Bài 119 : Giải phương trình nghiêm nguyên dương :

 

$2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y$

 

 

(Bài này ra nghiệm tổng quát hay sao ấy ?  )

Thay $2$ bởi $x$ thì ta được bài toán này (chắc tổng quát nhất rồi), lời giải ở topic đó luôn.

Em chỉnh rồi mà anh

Ai có thể cho mình bộ đề tuyển sinh lớp 10 quốc học Huế các năm với ?

Đây nhé bạn:

http://diendantoanho...-huế-2012-2013/

http://diendantoanho...t-quốc-học-huế/

http://diendantoanho...c-huế-nam-2009/

http://diendantoanho...-huế-2010-2011/

http://diendantoanho...-huế-2012-2013/

Có chú nào muốn làm em rể giơ tay lên, giơ chân luôn nhé

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Hôm nay vào diễn đàn boxmath phát hiện ra vài cái hay

Không biết tác giả bài toán này là ai nhưng bài toán này được chế từ bài toán này thì phải:

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x-2010 \right )\left ( 2011+2012\sqrt[3]{y-2013} \right )=1 \\ \sqrt[3]{x-2010}\left ( y-4024 \right )=2012 \end{matrix}\right.$$

Nghiệm của bài này là:

$$\left ( x;y \right )=\left ( 2009;2012 \right ),\left ( 2010+\left ( \dfrac{2}{1\pm \sqrt{8045}} \right )^{3};2013+\left ( \dfrac{1\pm \sqrt{8045}}{2} \right )^{3} \right )$$

Dễ thấy là bài toán và hệ số đều liên quan đến năm.

Nên câu hỏi mình đặt ra là không biết đây có phải là ý tưởng chế đề của tác giả không, nếu phải thì hệ này có một chút sai sót. Mình thử đặt ẩn phụ và giải theo hướng của hệ ban đầu, chưa giải tiếp nhưng muốn hỏi lại trước khi giải vì công đoạn giải đưa về một phương trình bậc hơi cao, mong tác giả giải đáp

Bài 506:   Giải PT

\[\sqrt{\cos x- \left(1-\frac{x^2}{2}\right)} = \sqrt[3]{\sin x- \left(x-\frac{x^3}{6}\right)}.\]

 

(Một bài toán nhảm nhí... dùng để giải trí!)

Lời giải chưa hoàn thiện, xem như ý tưởng giải có gì bác Chánh chỉ thêm nhé :<

Lời giải.

Điều kiện xác định: $\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}\geq 0$.

Đầu tiên xét hàm số $f\left ( x \right )=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}$.

$f'\left ( x \right )=-\sin x+x$

Xét $x\geq 0$ thì $f''\left ( x \right )=-\cos x+1\geq 0, \ \forall x\geq 0$ nên $f'\left ( x \right )$ tăng trên $\left [ 0;+\infty  \right )$ hay $f'\left ( x \right )\geq f'\left ( 0 \right )=0$.

Suy ra $f\left ( x \right )$ tăng trên $\left [ 0;+\infty  \right )$ hay $f\left ( x \right )\geq f\left ( 0 \right )=0$.

Do đó tập xác định của bài toán là $x\geq 0$.

Tiếp theo xét hàm số $g\left ( x \right )=\sin x-x+\dfrac{x^{3}}{6}$.

$g'\left ( x \right )=\cos x-1+\dfrac{x^{2}}{2}$

Bài 517: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}(1-2x^{2})=y^{4} \\ &1+\sqrt{1+(x-y)^{2}}=x^{3}(x^{3}-x+2y^{2}) \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}\geq 0$.

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

$$\sqrt{3+2x^{2}y-x^{4}y^{2}}+x^{4}\left ( 1-2x^{2} \right )-1-\sqrt{1+\left ( x-y \right )^{2}}=y^{4}-x^{3}\left ( x^{3}-x+2y^{2} \right )$$

Bài này thay thế cho bài mang tính chất "giải trí" ở trên

Bài 510: $\left\{\begin{matrix} &7\sqrt{16-y^{2}}=(x-1)(x+6) \\ &(x+2)^{2}+2(y-4)^{2}=9 \end{matrix}\right.$

 

P/s: Chậc...các bạn giải bài nhanh quá 

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-4\leq y\leq 4$.

Vì $\text{VT}$ của phương trình thứ nhất không âm nên $\text{VP}$ cũng phải không âm, hay:

$$\left ( x-1 \right )\left ( x+6 \right )\geq 0$$

Chặn vậy ổn chưa nhỉ 

Bài 524: $\left\{\begin{matrix} &2x^{2}-2y=xy-4x \\ &\sqrt{12x^{2}+3y+84}=2x+2\sqrt{x+2}+\sqrt{20-y} \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -2$, $y\leq 20$, $12x^{2}+3y+84\geq 0$.

Ta có:

$$2x^{2}-2y=xy-4x$$

Bài 523: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1 \\ &3x^{2}-xy^{2}+4x=1 \end{matrix}\right.$

Tất nhiên là một bài toán được xây dựng từ việc đánh giá bất đẳng thức thì những cách khác khó mà tối ưu hơn rồi.

Lời giải.

Điều kiện xác định: $-1\leq x\leq 1$, $-1\leq y\leq 1$.

Ta có:

$$x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=1$$

Bài 504: Giải phương trình:

$x=\sqrt[3]{6x-6sinx}$.

Lời giải.

Phương trình tương đương:

$$x^{3}-6x+6\sin x=0$$

Xét hàm $f\left ( x \right )=x^{3}-6x+6\sin x$ có $D=\mathbb{R}$.

$f'\left ( x \right )=3x^{2}-6+6\cos x$

$f''\left ( x \right )=6x-\sin x$

$f'''\left ( x \right )=6-6\cos x$

Ta thấy $f'''\left (x \right )\geq 0$ và $f'''\left ( x \right )=0$ tại hữu hạn điểm trên $\mathbb{R}$.

Do đó $f''\left ( x \right )$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ta thấy $x=0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

- Xét $x>0$:

Vì $f''\left ( x \right )$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f''\left ( x \right )>f''\left ( 0 \right )=0$. Suy ra $f'\left ( x \right )$ đồng biến trên đoạn $\left ( 0;+\infty  \right )$.

Vì $f'\left ( x \right )$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f'\left ( x \right )>f'\left ( 0 \right )=0$. Suy ra $f\left ( x \right )$ đồng biến trên đoạn $\left ( 0;+\infty  \right )$.

Vì $f\left ( x \right )$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $f\left ( x \right )>f\left ( 0 \right )=0$ nên phương trình $f\left ( x \right )=0$ không có nghiệm trên đoạn $\left ( 0;+\infty  \right )$.

Chứng minh tương tự với trường hợp $x<0$ ta cũng được phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

Bài 505: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x^{2}+3xy-7y^{2}}+4\left ( x^{2}+5xy-6y^{2} \right )=\sqrt{3x^{2}-2xy-y^{2}} \\ 3x^{2}+10xy+34y^{2}=47 \end{matrix}\right.$$

Bài 519:

Giải hệ PT

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3=17x^2 +13xy\\ 2y- 4=10y^2 +13xy\\ \end{array} \right. $

Xin trình bày một ý tưởng khác cho bài này, nếu ý tưởng này không tới đâu mình sẽ sửa bài viết và đăng bài toán khác

Cả hai phương trình của hệ nếu chỉ để như vậy thì không thể phân tích được. Nghĩ đến cách đặt $x=ua+vb$, $y=va-ub$ trong đó $a$, $b$ là các ẩn mới và mục dích là khử các hạng tử $ab$, $a^{2}b$, $ab^{2}$ sau khi đưa về hệ mới:

Sau phép đặt hệ trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} 2\left ( ua+vb \right )+3=17\left ( ua+vb \right )^{2}+13\left ( ua+vb \right )\left ( va-ub \right ) \\ 2\left ( va-ub \right )-4=10\left ( va-ub \right )^{2}+13\left ( ua+vb \right )\left ( va-ub \right ) \end{matrix}\right.$$

Đến đây đồng nhất hệ số để tìm $u$, $v$ (vẫn đang tiến hành rút gọn).

Vì không rút thế và không uct nữa nên đang có chút "hi vọng" cách này sẽ thành công, không biết ý bác vanchanh thế nào

Bài 519:

Giải hệ PT

$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3=17x^2 +13xy\\ 2y-4=10y^2+13xy\\ \end{array} \right. $

Một hướng dùng hệ số bất định:

Lời giải.

$$\left\{\begin{matrix} 2x+3=17x^{2}+13xy \\ 2y-4=10y^{2}+13xy \end{matrix}\right.$$

Lời giải bài 487:

Điều kiện: $-x-1\geq 0$.

Đặt: $-x-1=t^2,t\geq 0$.
Phương trình tương đương: $-1-t^2+\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}=t$

Sau khi đặt ẩn như trên ta có thể dùng AM-GM để đánh giá luôn

Phương trình tương đương:

$$\sqrt{t+\sqrt{1+2t}}=t^{2}+t+1$$

\begin{align*} \sqrt{t+\sqrt{1+2t}} &\leq \sqrt{t+\frac{1+2t+1}{2}} \\ &=\sqrt{2t+1} \\ &\leq \dfrac{2t+1+1}{2} \\ &=t+1 \\ &\leq t^{2}+t+1 \end{align*}

Dấu bằng xảy ra khi vài chỉ khi $t=0$ hay $x=-1$.

Về bài 331 và bài 187, mình đã thử giải bài 331. Nghiệm của bài này khá "xấu xí"- có lẽ không có gì đặc biệt. Tuy nhiên, không biết căn cứ vào đâu để chúng ta cho rằng đề sai. Đấy là một vấn đề thực sự khó nghĩ.

Mình nghĩ không phải ngẫu nhiên mà câu 187 mình chỉnh lại đề là thành đề thi tuyển vào chuyên năm 2014 của trường nào đấy mình không nhớ tên và bài 331 là thành đề của Quyết tâm chinh phục phương trình, hệ phương trình (bài toán đi từ việc ý tưởng xây dựng hệ bằng hệ số bất định dẫn đến cách giải thiếu tự nhiên như trên). Còn nếu đề không sai thì nghiệm "xấu" như bạn nói và bài không có gì đặc biệt thì mình nghĩ chẳng ai chế ra làm gì đâu nhỉ.

Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1+x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$

Sai đề, đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=1+y-x+xy \\ 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Câu này đề cũng không chính xác. Đề đúng phải là:

$$\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$$

Khi đó đặt $x=\dfrac{a+1}{2}$ và $y=b-2$.

Các bạn nên kiểm tra kĩ nguồn đề trước khi post lên vì đề sai giải tốn thời gian vô ích lắm .

Chào các bạn, mình xin phép được nói một vài điều "hơi liên quan" cho lắm trong topic này.

Như vậy là từ ngày được lập đến nay topic đã nhận được sự quan tâm và ủng hộ của đông đảo thành viên, điển hình là với gần 500 bài toán và với 50 trang thảo luận. Do vậy mình quyết định sẽ tổng hợp các bài toán và lời giải của các bạn lại thành một file (các bạn có thể xem một vài file tương tự như thế ở các topic trước đây mình từng làm hoặc của các diễn đàn khác). Việc tổng hợp như vậy nhằm mục đích chọn lọc những bài toán và lời giải hay lại cho tiện tìm kiếm, theo dõi và phục vụ cho việc học tập của mọi người. Do vậy mình mong các bạn khi đăng lời giải hãy cố gắng trình bày thật chi tiết và rõ ràng như đang làm một bài toán thực thụ trên giấy (vì với số lượng bài toán gần 500 mình sẽ phải gõ lại Latex và chỉnh sửa lại rất tốn thời gian) việc này sẽ giúp mình rút ngắn thời gian hơn.

Xin cảm ơn và chúc topic ngày càng phát triển 

----

Đây là mẫu mình đang làm nếu hai bạn đang làm thấy ổn thì liên lạc qua hòm thư giúp mình với nhe (mạng lag quá mình load nãy giờ không được :-s).

$\iff b^4+\sqrt{2}b^2-2\sqrt{2}b-\sqrt{2}+2=0$

 

$\iff (b^2-\sqrt[4]{2}b+\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(b^2+\sqrt[4]{2}b+\sqrt[4]{2}+2)=0$

Phiền bạn trình bày rõ cách tách đoạn này giúp mình với vì mình cũng làm tương tự nhưng đến đoạn bậc bốn tách này mình làm khá lằng nhằng và đôi khi tách không được

Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Lời giải.

$$x^{2}+\left ( 3-\sqrt{x^{2}+2} \right )x=1+2\sqrt{x^{2}+2}$$

Bài 491: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$

 

P/S: Đây là một bài không quá khó nhưng cách giải khá đa dạng. Mong mọi người đóng góp nhiều hướng đi khác nhau. 

Cách khác tương tự với cách thứ hai một chút:

Lời giải.

Trừ vế theo vế phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai ta được:

$$9xy\left ( y^{2}+3x-1 \right )=25\left ( y-1 \right )^{2}$$

Do đó ta có hệ tương đương sau:

$$\begin{cases} 9xy\left ( y^{2}+3x-1 \right )=25\left ( y-1 \right )^{2} \\ 9xy+\left ( y^{2}+3x-1 \right )=10\left ( y-1 \right ) \end{cases}.$$

Đặt $9xy=a$, $y^{2}+3x-1=b$ thì hệ trở thành:

$$\begin{cases} ab=25\left ( y-1 \right )^{2} \\ a+b=10\left ( y-1 \right ) \end{cases}.$$

Do đó $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình ẩn $t$:

$$t^{2}-10\left ( y-1 \right )t+25\left ( y-1 \right )^{2}=0$$

Bài 491: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 9xy^3-24y^2+\left(27x^2+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^2 +\left(9x-10 \right)y+3\left(x+3 \right)=0 \end{cases}.$

 

P/S: Đây là một bài không quá khó nhưng cách giải khá đa dạng. Mong mọi người đóng góp nhiều hướng đi khác nhau. 

Lời giải.

$$\begin{cases} 9xy^{3}-24y^{2}+\left( 27x^{2}+40 \right)y+3x-16=0 \\ y^{2}+\left( 9x-10 \right)y+3\left( x+3 \right)=0 \end{cases}.$$

Đến đây hi vọng rằng hệ đã dễ dàng giải hơn

Đặt $a=9xy+9$, $b=3x+y^{2}$. Khi đó hệ trở thành:

$$\begin{cases} a+b=10y \\ \left ( a-9 \right )b+b=25y^{2}-40y+16 \end{cases}.$$

Thay $a=10y-b$ vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình:

$$\left ( 10y-b-9 \right )b+b-25y^{2}+40y-16=0$$

Ngủ trưa dậy suy nghĩ tiếp

Bài 487. Giải phương trình:

$$x+\sqrt{\sqrt{-x-1}+\sqrt{1+2\sqrt{-x-1}}}=\sqrt{-x-1}$$

Nhờ mọi người giúp em bài này ạ:

Bạn đánh số thứ tự bài theo quy định của topic và