Trước đây ông thầy người Pháp hướng dẫn mình có chê toán olympic của Việt Nam không phải khoa học. Điều này có lẽ không phải bàn cãi, tức là toán phổ thông Việt Nam cũng nổi tiếng ở một nước tiên tiến về toán, theo nghĩa tiêu cực.

Nhưng cần suy nghĩ điều này thấu đáo vì hiện giờ ở Việt Nam, toán olympic là loại toán hấp dẫn với học sinh phổ thông, nếu không dùng nó thì cái gì để thu hút các em làm toán học hoặc khoa học? Mặc dù nó không hiệu quả, ai học chuyên là rõ nhất. Để nhiều bằng chứng hơn, hãy so với Pháp: phong trào olympic nghèo nàn, đi thi imo thì lúc nào cũng xếp sau Việt Nam, nhưng số lượng sinh viên đăng ký học toán gấp nhiều lần so với Việt Nam, cả lý thuyết và ứng dụng. Ở đây mình không bàn về chất lượng, chỉ tập trung vào số lượng. Vì vậy, mình mở ra post này, để anh em trên diễn đàn có thể lạm bàn. Mình xin tóm tắt lại một số vấn đề, cũng như đưa ra một số câu hỏi (tất nhiên không giới hạn việc thảo luận trong những vấn đề này):

1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài);

2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn.

Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho khoa học hơn hay không, việc mình thấy thích hơn là chúng ta tự thảo luận. Mặt khác, không hy vọng thay đổi bộ mặt giáo dục nước nhà được vì diễn đàn không phải bộ giáo dục, nên những thứ thay đổi được trước mắt chỉ có thể làm được trên diễn đàn. Nhưng, sân chơi mà diễn đàn đã tạo ra thì không hề nhỏ, nên nếu có hướng đi đúng thì diễn đàn có thể tạo ra đóng góp lớn, giống như đã làm cách đây khoảng 20 năm với bất đẳng thức ở Việt Nam. Mình cũng xin nêu một số ý kiến:

1. Nhắc lại rằng không phải cái gì trong toán olympic cũng không có ích, vấn đề chỉ là làm quá nhiều sẽ trở nên vô nghĩa. Nên nhớ rằng chỉ có vài người cần thi thố, và càng ít hơn nhiều người được fame cao nhất, nên không thể để tất cả mọi người đều không thu được gì hết. Như vậy, những kỹ năng cơ bản của toán olympic gồm có hình học phẳng, số học chỉ cần đến hết lớp 9 là đủ. Nhưng toán rời rạc cũng như phương trình hàm thì phức tạp hơn (mình không rõ còn thiếu thứ gì trong toán olympic không?);

2. Phương trình hàm trong toán olympic hiện nay khiến cho nó trở thành kỹ năng vô dụng nhất. Nguyên nhân là vì bài toán thường bắt giải một phương trình hàm rất phức tạp rối rắm, nhưng nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc. Từ góc độ khoa học, ta đang cố mô tả một sự kiện đơn giản bởi một phương trình hết sức phức tạp, làm như vậy là phản khoa học. Chẳng hạn, chỉ có duy nhất hàm số thực 0 thỏa mãn $f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2$. Có ai lại đi dùng phương trình hàm này để mô tả số 0? Một tình huống phương trình hàm có ích là khi ta không thể mô tả được một đối tượng một cách chính xác, nhưng nhờ phương trình hàm, ta vẫn thu được thông tin hữu ích của đối tượng đó, chứ không phải đi tìm hết các nghiệm của một phương trình hàm. Chẳng hạn, một dạng modular cần thoả mãn một phương trình hàm xác định, hay phương trình giữa các degeneracy maps (ánh xạ thoái hóa?) giúp ta xác định một vật nửa đơn hình. Mình chưa nghĩ ra tình huống nào có ích ở phổ thông, có lẽ cần tới đâu thì học tới đó chứ không nhất thiết phải tách ra để học. Còn nếu cố học thì phải theo hướng khác mới gần với khoa học chứ không phải là bài toán tìm hết các nghiệm;

3. Không cần bàn nhiều về Toán rời rạc/tổ hợp olympic vì nó không cách xa so với nghiên cứu. Nhưng cần bổ sung thêm phương pháp xác suất;

4. Nói thêm về bất đẳng thức, người ta sử dụng chúng để thu được thêm thông tin về một đối tượng toán học, ví dụ như một phiên bản của bất đẳng thức Harnack được sử dụng trong chứng minh giả thuyết Poincaré, hoặc nguyên lý mô đun cực đại giúp chứng minh một hàm là hằng. Như vậy, nói nôm na bất đẳng thức quan trọng là vì những chuyện bên ngoài chứ không chỉ kết thúc ở việc chứng minh. Những bất đẳng thức trong toán olympic hầu hết chỉ liên quan đến đối xứng/không đối xứng, sử dụng biến đổi đại số, không có các yếu tố hình học hay số học. Khi có các yếu tố này thì phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, những kỹ năng biến đổi đó trở thành vô ích;

5. Mình nhận thấy từ rất lâu rồi nhiều mục diễn đàn không cập nhật phương pháp mới hay tài liệu mới. Bản thân mình ngại viết vì lười. Có nên chăng diễn đàn yêu cầu các điều hành viên thường xuyên tìm trong các post các lời giải nào có phương pháp thì tổng hợp lại, copy các lời giải này làm ví dụ cho phương pháp. Việc tổng hợp thường xuyên sẽ tạo ra tài liệu tốt cho thành viên mới và chất lượng của chúng là nguyên nhân lớn để thu hút thành viên mới. Mình đề xuất thêm nữa là tất cả bài trong mục tài liệu, phương pháp nên được tổng hợp lại và đăng lên trong một post và chỉnh sửa cập nhật post này thường xuyên, sắp xếp một cách hợp lý để cho dễ đọc. Khi đọc một cách tuyến tính như đọc sách sẽ tiếp thu nhanh hơn. Lấy ví dụ như stackproject. Trang này không viết quá nhiều thứ mới trong hình đại số, nhưng nhờ tổng hợp và viết lại các tài liệu mà giờ rất nhiều người sử dụng trang này để học và nghiên cứu;

6. Giả sử chúng ta đã biết nên học gì ở phổ thông thì làm sao định hướng các em trên diễn đàn học và quan tâm những vấn đề đó? Cái này thì mình chưa suy nghĩ kỹ.

Mình cảm thấy nhiều tạp chí như pi, epsilon khiến cho việc quan tâm tới toán học nghiên cứu ngày càng lớn hơn, mình hi vọng diễn đàn có thể bắt kịp xu thế này. Lợi thế của diễn đàn là có rất nhiều người đang làm toán nghiêm túc. Về kiến thức thì chúng ta không thiếu, nhưng cần suy nghĩ nghiêm túc để phát huy sức mạnh.

Em thấy bài viết của anh rất hay. Tuy nhiên em chỉ muốn anh giải đáp một chút thắc mắc của em về điều này:
Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.


Cho em hỏi là điều anh đang nói đến sự 'vô dụng' của phương trình hàm ở đây là anh đang nói đến thực tiễn của chúng, hay anh đang nói đến sự áp dụng của nó trong nghiên cứu toán học, hoặc là cái khác? Và em cũng muốn hỏi là tại sao anh lại mặc định vào phương trình hàm là 'nghiệm thu được lại tầm thường hoặc toàn là những hàm quen thuộc'? Em cảm thấy phương trình hàm có những cái vẻ đẹp riêng thuộc về nó, phương pháp rất đa dạng chứ không phải ở việc là chỉ đưa về các bài toán quen thuộc nhưng anh vẫn thường nghĩ.

Mong anh giải đáp giúp, 'from pcoVietnam02 from Vietnam and Patrick in Paris'.

Pco hãy cho thử một phương trình hàm và đưa ra nghiệm của nó (không cần chứng minh) cho mình xem.

Nếu anh đưa một số phương trình hàm đơn giản, ví dụ như: 
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x+1)=f(x)+1$$
Thì đương nhiên anh sẽ dễ dàng đưa ra nghiệm là $f(x) = x$
 
Nhưng khi anh đưa một bài phương trình hàm kiểu như:
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ thỏa:
$$f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1$$
Thì anh khó có thể nhẩm hàm $f(n)$ thỏa, thậm chí đáp án của nó là tận 3 kết quả, một kết quả là hàm hằng, một cái là hàm tính theo $n$ , còn một cái là một biểu thức chứa số mũ tính theo $n$
 
P/s: Nhưng em vẫn chưa thật sự hiểu vì sao anh lại đề nghị như vậy, vì thật sự nếu anh yêu cầu em đưa ra một bài toán mà không cần chứng minh vẫn đưa ra được đáp án, thì thực chất nó không còn là giải toán, mà chỉ là việc anh đi nhẩm nghiệm để rút ngắn thời gian tìm đáp án cho bài toán ấy.

Pco nói rõ hơn 2 nghiệm không phải hằng định nghĩa như thế nào.

Như bài toán lúc trước, nếu ta chứng minh một cách đàng hoàng, thì ta sẽ có nghiệm là
$$ f(n)=n+1 , \forall n \in\mathbb{N}$$
$$ f(n)= 1, \forall n \in\mathbb{N} $$ 
$$ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $$
Ở đây nếu ta chia trường hợp trong bài toán này thì sẽ dễ dàng suy ra hai nghiệm đầu tiên là $f(n)=n+1$ và $f(n)=1$. Nói sơ về hàm khác hằng là hàm có phụ thuộc vào giá trị $n$, tức là với các giá trị $n$ thuộc tập hợp $\mathbb{M}$ ta lại có các giá trị ở tập đích nằm trong tập $\mathbb{N}$ với một quy tắc trong đó có phụ thuộc $n$ (cái này đã có ở phần ánh xạ). Còn nghiệm thứ ba, $ f(n) = \frac{1+(-1)^n}{2} , \forall n \in\mathbb{N} $, khi nhìn thoáng qua ta sẽ thấy f(n) cũng chỉ chứa hai giá trị $f(n)= 0$ hoặc $f(n) = 1$. Lúc đó ta sẽ tự hỏi là tại sao ta lại không đưa đáp án là 2 hàm hằng và 1 hàm giá trị tính theo $n$ nhưng nếu suy nghĩ như thế ta không chú ý vào điều kiện $\forall n \in\mathbb{N}$. Thực chất ta chỉ chứng minh được ở đó là $f(n)=0$ với $n$ lẻ và $f(n)=1$ với $n$ chẵn. Đây chính là điều cản trở sự tính nhẩm của ta, buộc ta phải bắt tay vào chứng minh.

Mình không quan tâm tới chứng minh của nó mà mình muốn xem ý nghĩa của vấn đề đó trước. Như bạn thấy cả 3 nghiệm này không cần tới phương trình f(m+n)+f(mn)=f(m)f(n)+1 để mô tả chúng. Mình không rõ bạn có hiểu ý mình không vì mình cũng sẽ nói y như ở trên. Có lẽ bạn nên so sánh ý nghĩa của phương trình hàm với đẳng thức hay công thức trong toán học. Chẳng hạn nếu f thỏa mãn f(x+1)=f(x) trên $\mathbb{R}$ cho phép ta coi $f$ như hàm trên đoạn [0,1] hoặc một hàm trên đường tròn đơn vị, hay những f bảo toàn phép toán cộng và nhân, tức là thỏa mãn f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) đóng vai trò rất quan trọng trong đại số. Cơ bản nhất, bạn có thể tìm ánh xạ $f: S\to S$ với $S=\left\{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in \mathbb{Q} \right\}$ sao cho $f(1)=1, f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y)$ và so sánh với những phương trình hàm bạn hay giải.

$

1+1=2

$

Bản thân em hồi cấp 3 cũng từng đi luyện thi các cấp rồi đi thi VMO. Bây giờ thì em có một may mắn là đang làm luận án tiến sĩ trong mảng Combinatorial Operational Research, gần với Computer Science hơn là toán căn bản.
Khi nhìn lại thì em thấy quả thật hồi cấp 3 không luyện về mảng toán tổ hợp rời rạc nhiều hơn, bởi vì phần lớn những gì em làm, ngoài các công việc của tin học, là tìm những tính chất đặc biệt của những đại lượng hay phần tử rời rạc.
Ví dụ đơn giản như sau:
Một nhà máy nhận $n$ đơn hàng, mỗi đơn hàng $i$ có một khối lượng công việc cho trước $p_i$ và một hạn chót hoàn thành (deadline) là $d_i$. Vậy phải thực hiện các công việc theo thứ tự nào để đảm bảo có ít công việc trễ hẹn nhất?
Ai loay hoay một hồi sẽ thấy cách giải tối ưu chính là thực hiện công việc theo thứ tự tăng dần của hạn chót. Tương tự với việc khi học thi, chúng ta chọn ôn bài cho những bài thi nào trước mắt hơn là những bài sau đó. Từ một trực giác (intuition), ta cần tìm một chứng minh chặt chẽ nữa là xong
Qua ví dụ này, có thể thấy kỹ năng đúc kết tính chất và chuyển đổi tương đương là cực kỳ quan trọng, không chỉ trong mảng COR này mà còn các mảng khác, như Bằng đã nói bên trên.
 
Nhìn chung, theo kinh nghiệm em và những người bạn và đàn em của em, toán Olympic VN hiện tại còn sa đà trong kỹ thuật và bỏ qua chuyện luyện cho học sinh khả năng nhìn đa chiều và suy luận. Khắc phục cái này thì cần công sức dài hơi không chỉ ở các giáo viên mà còn ở các bậc lãnh đạo.
Vai trò của VMF theo em thì tuy chỉ dừng lại ở mức truyền lửa và tạo môi trường thảo luận nhưng chúng ta có nhiều người đi trước từ nhiều lãnh vực. Nếu tạo được sự kết nối và giao lưu giữa thành phần tiên phong này và các bạn mới chập chững vào thì sẽ là một sự thúc đẩy rất đáng kể

Có cách nào trên code cho phép sử dụng môi trường và ref lại được không? Nếu không thì rất khó viết được post dài trên diễn đàn.

Còn một chủ đề nữa trong toán olympic là giải tích. Gần như các bài giải tích chỉ xoay quanh một câu hỏi rất nhảm là tính giới hạn dãy số, làm cho học sinh tưởng là giải tích chỉ có mỗi vậy.

Anh không nhớ rõ lắm, nhưng hình như giải tích ở phổ thông khi học về dãy số cũng được dạy định nghĩa sử dụng $\epsilon.$ Không hiểu sao thay vì đi tiếp theo hướng thuần túy giải tích hơn thì lại chỉ tập trung vào tìm giới hạn của dãy số. Anh đang có ý tưởng là nếu giải tích đủ tốt như vậy thì học sinh thay vì đi tìm giới hạn dãy số có thể học được hình học vi phân của đường cong và mặt nhúng trong $\mathbb{R}^3$. Vì định nghĩa của tập mở trong $\mathbb{R}^3$ dễ nói, sau đó định nghĩa được tập mở của các tập con của nó và như vậy có thể đi tiếp được như bình thường. Anh đang nghĩ tới nội dung như quyển sách của do Carmo. Nhưng hiện tại code trên diễn đàn không cho phép sử dụng môi trường và ref nên không thể viết được gì dài hơi hay tổng hợp lại được.

Bản thân mình đang học năm hai của đại học sư phạm và thấy một số thứ mình đã từng học ở Olympic xuất hiện lại ở bậc Đại học (Số học ở Olympic và Đại số đại cương-Lý thuyết số ở Đại học, các khái niệm hàng điểm điều hoà - hình học xạ ảnh, ...) và mình tìm thấy sự thú vị trong đấy. Đó là lý do mình tiếp tục chọn tìm hiểu sâu vào những khái niệm ấy. Mình nghĩ học (một số chủ đề của) toán Olympic là một bước đà (về mặt tư duy và cả tinh thần!?) để có niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về toán. 

Tất nhiên, mình cũng không biết các dạng toán như phương trình hàm hay những bài hình rối một cục thì có giúp tạo ra động lực và rèn luyện tư duy cho các bạn học sinh để học toán cao cấp, thứ gần với thực tiễn hơn toán Olympic.
 
Câu hỏi mình cũng muốn đặt ra là nếu xét trên phương diện rèn luyện tư duy thì chừng nào là đủ với các học sinh chuyên? Chủ đề nay cần phải bàn luận thật kĩ vì giáo dục ảnh hưởng đến tương lai con người.
 
Còn một vấn đề nữa là những người bạn cùng khoá của mình có cả học sinh giỏi quốc gia và các bạn học ở những trường bình thường nhưng khả năng làm toán cao cấp của các bạn ấy đều là ngang nhau. Không biết Olympic có giúp tạo ra sự khác biệt gì không?

Hình học xạ ảnh hay lý thuyết số mà được học ở đại học thì đúng là phong cách ở sư phạm rồi, vì cả hai môn này lại không được dạy ở khoa học tự nhiên. Nên mình thấy trải nghiệm cá nhân cũng có thể dùng làm bằng chứng, nhưng không vững chắc lắm. Có vẻ như mình cũng chưa nói rõ, nhưng mình không muốn bàn chuyện thi cử ở đây vì chuyện đó quá rõ ràng rồi. Luôn phải có một kỳ thi, dù là thi cái gì. Còn nội dung ta thay đổi, như mình đã nói trước ở trên, là với anh em trên diễn đàn thôi chứ không phải giáo dục con người quy mô lớn. Cái này nếu nói mà các quan nghe thì đã chả có kỳ thi trắc nghiệm =).

Chào các bạn,

Hôm nay nhận được mail nhờ kích hoạt tài khoản của một thành viên mới đăng kí, nên vào diễn đàn kiểm tra mới thấy topic này. Chủ đề thảo luận quá hay! Cảm ơn Nxb.
Đúng là chương trình Toán phổ thông (không chỉ Olympic) của Việt Nam hiện nay còn rất nhiều hạn chế. Vì đang bận nhiều việc gấp quá nên tiếc là không viết dài được, hẹn các bạn vài ngày nữa sẽ tham gia thảo luận. Chỉ có lưu ý nhỏ đó là tất cả những thứ đang được dạy đều có ích nhé các bạn (ví dụ như các phương trình hàm ở trên), nhưng vấn đề chính ở đây là nên dành thời gian và công sức để dạy và học những thứ có ích hơn.



Được chứ, diễn đàn hỗ trợ môi trường và tham chiếu (cả \ref hay \eqref) từ lâu rồi mà. Bạn xem thêm ở đây nhé: https://diendantoanh...-đàn/?p=352154. Rất mong chờ các bài viết của Nxb đấy

Em muốn ref lại một theorem thì làm thế nào?

PS: Em nghĩ mình cần thảo luận thêm, cố gắng không bàn lùi chứ em sợ sẽ không giải quyết được vấn đề gì như nhiều năm trước. Nay diễn đàn rất đông anh em làm toán, hi vọng chúng ta phát huy được sức mạnh tập thể.

Nhắc đến chuyện giải tích thì hồi cấp 3 em cũng may mắn vì thầy chủ nhiệm dạy cho bọn em lý thuyết giải tích rất đầy đủ chứ ít dạy mấy cái tính giới hạn dãy số, gần như giống hệt chương 1, 3 và 4 trong sách của thầy Tiến cho nên vào đại học em không bị ngợp quá. Thầy cũng từng học khoa Toán-Cơ trường mình, lúc tốt nghiệp chỉ đứng sau thầy Vĩnh (GS. Phan Chí Vĩnh).
 
Thêm một câu chuyện nữa là hồi em học đội tuyển thì có một thầy ở Đà Nẵng bảo với bọn em rằng thực ra cách dạy giải tích ở Việt Nam hơi nhùng nhằng vì không định hướng rõ ràng xem cấp 3 nên dạy cái gì và đại học nên dạy cái gì, thành ra có nhiều lúc người ta vác hết mấy thứ đại học xuống dạy theo kiểu thủ thuật, cuối cùng kết quả cũng không khả quan lắm (theo nghĩa là học sinh lên ĐH học giải tích thì vẫn cứ như mới). Điển hình nhất là đề thi HSG quốc gia năm 2019, họ nhồi định lý giá trị trung gian vào đó khiến cho năm đó học sinh gần như bỏ hết vì chỉ được dạy giải tích ở mức độ thấp.

Vutuanhien nói chuyện này làm anh nghĩ tới việc tại sao rất nhiều nội dung hình học phổ thông lại không dùng vào bất cứ lĩnh vực nào trong toán học vì dường như ngoài việc chỉ nói được những thứ tuyến tính như cái kim tự tháp thì không thể nói sang bất cứ hình thù nào khác. Nói thêm, ví dụ việc coi véc tơ như một đoạn thẳng có hướng chỉ đặc thù vật lý, nhưng liên hệ giữa tập nghiệm của hệ phương trình với tính hình học của nó lại không được nhấn mạnh!

Nếu chúng ta làm những chủ đề thảo luận và tổng hợp chung, thì thay vì chỉ ra mỗi cái đề và mục tiêu chứng minh, chúng ta nên chuyển sang hướng mày mò và khai thác? Như thế sẽ dễ tạo các liên hệ và mở rông hơn.
Ví dụ, một bài toán chúng ta đặt ra một mục tiêu cần chứng minh, sau đó lập một dãy các bước nhỏ cần có để đạt chứng minh đó, nhưng không dừng lại ở đấy.
Chúng ta sẽ gợi ý thêm rằng kết quả này có thể dẫn tới kết quả nào khác? Hoặc những kết quả kinh điển nào khác có thể cũng dẫn tới cùng chứng minh trên?
Thú thật thì em thấy phương án này cần người dẫn dắt phải có kỹ năng sư phạm nhất định và tầm hiểu biết rộng Nhưng với lợi thế số đông và sự hăng hái thì biết đâu chúng ta có thể cùng đạt được mục đích?

Mình thấy các bài post đăng lẻ tẻ như cũ không vấn đề gì. Chỉ là mình mong các điều hành viên tự tổng hợp lại thường xuyên. Ví dụ như trong một câu trả lời trên diễn đàn, nếu có chưa đựng một phương hoặ ứng dụng của một định lý nào đó hay, thì điều hành viên sẽ cho định lý đó vào một post chung và lấy lời giải đó như một ví dụ minh họa cho định lý hay phương pháp đó.

Nhắc đến chuyện giải tích thì hồi cấp 3 em cũng may mắn vì thầy chủ nhiệm dạy cho bọn em lý thuyết giải tích rất đầy đủ chứ ít dạy mấy cái tính giới hạn dãy số, gần như giống hệt chương 1, 3 và 4 trong sách của thầy Tiến cho nên vào đại học em không bị ngợp quá. Thầy cũng từng học khoa Toán-Cơ trường mình, lúc tốt nghiệp chỉ đứng sau thầy Vĩnh (GS. Phan Chí Vĩnh).
 
Thêm một câu chuyện nữa là hồi em học đội tuyển thì có một thầy ở Đà Nẵng bảo với bọn em rằng thực ra cách dạy giải tích ở Việt Nam hơi nhùng nhằng vì không định hướng rõ ràng xem cấp 3 nên dạy cái gì và đại học nên dạy cái gì, thành ra có nhiều lúc người ta vác hết mấy thứ đại học xuống dạy theo kiểu thủ thuật, cuối cùng kết quả cũng không khả quan lắm (theo nghĩa là học sinh lên ĐH học giải tích thì vẫn cứ như mới). Điển hình nhất là đề thi HSG quốc gia năm 2019, họ nhồi định lý giá trị trung gian vào đó khiến cho năm đó học sinh gần như bỏ hết vì chỉ được dạy giải tích ở mức độ thấp.

Vutuanhien và nmlinh16 có thấy chủ đề nào trong số học cấp 3 cần thêm vào? Anh thấy lý thuyết số bây giờ so với số học sơ cấp khoảng cách rất lớn. Những thứ như chương trình Langlands, hình số học cái cần là hình đại số, giải tích,... Nên anh mới nghĩ là có khi thà không học gì số học từ sau lớp 9 còn hơn.

Ồ đúng là lúc đọc anh không nghĩ đến môi trường định lý. Hiện tại chưa có giải pháp nhưng anh nghĩ định lý và tài liệu tham khảo đánh số bằng tay cũng được vì số lượng trong bài viết thường không nhiều như phương trình. Sau này anh sẽ tìm cách thêm vào (ý tưởng là sẽ hack chức năng đánh số của MathJax nhưng không biết có khả thi hay không, nhưng một điều chắc chắn là sẽ mất khá nhiều thời gian đấy). Nếu anh em có thể đóng góp nhiều bài viết chất lượng thì mình cũng có thể nghĩ đến việc ra đời một blog Toán học chẳng hạn, lúc đó thì chất lượng trình bày sẽ có thể tốt hơn rất nhiều so với trên diễn đàn. Tất nhiên đây đều là những việc của tương lai, mình có thể thảo luận trong một chủ đề khác để khỏi làm loãng chủ đề này của em.
 

 
Anh rất vui vì em đã đặt câu hỏi cho vai trò của diễn đàn (điểm thứ 5 và 6) trong cuộc thảo luận này. Việc tổng hợp các tài liệu đúng là một việc nên làm. Nếu làm được thành các chuyên đề (như trước đây đã từng làm) thì rất tốt, nhưng việc dễ nhất (lại rất có ích) đó là đúng như em nói, nên có các topic tổng hợp để cho mọi người dễ tìm (như là mục lục vậy). Sắp tới sẽ tiến hành việc này (nhưng trước hết là cần tìm một người tình nguyện để dẫn dắt dự án này). Còn về điểm thứ 6:
 

 
Anh cũng chưa thấy rõ ràng lắm là diễn đàn có thể làm những gì cụ thể. Xin mời mọi người cùng cho thêm ý kiến.
Thực ra thì lợi thế mà em nói, "có rất nhiều người đang làm Toán nghiêm túc", anh cũng không biết là có đúng không nữa. Anh thì lại cho rằng hiện tại trở ngại lớn nhất chính là nhân lực. Theo quan sát của anh thì những năm gần đây diễn đàn chỉ mạnh về Toán THCS và THPT (số thành viên tham gia Toán Olympic, Toán Đại Học thì ít hơn nhiều, Nghiên Cứu thì lại càng ít). Nếu có nhiều người giỏi thì anh nghĩ là mình cũng có thể làm được kha khá việc hay.
Chắc hôm nào anh em điểm danh lại phát, xem có những ai, đang học và làm việc gì ở đâu. Biết đâu đấy...
 
Ít ngày tới anh sẽ thảo luận thêm về các điểm khác ra trong post đầu tiên của em.

Về việc định hướng diễn đàn, em đang có ý tưởng là có lẽ cần mở ra một box và viết thử nghiệm lý thuyết vào đó. Cái đầu tiên cần viết chắc là lý thuyết tập hợp, vì lý thuyết tập hợp và logic được dạy trong nhiều tài liệu cơ bản và nâng cao, nhưng dường như chẳng đóng vai trò gì lớn; ngoài ra cần phát triển phần này vừa đủ để mình có thể nói sang giải tích hay hình học. Em thấy cái này có thể thay đổi diễn đàn rất lớn, nhưng không loại trừ theo hướng tiêu cực; nhưng em quan niệm một box như vậy chỉ dùng để thử nghiệm, nếu sai hay lạc hướng cũng sẽ không có hại gì. Nếu box đó được thành lập, em nghĩ vẫn giữ cách chia cũ gồm 2 phần, gồm tài liệu + các bài toán và vấn đề. Trong phần tài liệu sẽ có 2 chủ đề, một chủ đề để thông báo tiến độ viết bài cũng như bình luận của các thành viên, còn chủ đề còn lại có một post duy nhất cập nhật tài liệu. Phần các bài toán và vấn đề vẫn giữ chức năng như cũ.

Em thấy có nhiều đề thi lớp 9 người ta còn cho giải phương trình đường cong elliptic. Vậy thì có thể giới thêm chủ đề giới thiệu về mật mã chẳng hạn. Cái này em nghĩ phải suy nghĩ cẩn thận.

Sẽ rất tuyệt nếu nói được đường cong elliptic. Anh thấy khá khả quan là ta có thể phát triển được lý thuyết về đường cong xấp xỉ mấy chương đầu của Fulton bằng cách thừa nhận Hilber's basis theorem. Không biết liệu thế này có đủ với vutuanhien?

Với mỗi tập đơn hình $S_{•}$ chiều $\leq 1,$ ta có đồ thị $Gr(S_{•})$ với các đỉnh là tập $S_0,$ các cạnh là các 1-đơn hình không suy biến. Các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ (có lẽ chỉ cần là một vật đơn hình ở đây) song ánh với $Hom(Gr(S_{•}),G(\mathcal{C}))$, với $G(\mathcal{C})$ là một đồ thị có các đỉnh là các vật của $\mathcal{C}$ và các cạnh là các cấu xạ trong $\mathcal{C}.$ Vì vậy mình có thắc mắc sau:

1. Nếu $S_{•}$ có chiều $\leq k,$ các $j$-đơn hình không suy biến với $j\leq k$ có tạo thành cấu trúc nào có nghĩa không? (ví dụ như đồ thị trong trường hợp $k=1$ ở trên.)

2. Nếu có cấu trúc rõ ràng, các ánh xạ từ $S_{•}$ sang $\infty$-phạm trù $\mathcal{C}$ được mô tả thông qua cấu trúc đó như thế nào?

Ý anh là những cái này sẽ đưa vào chuyên đề cho học sinh chuyên Toán? Em nghĩ là có thể được, ví dụ như ở VN thì em thấy đã có MaSSP cũng làm được điều này. Có điều nội dung phải xem xét kĩ, vì Hình học Đại số đòi hỏi khá nhiều chi tiết. Ở cấp 3 thì em nghĩ nắm được trực giác và ứng dụng là ổn.

Anh hi vọng nói được về đường cong hoặc mặt sử dụng hình đại số. A nghĩ phần này quan trọng vì học sinh tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình mà lúc nào cũng ra hữu hạn nghiệm là việc vô lý, cần cho thấy khía cạnh liên quan đến hình học của hệ phương trình. Nói hình đại số hiện đại thì không thể nói được rồi, nên mình chỉ nói về đường, mặt. Về ứng dụng a ngó qua sách Fulton thì thấy có định lý Bézout. Vutuanhien có bổ sung ứng dụng nào không?

Tiện thể tóm tắt ý kiến của mọi người. Các nội dung mà các thành viên nghĩ cần thay đổi hoặc bổ sung trên vmf
- Lịch sử toán học: Mr handsome ugly
- Số học cổ điển: Mr handsome ugly, bangbang1412, tritanngo99
- Đại số tuyến tính: bangbang1412
- Toán rời rạc/tổ hợp: perfectstrong, tritanngo99
- Giải tích: Nxb, vutuanhien, nmlinh16
- Xác suất: Nxb
- Đường cong và mặt theo giải tích: Nxb
- Đường cong theo và mặt đại số: Nxb
Ngoài ra có một số ý kiến về việc định hướng hoặc phát triển diễn đàn, nhưng các thành viên đều không thống nhất được với nhau. Anh Nesbit và bangbang1412 đề nghị mình viết thử. Chắc giờ chỉ có anh Nesbit là cho ý kiến cuối cùng được (không thấy ai cấp cao hơn ở đây).

Em nghĩ nếu đã nói về đường cong elliptic thì có thể nói thêm về nguyên lý Hasse (local-global principle). Nguyên lý này quan trọng ở tư tưởng chứ không hẳn chỉ có ích với mỗi phương trình Diophante. Chẳng hạn em lấy ví dụ về phiên bản ở các lĩnh vực khác:

• Hình học vi phân: Định lý Gauss-Bonet liên hệ về độ cong (địa phương) và đặc trưng Euler (toàn cục).
• Giải tích: Các định lý cơ bản như Green's, Stokes', Divergence theorem (liên hệ tích phân trên đường/mặt với biên).
• Tổ hợp: Một đồ thị có chu trình Euler (toàn cục) nếu các đỉnh đều có bậc chẵn (địa phương).
• Lý thuyết trường các lớp: Các kết quả địa phương dẫn đến toàn cục. Định lý Kronecker-Weber cho $\mathbb{Q}_{p}$ sẽ suy ra kết quả cho $\mathbb{Q}$.
• Hình học Đại số: Một hàm trên $\mathbb{A}_{k}^{n}$ không có kỳ dị thì nó phải là hàm đa thức. Tổng quát chính là định lý $A = \bigcap_{\mathfrak{p}} A_{\mathfrak{p}}$.
• Đại số giao hoán: Nghiên cứu các tính chất của vành địa phương sẽ trả lại tính chất của vành ban đầu (injective, surjective morphism, reduced ring,...)
• Các loại đối đồng điều về cơ bản có thể hiểu là mô tả các obstruction (cản trở) giữa kết quả ở địa phương và kết quả ở toàn cục.
• Còn gì nhờ mọi người bổ sung nốt...

Ý anh là nói cho phổ thông thôi. Có lẽ 1,2,3 có thể nói được.

À em đang minh họa cho việc vì sao ý tưởng địa phương-toàn cục quan trọng. Còn nói cho phổ thông thì không thể quá khó. Có điều em chưa nghĩ ra chủ đề gì để gợi ý học sinh thử tập suy nghĩ theo ý tưởng này. Anh có ý kiến gì không ạ?

Trong lý thuyết số thì anh thấy khó không nói được vì phải nói về số p-adic. Còn có thể trong hình học sẽ có lúc nói về thớ.

Em nghĩ là về đường cong elliptic (chủ yếu phần khó nhất vẫn là tính kết hợp của phép toán) thì có thể trình bày cho học sinh phổ thông theo hai hướng 
 
- Hướng 1: chứng minh tính kết hợp bằng định lý Bézout, cách này khá trực quan nhưng lại ad hoc.
- Hướng 2: trình bày theo ngôn ngữ hình học đại số cổ điển (khái niệm ước, không gian $L(D)$ và số $\ell(D)$, định lý Riemann-Roch...) tuy nhiên định lý Riemann-Roch thì lại không tầm thường.
 
Về ECC thì có sử dụng một kết quả quan trọng là định lý Hasse (trường hợp riêng của giả thuyết Weil), em chưa biết là nên trình bày chứng minh thế nào ngoài việc tính toán trâu trên hàm hữu tỉ).

Anh ủng hộ hướng 1.

Chào các bạn,
 
Mấy ngày vừa rồi bận quá, mãi hôm nay mới tranh thủ chút thời gian vào cập nhật. Topic đang phát triển theo hướng tốt, cảm ơn các bạn đã tham gia thảo luận.
 
Tuy không còn quan trọng với mạch thảo luận nữa, nhưng do hôm trước có nói với các bạn là "những thứ được dạy hiện nay trong môn Toán đều có ích" nên bây giờ xin nói rõ hơn một chút. Môn Toán ngoài việc dạy những kiến thức “dùng được” thì cũng có vai trò rèn luyện tư duy cho học sinh. Để cho dễ hiểu các bạn có thể so sánh với môn thể dục chẳng hạn, thể dục là để rèn luyện cho cơ thể, còn Toán là để rèn luyện cho bộ não. Trong môn thể dục, bài tập chạy hay chống đẩy không phải là để cho học sinh chạy nhanh hơn hay là chống đẩy giỏi hơn, mà chung quy lại mục đích của những bài tập đó đều là để cơ thể khoẻ mạnh hơn. Bởi vậy nếu hỏi “tại sao em lại phải học tính tích phân, ra trường chẳng dùng được vào việc gì”, thì cũng gần như là “tại sao phải chống đẩy, trong cuộc sống em chẳng bao giờ phải chống đẩy”.
 
Tất nhiên là việc rèn luyện tư duy cũng chỉ là một trong những vai trò của môn Toán mà thôi. Một vai trò khác nữa, quan trọng hơn, đó là chuẩn bị hành trang và nền tảng kiến thức (background) để cho các em học những thứ khác. Điều này không chỉ quan trọng cho những em đi theo ngành Toán (như Nxb đã nêu ra ở trên), mà còn cho tất cả những ngành khoa học khác nữa. Cho nên hoàn toàn đồng ý với các bạn rằng nhiều thứ đang được dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện tại cần được thay thế bằng những kiến thức khác có ích hơn.
 
Theo góc nhìn từ Toán ứng dụng (bao gồm: Tối ưu, Khoa học Máy tính, Trí tuệ Nhân tạo, v.v...) của Nesbit thì những thứ sau nên được dạy sớm hơn và kĩ hơn ngay trong chương trình phổ thông:
 
1. Xác suất, thống kê.
2. Đại số tuyến tính.
3. Giải tích nhiều biến.
4. Toán rời rạc (bao gồm cả lý thuyết đồ thị).
 
Nên lược bỏ một phần lớn thời lượng của Hình học phẳng, Bất đẳng thức, Phương trình hàm như Nxb và các bạn đã nêu ở trên (danh sách này chỉ là một số ví dụ). Chẳng hạn trong Hình học phẳng, những phương pháp kiểu như vẽ thêm tiếp tuyến (hoặc hình phụ nói chung) có thể nhắc đến sơ qua chứ không nên dạy nhiều, cần tập trung đi nhanh để học sinh có đủ background học Đại số tuyến tính ngay từ lớp 11 hoặc 12. Với Bất đẳng thức thì thay vì dạy những kĩ thuật quá mưu mẹo, cần tập trung dạy cho học sinh thành thạo các phương pháp dễ nhớ, dễ áp dụng như nhân tử Lagrange và các phương pháp dùng đạo hàm nói chung.
 
Tất nhiên là chỉ bàn vậy thôi, chứ chúng ta hiện tại không thể thay đổi gì được nhiều. Ý tưởng của Nxb là viết bài và thảo luận (về những kiến thức “có ích”) để khơi gợi hứng thú của các em học sinh trên diễn đàn về những mảng này, đó cũng là một ý rất hay. BQT sẽ hỗ trợ các bạn tối đa trong việc thực hiện.
 

 
Trong danh sách em nêu ở quote bên dưới thì có vẻ như là những box hiện tại đều đã có. Anh vừa tạo thêm box con "Tài liệu và chuyên đề" cho mỗi box của Toán Đại cương, đúng theo ý của em. Lưu ý là hiện tại đã có một box chung Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp, nên sau này chúng ta cần phải chuyển bài từ box này vào các box riêng tương ứng. Anh cũng đã set em thành ĐHV Đại học để tiện cho công việc (em không thích thì nhắn anh để sẽ set lại như cũ nhé, tuy nhiên dù như vậy cũng cần phải làm ĐHV "ngầm" thì mới tiến hành được). Anh định tạo thêm cho từng box Toán đại cương một box ẩn chỉ để cho ĐHV thảo luận nếu cần (thành viên bình thường không thấy), nhưng sau đó anh nghĩ là các em có thể thảo luận trực tiếp trong box ẩn chung Dành cho ĐHV luôn cũng tốt, để có gì các em ĐHV cấp dưới cũng có thể học hỏi kinh nghiệm và làm theo.
 
Những bạn ở danh sách bên dưới cũng cần xác nhận để BQT có thể set làm ĐHV luôn nhé. Ngoài ra nếu các bạn còn cần gì thêm thì cứ đề xuất thẳng vào topic này. (Hân giúp anh thực hiện nhé nếu anh chưa onl kịp, dạo này anh bận quá. Nếu là yêu cầu về tạo box thì em cần xem lại hướng dẫn trong box ẩn của BQT nhé. Cảm ơn em.)

Em cám ơn anh ạ. Nmlinh với Vutuanhien có thời gian thì viết vào box toán đại cương nhé, nhưng mình nên nghĩ đối tượng đọc là học sinh lớp 9. Anh sẽ thử viết phần tập hợp trước, nhưng anh nghĩ có thể nmlinh16 viết phần này tốt hơn (nếu viết được thì bảo anh).

Chủ đề này để bàn về tài liệu lý thuyết tập hợp (chưa đăng). Trước mắt, mình sẽ đi theo quyển sách topology của Munkres. Có ai đóng góp được code thì gửi vào đây giúp mình nhé. Hi vọng tuần tới mình sẽ đăng được.

Mình xác định đối tượng đọc trên diễn đàn là học sinh lớp 9. Còn nếu lớp 12 rồi thì bạn nên đọc topology như quyển sách của Munkres ngay khi có thể.

Vâng anh, sắp tới có thể em sẽ thử viết về số học hoặc đường cong đại số. Như thế có ổn không ạ?

Ok. Vutuanhien viết đi nhé.

Mình xin nhắc lại cách sắp xếp bài viết. Mọi người thấy cần góp ý gì thì bổ sung nhé. Trong phần tài liệu, chuyên đề, mọi người hãy đăng 2 chủ đề:
- Chủ đề 1 thông báo tiến độ viết bài và để những người khác bình luận góp ý được.
- Chủ đề 2 có một bài đăng duy nhất cập nhật bài viết.
Việc này có 2 tác dụng. Thứ nhất việc thông báo hay bình luận vào một nơi khác đỡ làm loãng bài viết chính. Thứ hai là việc thứ nhất dẫn đến người đọc sẽ đỡ mất thời gian đọc những thứ không liên quan.

Cảm ơn Bằng về bản dịch rất công phu!
Anh không có đủ background nên đọc sơ qua thì không hiểu mấy (chưa có thời gian đọc kĩ nhưng chắc cũng sẽ không hiểu được nhiều), chỉ có thắc mắc nhỏ là Dieudonné đóng vai trò gì ở đây nhỉ? Vì có trong tiêu đề nhưng trong bài hoàn toàn không thấy nhắc tới.

P/s: Em nên chèn một ảnh cover vào đầu bài viết (ví dụ như cái này), như vậy lúc share trên FB hoặc các trang mạng xã hội khác bài viết sẽ lấy ảnh đó, đẹp hơn là lấy ảnh mặc định của VMF.

Em nghĩ chắc là Dieudonné viết cái này, còn hai ông kia chắc thêm vào quyển sách của họ. Nhưng mà thực ra đóng góp của Dieudonné cho hình đại số cũng rất lớn.

Em mong có ai đó có thể đăng bài khởi động topic này; bản thân em đang rất mong chờ về nó!

Xin lỗi mọi người mình đang bận và vẫn còn trong năm học nên hè mới rảnh rang viết được. Như mình nói, nếu mọi người có thể gõ một số phần thì cứ gõ ra rồi gửi mình. Cấu trúc của chúng vẫn thông dụng thôi:
1. Khái niệm tập hợp và các phép toán trên tập hợp (hợp, giao, tích hữu hạn). Lúc đầu thì tiếp cận bằng trực giác, sau đó nói về nghịch lý Russel và kết luật cần dùng tiếp cận tiên đề và nêu ra một hệ tiên đề cho lý thuyết tập hợp.
2. Nói về hệ tiên đề peano, từ đó chẳng hạn chứng minh nguyên lý quy nạp mạnh hoặc nguyên lý quy nạp Cauchy.
3. Định nghĩa quan hệ hai ngôi, từ đó định nghĩa ánh xạ, ánh xạ ngược, hợp thành ánh xạ, ảnh và ngược ảnh.
4. Nói về giao, hợp vô hạn, từ đó nói về tích vô hạn.
5. Nói về quan hệ tương đương, từ đó đưa ra một số áp dụ thú vị như xây dựng tập số hữu tỉ, hoặc đầy hóa. Ví dụ như đầy đủ hóa Q để ra R, Q_p. Có thể sẽ cần cho ai đó viết lý thuyết số.
6. Nói về bản số, tập đếm được. Từ đó nói về một số ví dụ thú vị, như là [0,1] không đếm được.
Kiến thức trong đây có lẽ không khó đối với học sinh phổ thông. Nhưng theo mình rất có ích vì học sinh có thể tập dượt chứng minh toán học. Chẳng hạn trong topo điểm, chứng minh của chúng cũng chỉ quanh quẩn $x\in A, y\notin B,...$ nhưng lại nói được rất nhiều chuyện không tầm thường.