None of above

Question 5: Which is largest positive integer $n$ satisfying $2013!$ is divisible by $6^{n}$?
A) $1008$
B) $900$
C) $1000$
D) $1002$
E) None of above

Short Questions

Question 6: Let $x=\sqrt[3]{16-8\sqrt{5}}+\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}$. Find the value of $f\left ( x \right )=\left ( x^{3}+12x-31 \right )^{2013}$.

Question 7: What is the last two digits of $Q=2013^{1001}$?

Question 8: For a positive number $n$, let $f\left ( n \right )$ be a value of $$f\left ( n \right )=\dfrac{4n+\sqrt{4n^{2}-1}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$$
Calculate $f\left ( 1 \right )+f\left ( 2 \right )+f\left ( 3 \right )+...+f\left ( 40 \right )$?

Question 9: Find all pairs $\left ( x;y \right )$ of real numbers satisfying the system $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=9 & & \\ x^{2}+2y^{2}=x+4y & &\end{matrix}\right.$$

Question 10: Let $ABC$ be a triangle with $AB=3cm$, $AC=4cm$ and $\widehat{BAC}=60^\circ$. Let $M$ and $N$ be the points in which the median and the angle bisector, respectively at $A$ meet the side $BC$. Find the area of the triangle $AMN$.

Question 11: Consider sequence $a_{n}=\sqrt{1+\left ( 1+\dfrac{1}{n} \right )^{2}}+\sqrt{1+\left ( 1-\dfrac{1}{n} \right )^{2}}, \ \ n\in \mathbb{N^{*}}$. Prove that $\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\dfrac{1}{a_{3}}+...+\dfrac{1}{a_{20}}$ is an integer.

Question 12: Suppose that the equation $x^{3}-6x^{2}+ax-b=0$ has three positive real roots. Prove that $8a-3b\leq 72$.

Question 13: Quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle which has center on the side $AB$. The line passing through $D$ and perpendicular to $AB$ intersects the circle at $E$. The line passing through $A$ and perpendicular to $CD$ intersects the circle at $F$. Prove that $CE=BF$.

Question 14: Let $a$, $b$, $c$ be positive numbers. Prove that $$\dfrac{b+c}{a^{2}}+\dfrac{c+a}{b^{2}}+\dfrac{a+b}{c^{2}}\geq \dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{b}$$

Question 15: Solve the following equation in integers $x^{2}\left ( y-1 \right )+y^{2}\left ( x-1 \right )=1$.

Câu 3 anh làm đáp án được bao nhiêu ??

Câu 3 anh làm ra $720$ thì phải :-? xài đếm đơn giản thôi

anh ơi ở bài 2 : pt đầu tiên e giải được x=y rồi tiếp pt thứ 2 thay vào làm sao ạ ?

Trả lời dùm bác vanchanh123: Thay vào rồi thì "mò" nghiệm mà giải tiếp thôi!

Kiểm tra bằng máy tính (hoặc wolfram) thì ta biết phương trình có nghiệm $x=0$ và $x=1$.

Thay $x=y$ vào phương trình thứ hai ta được:

$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$

Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{3}$.

$$\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^{2}+x+5$$

$$\Leftrightarrow 2x^{2}-2x+\left [ \left ( x+1 \right )-\sqrt{3x+1} \right ]+2\left [ \left ( x+2 \right )-\sqrt[3]{19x+8} \right ]=0$$

Hỏi đế L Lawliet có cơ hội chém gió

Làm sao biết được thêm "các lượng" trên để sau khi liên hiệp  có "nhân tử"!

 

P.S: Nào này bận quá... và cả HK này chắc cũng bận lắm đây!

Cho cơ hội thì chém một lát vậy

Sau khi biết được phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=1$ nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến chuyện sử dụng liên hợp (cẩn thận việc nhẩm nghiệm không kĩ dẫn đến liên hợp và thiếu nghiệm như ở đây).

Vậy giờ phải liên hợp như thế nào?

Làm tỉ mỉ và chi tiết thì là như thế này:

- Vì có hai nghiệm nên biểu thức sau khi liên hợp ta cần (ít nhất) là bậc $2$.

- Ta cần tìm hai số $a$, $b$ trong biểu thức $ax+b-\sqrt{3x+1}$ sao cho sau khi liên hợp ta thu được một phương trình bậc $2$ có hai nghiệm $0$, $1$. Hai ẩn và hai phương trình nên tìm được $a$, $b$ dễ dàng.

- Tương tự ta cần tìm hai số $c$, $d$ trong biểu thức $cx+d-\sqrt[3]{19x+8}$ sao cho sau khi liên hợp ta thu được một phương trình bậc $3$ có hai nghiệm $0$, $1$.

Còn thực tế đây là cách làm của mình:

- Hai nghiệm $0$, $1$ nên nhân tử sẽ là $x\left ( x-1 \right )=x^{2}-x$.

- Vậy hệ số tự do sẽ mất nên khi liên hợp với $\sqrt{3x+1}$ ta sẽ làm mất hệ số tự do ở đây nên ta sẽ có $ax+1$. Tiếp theo ta thấy hệ số của $x^{2}$ ở đây là $1$ nên ta được $x+1$ dẫn đến biểu thức liên hợp ở trên.

- Suy luận tương tự ta được biểu thức liên hợp với $\sqrt[3]{19x+8}$ sẽ có dạng $cx+2$. Sau đó ta liên hợp lên rồi tìm $c$.

Trước khi ngưng chém xin dẫn link một lời giải và chém gió về việc liên hợp khi biết chính xác nghiệm vô tỉ ở đây.

Xin ngừng chém gió ở đây.

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} 8x^3+2y=\sqrt{y+5x+2} & & \\ (3x+\sqrt{1+9x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1 & & \end{matrix}\right.$$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $5x+y\geq -2$.

Biến đổi phương trình thứ hai:

$$\left ( 3x+\sqrt{1+9x^{2}} \right )\left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$$

Phần trong ngoặc vẫn còn chứa một nghiệm khác.

Mình góp thêm phần giải cho PT $$8x^{3}-6x=\sqrt{2x+2}.$$

Ngày xửa ngày xưa, trên báo TH&TT có bài toán $x^3-3x=\sqrt{x+2}$. Lời giải "đơn giản" là dùng lượng giác.

Sao mình kiểm tra ở wolfram thì chỉ có hai nghiệm ở hạng tử bên ngoài thôi nên mình tách như vậy :-ss

Em đã tổng hợp lại topic này (có điều chèn link vào thì em chưa biết, em có up bản tex ai rành tex thì chèn vào hộ em ):

Bản pdf. bản tex.

Họ và tên: Trần Nguyễn Thiết Quân
Trường: THPT chuyên Nguyễn Du
Nick diễn đàn toán học: Ở bên trái ạ
Nick garena: GinMellkior
Nick yahoo hoặc số điện thoại nếu có để liên lạc: 01653654695
Vị trí muốn đăng kí: (chưa hiểu rõ câu này @@)

Nghĩa là team hoặc clan nào đó ý ^^~ Như anh ĐA team $\alpha$
Tết này không biết có thời gian chơi không đây

Roài roài, cơ mà có những team nào vậy :")) có danh sách team chưa :"))

Ba thành viên trong đội bóng nữ trường trung học Euclid nói chuyện với nhau.

Ashley: Tớ vừa nhận ra số áo của bọn mình đều là những số nguyên tố có hai chữ số.

Bethany: Tổng hai số áo của các bạn là ngày sinh của tớ vừa diễn ra trong tháng này.

Caitlin: Ừ, vui thật, tổng hai số áo của các cậu lại là ngày sinh của tớ vào cuối tháng này.

Ashley: Và tổng số áo của các cậu lại đúng bằng ngày hôm nay.

Tìm số áo của mỗi bạn?

Thế thì khỏi làm bạn. Ko có giới hạn thì thánh làm chưa chắc ra

Đề cho như vậy là đủ dữ kiện rồi cần giới hạn nào nữa nhỉ? Có thể lập luận như thế này để tìm ra số áo của mỗi bạn:

Lời giải.

Vì số áo của mỗi bạn là số có hai chữ số và tổng của từng cặp số áo là số ngày trong một tháng nên số áo của mỗi bạn phải là số nguyên tố có hai chữ số bé hơn $20$ (vì giả sử nếu có một bạn có số áo là số nguyên tố lớn hơn $20$ thì tổng với số còn lại sẽ vượt quá số ngày trong một tháng).

Vậy số áo của mỗi bạn có thể là $11$, $13$, $17$, $19$.

Giả sử có một bạn có số áo là $19$ thì hai bạn còn lại sẽ có một bạn nhận áo số $13$ hoặc $17$ mà tổng của $19$ với một trong hai số này lại không phải ngày trong một tháng. Do đó không có bạn nào nhận áo số $19$.

Tóm lại số áo của ba bạn là $11$, $13$ và $17$. Bây giờ ta sẽ tìm số áo chính xác của mỗi bạn.

Ashley + Caitlin là ngày đã diễn ra trong tháng nên số áo của Ashley + Caitlin là $11+13$.

Ashley + Bethayny là ngày diễn ra cuối tháng nên số áo của Ashley + Bethany là $x+17$.

Bethany + Caitlin là ngày hôm nay nên số áo của Bethayny + Caitlin là $y+17$.

Để ý là như vậy ta có số áo của Ashley phải lớn hơn số áo của Bethany nên Ashley phải là số $13$, do đó Bethany áo số $17$ và cuối cùng Caitlin áo số $11$.

Lần I 

Đề post ở đây mấy hôm trước rồi bạn.

Các bạn thảo luận đề ở topic bên kia cho tiện theo dõi nhé.

Bài 3: $\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \sqrt{x-\frac{1}{x}} = x$

Lời giải.

Điều kiện xác định $x\geq 1$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{\left ( x-\frac{1}{x} \right ).1}+\sqrt{\left ( x-1 \right ).\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{2}\left ( x-\frac{1}{x}+1+x-1+\frac{1}{x} \right )=x$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=1 &  & \\ x-1=\frac{1}{x} &  & \end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện ta được $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.